Системная динамика и агентное моделирование

Устойчивость решения I
Рассмотрим задачу Коши
𝑑𝒙
𝑑𝑡
= 𝒇 𝑡, 𝒙 ,
𝒙 𝑡
0
= 𝒙
0
,
полагая существование и единственность решения при 𝑡 ≥ 𝑡
0
. 
Решение задачи Коши
𝒙(𝑡) называется устойчивым (устойчивым по 
Ляпунову), если ∀𝜀 > 0, ∃δ 𝜀 > 0 такое, что для любого решения 𝒙 𝑡
задачи Коши, удовлетворяющего условию 𝒙 𝑡
0
− 𝒙 𝑡
0
< 𝛿 следует, 
что для всех 𝑡 ≥ 𝑡
0
справедливо 𝒙 𝑡 − 𝒙 𝑡
< 𝜀.
Если при этом
lim
𝑡→+∞
𝒙 𝑡 − 𝒙 𝑡
= 0,
то решение называется асимптотически устойчивым. 
2/15/2021
Математическое моделирование динамических процессов I
29

Устойчивость решения II
Устойчивость решений имеет принципиальное значение для решения 
практических задач. Дело в том, что если сколь угодно малые изменения 
начальных данных сильно изменяют решение, определяемое выбранными 
неточными данными, которые обычно являются результатом измерений и, 
следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностью, то такое 
решение не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не 
может описывать изучаемое явление или процесс. 
Амелькин, 2012
По этой причине надежный долгосрочный динамический прогноз погоды 
невозможен и останется невозможным, сколь бы ни совершенствовались 
компьютеры и регистрирующие начальные условия датчики. 
Арнольд
2/15/2021
Математическое моделирование динамических процессов I
30

Рассмотрим линейную однородную ДС 𝑛-го порядка вида 
𝑑𝒙
𝑑𝑡
= 𝐴𝒙,
𝐴 ∈ ℝ
𝑛×𝑛
Теорема. Нулевое решение линейной однородной ДС с постоянной вещественной матрицей 
коэффициентов 𝐴
1)
устойчива тогда и только тогда, когда среди собственных значений матрицы 𝐴 нет таких, 
вещественные части которых положительны, а собственные числа с нулевой вещественной частью 
либо простые, либо имеют простые элементарные делители
2)
асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы 𝐴 имеют 
отрицательные вещественные части
Частный случай при 𝑛 = 2: 

жүктеу/скачать 0.78 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: