Сызықты емес жүйелерінің түсінігі
Ляпуновтың тұрақтылық туралы теоремасы
жүктеу/скачать 1.71 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Ляпуновтың асимптоталық тұрақтылық туралы теоремасы
- Ляпуновтың тұрақсыздық туралы теоремасы
- Попов теоремасы
| Ляпуновтың тұрақтылық туралы теоремасы
Егер сызықтық емес жүйеге анықтытаңбалы функция болса, оның туындысы оған қарама-қарсы таңбалы тұрақтытаңбалы боса, онда бұл жүйенің шешімі х=0 тұрақты болады. Оны грфикалық түрде 5.3 суретінде көрсетейік. функциясы оң анықталған және оның туындысы теріс таңбалы болса, онда х(t) фазалық траектория жазықтығын ішінен сырнына қиады. Егер болса кез келген жазықтығында орналасуы мүмкін. Теорема х=0 сызықтық емес жүйенің тұрақтылық шартының шешімін береді, ол дегеніміз бұл шарттардың за пределамы тұрақты бола алады.Тұрақтылық облысының қамтылуы қандай Ляпунов функциясын таңдағанға байланысты. Ляпуновтың асимптоталық тұрақтылық туралы теоремасы Егер теңдеулер жүйесі анықтытаңбалы функция болса, оның туындысы оған қарама-қарсы таңбалы анықтытаңбалы боса, онда бұл жүйенің шешімі х=0 асимптотикалық тұрақты болады. Сурет 5.4 – Тұрақтылық теоремасына 5.4 суретті графикалық иллюстр қарастырайық. Оң анықталған. теріс анықталған туындысы бар. х(t) фазалық траекториясы бетін толығымен қиылысады, кей жағдайларда олардың біреуіндеде қалмай координата басына және өтеді. Келтірілген екі теорема түрақтылықты бағалауға желкіліксіз, сондықтан тұрақсыздық туралытағы бір теорема бар. Ляпуновтың тұрақсыздық туралы теоремасы Егер теңдеулер жүйесі үшін қандай да бір функциясының туындысы анықтытаңбалы болса және пен таңбалары сәйкес келетін облысы болса жүйе тұрақсыз болады. 5.5суреттен көрініп тұрғандай х(t) фазалық траекториясы жазықтыішінен сыртына қарай қиады және , онда туындысы да таңбасымен сәйкес келеді. Осыдан жүйенің шешімі x=0 тұрақсыз. Сурет 5.5 – Тұрақсыздық теоремасына 6 ПОПОВТЫҢ ЖИІЛІКТІК КРИТЕРИІ В.М.Поповтың жиіліктік критериі сызықтық емес жүйенің жиіліктік сипаттамасы бойынша абсолютті тұрақтылығына баға береді. Абсолюттік тұрақтылық түсінігіне статикалық сызықтық еместік сипаттамасы негіз болады. Ол координата басына симметриялы болу керек. Поповтың критериі бойынша немесе аралығында орналасатын жүйелер қарастырылады. Сурет 6.1 берілген алғашқы сипаттаманы қарастырайық. Сызықтық емес статикалық облыс аралығында орналасқан. Сурет 6.1 – Статикалық сипатаманың нелинейности аумағы Сызықтық бөлігі мынандай теңдеумен беріледі (6.1) Сәйкесінше беріліс функциясы , полюсі, теріс, заттай. Попов теоремасы Тепе-теңдік жағдайы абсолютті тұрақты болады, егер сызықтық еместік сипаттамасы аралығында орналасса және нақты бір h саны болып, теңсіздігі орындалса теңсіздік жағдайы болады. (6.2) Мұндағы -сызықтық емес жүйенің АФХЧ сызықтық бөлігі. АФХЧ тең екенін ескере отрып теңсіздік келесі түрде беріледі (6.3) Көрнектілік үшін сызықтық бөлігінің модифицирленген жиіліктік сипаттамасы енгізіледі. Ол келесі түрде беріледі (6.4) Мұндағы АФХЧ-ның заттай коэффиценті. АФХЧ-ның жалған коэффиценті. АФХЧ-ның белгілеген коэффицентерін ескере отрып (6.3) теңсіздікті келесі түрде өрнектеуге болады (6.5) Егер соңғы теңсіздікті нөлге теңестірсе жазықтығындағы түзу теңдеу шығады. Бұл түзу осінен нүктесінен өтеді және еңістігі болады. Алынған шарттар мен алмастырулардан Поповтың тұрақтылық критериі келесідей анықтама беруге болады: жүктеу/скачать 1.71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|