Нахождение погрешностей косвенных измерений

3
2
10
3
,1
1250
18
150
⋅
≈
=
=
Bm
P
ср
 Вт. 
Здесь при округлении учтено, что наименьшее число значащих цифр 
в  результатах  измерения  равно  двум.  Это  цифры,  которыми  определено 
сопротивление. 
Теперь  определим  абсолютную  погрешность  этого  косвенного 
измерения. Это можно сделать тремя способами. 
Первый  способ  определения  абсолютной  погрешности  косвенного 
измерения  состоит  в  том,  что  сначала  определяют  значения  частных 
производных.  Затем  вычисляются  погрешности  от  каждого  аргумента,                
и,  наконец,  определяется  полная  абсолютная  погрешность,  а  затем  и 
относительная  погрешность.  Применим  эти  рассуждения  к  нашему 
примеру. 
1.  Находим  частные  производные  и  вычисляем  их  значения  при 
средних значениях аргументов 
7
,
16
18
150
2
2
=
⋅
=
⋅
=
∂
∂
R
U
U
P
 Вт∕В. 
4
,
69
18
150
2
2
2
2
−
=
−
=
−
=
∂
∂
R
U
R
P
 Вт∕Ом. 
2. Вычисляем составляющие погрешности от каждого аргумента: 
167
10
7
,
16
=
⋅
=
∆
⋅
∂
∂
=
∆
U
U
P
P
U
 Вт. 
4
,
69
1
4
,
69
=
⋅
=
∆
⋅
∂
∂
=
∆
R
R
P
P
R
 Вт. 
3. Вычисляем полную абсолютную погрешность: 
( )
( )
85
,
180
4
,
69
167
2
2
2
2
=
+
=
∆
+
∆
=
∆
R
U
P
P
P
 Вт
200
≈
 Вт                
=
3
10
2
,
0 ⋅
 Вт. 
4. Вычисляем относительную погрешность: 
%
15
%
100
10
3
,1
10
2
,
0
%
100
3
3
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
∆
=
P
P
P
δ
. 
5. Запишем результат данного косвенного измерения: 
(
)
3
10
2
,
0
3
,1
⋅
±
=
P
Вт; 
%
15
=
P
δ
. 
Второй  способ  определения  абсолютной  погрешности  косвенного 
измерения  состоит  в  том,  что  сначала  определяют  приращения 
измеряемой  величины  по  ее  аргументам,  а  затем  вычисляется  полная 
131

абсолютная  погрешность  и  относительная  погрешность.  Применим  этот 
способ к нашему примеру. 
1.Найдем приращения функции по ее аргументам: 
(
) (
) (
)
2
,
172
1250
18
10
150
,
,
2
=
−
+
=
−
∆
+
=
∆
R
U
P
R
U
U
P
P
U
Вт; 
(
) (
)
8
,
65
1250
19
150
,
,
2
=
−
=
−
∆
+
=
∆
R
U
P
R
R
U
P
P
R
 Вт. 
2. Вычислим полную абсолютную погрешность: 
( )
( )
3
,
184
8
,
65
2
,
172
2
2
2
2
=
+
=
∆
+
∆
=
∆
R
U
P
P
P
 Вт= 
3
10
2
,
0 ⋅
≈
 Вт. 
3. Вычисляем относительную погрешность: 
%
15
%
100
10
3
,1
10
2
,
0
%
100
3
3
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
∆
=
P
P
P
δ
. 
4. Записываем результат измерения: 
(
)
3
10
2
,
0
3
,1
⋅
±
=
P
 Вт; 
%
15
=
P
δ
. 
Третий  способ  состоит  в  том,  что  сначала  можно  определить 
относительную погрешность: 
P
P
P
P
ln
∆
≈
∆
=
δ
. 
1. Прологарифмируем выражение для мощности: 
R
U
P
ln
ln
2
ln
−
=
. 
2. Найдем приращение логарифма мощности: 
R
R
U
U
P
∆
+
∆
⋅
=
∆
2
ln
. 
Здесь вместо знака «минус» ставим знак «плюс», чтобы определить 
максимальную  абсолютную  погрешность,  которая  определяется 
положительной величиной. 
3. Вычисляем относительную погрешность: 
19
,
0
18
1
150
10
2
=
+
⋅
=
P
δ
. 
4. Выразим относительную погрешность в процентах: 
%
19
=
P
δ
. 
5. По относительной погрешности найдем абсолютную погрешность: 
236
1250
19
,
0
=
⋅
=
⋅
=
∆
P
P
P
δ
 Вт 
3
10
2
,
0 ⋅
≈
 Вт. 
6. Записываем окончательный результат: 
3
10
)
2
,
0
3
,1
(
⋅
±
=
P
 Вт 
%
19
=
P
δ
. 
132

При  вычислении  абсолютной  и  относительной  погрешности 
косвенных измерений можно пользоваться любым методом, но наиболее 
обоснованными являются первые два метода. Поэтому они для нас будут 
предпочтительными.  Кроме  того,  третий  метод  используется  только                  
в  случае  если  формула,  определяющая  величину,  представляет  собой 
дробь или произведение некоторых величин. 
 
Задачи для самостоятельного решения 
Задача  2.  Измерение  мощности  Р  в  активной  нагрузке 
сопротивлением  20  Ом  определяется  с  помощью  вольтметра  класс 
точности  1,0  с  пределом  измерения 
Г
U
=220  В.  Оценить  измеренную 
мощность и погрешность, если прибор показал 
П
U
=100+3n В. 

жүктеу/скачать 7.08 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: