Сызықты емес жүйелерінің түсінігі
жүктеу/скачать 1.71 Mb.
|
| 5.1 Тұрақтылық түсінігі
Ляпунов теориясы бойынша сызықтық жүйенің қозғалысы возм и не возм. Кез келген возм қозғалыс теңескен жағдайда болады, ол өз кезегінде тұрақты және тұрақсыз болады. Әрбір режимнің тұрақтылығын анықтау керек. Еркін қозғалыстағы жүйенің оның бастапқы ауытқуынан туындайтын кез келген себептер болатын қасиетін тұрақтылық деп қарастырамыз. Сызықтық емес жүйенің теңдеуі Коши бойынша: (5.1) Бастапқы шарттарда кейбір тұрақталған процессті , вомз қозғалыстың ауытқуын белгілеу енгіземіз. (5.2) Көпөлшемді жүйенің қозғалыс графигінде екі геометриялық қозғалыс өзімен екі интегралды қисық ретінде беріледі, сурет 5.1. Сурет 5.1 Возм и не возм қозғалысының интегралды қисығы (5.1) айнымалы теңдеудің возм қозғалыстың белгілеулерін ескере отырып (5.3) түріндегі теңдеуді жазуға болады. Онда невозм қозғалыс , ал возм қозғалыс . (5.3) Ляпуновпен құрылған невозм қозғалыстың тұрақтылық түсінігін қарастырамыз. Қажетті мөлшерде түтіктің аз n-мөлшерде қима ε берілсін, сурет 5.2. Бастапқы уақыт бөлігінде ε қимасын тәуелді, өзгерісімен возм қозғалыс түтіңтің берілісінен шықпайтын δ облысын таңдайды. Бұл шарттан Ляпунов тұрақтылық түсінігі қалыптасады. Сурет 5.2 - бастапқы шарттың тұрақтылық облысы Невозм қозғалыс жүйесі тұрақты болады, егер де берілген ε>0 , ε тәуелді болса, болады, онда бастапқы берілген шарттар, уақыт өтісімен шартын орындайды. Невозм қозғалыс бұл шарттар орындалмаса тұрақсыз болады. Жүйе тұрақты, жалпы тұрақты және асимптоталық тұрақты болады. Асимптоталық тұрақтылық қозғалыс туралы түсінік енгізейік. Егер және тұрақтылық шарты орындалса, невозм қозғалыс асимптоталық тұрақты болады. Егер , шарты орындалып, бастапқы ауытқулары болса онда жүйе жалпы тұрақты болады. Берілген тұрақтылық туралы анықтамалар тең салмақты жүйеде қолданылады, бірақ сызықтық емес жүйелер ол қалған процесстерде қолданылады. Мысалы шекті циклді фазалық траекторияларды қарастырғанда, жүйе аз мөлшерде тұрақты, ал көп мөлшерде тұрақсыз болады. Сол себепті Ляпунов тұрақтылығымен қатар, кейбір сызықтық емес жүйелердің тұрақсыз болу шарттарын қарастырады. Ляпуновтың тұрақтылығын ары қарай зерттеуде үздіксіз функцияның жағдай кординатарын қарастырады. Бұл функциялардың анықтамаларын және қасиеттерін қарастырайық. Оларды тұрақтытаңбалы (знакопостоянный) және анықтытаңбалы(знакоопределенный) деп бөледі. Егер үздіксіз функцияның жағдай координаттары болғанда қасиеттері болса, ондай функцияны анықтытаңбалы функция дейді. Ол қарастырылатын облыста тұрақты таңбасын сақтайды және координата басында ғана нөлге айналады. Анықтытаңбалы функция оң және теріс болады, оларды сәйкесінше оң анықталған және теріс анықталған болады. Егер үздіксіз функцияның жағдай координаттары қарастырылатын облыста тұрақты таңбасын сақтайды және координата басында ғана нөлге айналса, ондай функцияны анықтытаңбалы немесе жартылайанықтытаңбалы функция дейді. Олар оң таңбалы немесе оң жартылай анықталған және теріс таңбалы немесе теріс жартылай анықталған болады. Егер функция анық бір облыста өзінің таңбасын өзгертсе онда ондай функцияны айнымалы таңбалы функция дейді. Мысалы облысындағы функцияның жағдайы: Мұндағы оң таңбалы, теріс таңбалы, оң анықталған. Егер кеңестігі болса онда бұл функцияның жагдайы баскаша анықталады: оң анықталған, теріс анықталған болады. функциясы үшін 5.3 суретинде 1- тұрақтытаңбалы 2-айнымалы таңбалы функцияның қисығы. Сурет 5.3 – Анықты таңбалы және айнымалы таңбалы функциялар Суреттелген функциясы жүйенің жағдай координаттары координата басында нөлге айналса ондай функцияны Ляпуновтың функциясы дейді. Олар Ляпуновтың тұрақтылық теоремаларында елеулі орын алады. Ляпуновтың функциясын құрудың жалпы әдісі жоқ. Белгілі бір жүйе үшін Ляпуновтың функциясын құрудың түрлі әдістері құрылған. Ол келесі әдістер: Барабашиннің айнымалыларды ажырату тәсілі, Лурье-Постникова әдісі , Красовский әдісі, Вокера-Кларк әдісі. 5.2 Ляпуновтың теоремалары Бұл теоремалар Ляпуновтың екінші және тура әдістері. Тұжырымдар дәлелдеусіз келтірілген. жүктеу/скачать 1.71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|