Логикалық функцияларды таныстыру тәсілдері

1.6 Логикалық функцияларды таныстыру тәсілдері

Функцияның аналитикалық өрнегін ақиқат кестесінен құрауға болады. Осы процессті формальдау үшін кейбір ұғымдарды енгізү керек.

Элементар (қарапайым) конъюнкция ондағы әрбір терістеумен айнымалы немесе терістеусіз бірден көп емес кезігетін болып табылады. Айнымалылар тобының терістеуі болмайды.

Мысалы:

Мысалы:

Мысалы, егер үш айнымалы қолданса, онда конъюнкция минтерм болып табылады

бірақ конъюнкциялар

минтермдер болып табылмайды.

Минтерм 1-ге тең тек айнымалылардың бір комбинациялары үшін.
Минтерм К _i символымен белгіленеді, мұндағы i - индекс, ол бірмәнде минтермнің (конъюнкциямен) аналитикалық өрнегімен тепе- тең болады. Минтерм индексін біле отырып, оның аналитикалық өрнегін анықтауға немесе керісінше болады.

Егер минтерм индексі берілсе, онда ол екілік кодта жазылады. Сонан соң әрбір разрядында 1 инверсиясыз айнымалымен, ал 0 инверсиясы бар айнымалылармен ауыстырылады. Ауыстырғанда айнымалылардың үлкендігі екілік код разрядтарының үлкендігіне (позицияларға) сай болуы керек.

Мысалы, үш айнымалы үшін К₆ минтермінің аналитикалық өренгін алуымыз қажет. Айнымалыларда Х₃, Х₂, Х₁ мәндері бар. _.Нөмірі неғұрлым көп болса, соғұрлым айнымалы да үлкен болады.

Берілген минтерм индексі - 6. 6 санының екілік кодтағы түрі 110. Үлкен разряд солжақтағы біріншісі. Минтерм аналитикалық өренгінде Х₃ және Х₂ айнымалылар инверсиясыз болады, ал Х₁ айнымалысы инверсиямен болады.

Минтерм аналитикалық өрнекті анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Айнымалылар үлкендік ретімен жазылады, ал олардың астына 6 санының екілі коды үлкен позициясын сақтаумен жазылады:

Х₃ Х₂ Х₁

1 1 0

Мысалы, минтерм индексін анықтау керек. Х₃ айнымалы инверсиямен, ол 1 мен ауыстырылады, қалған айнымалылар 0 мен с инверсией ауыстырылады.

Минтерм индексін анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Минтерм жазылады, және осы минтермнің әр айнымалының астында 0 немесе 1 жазылады, инверсиямен бе жоқ па, соған байланысты.

0 1 1 011₂ = 3

Мысалы, егер үш айнымалы қолданса, онда дизъюнкция макстерм болып табылады

бірақ дизъюнкциялар

макстермдер болып табылмайды.

Макстерм 0-ге тең тек айнымалылардың бір комбинациялары үшін.

Макстерм М_i символымен белгіленеді, мұндағы i - индекс, ол бірмәнде макстермнің (дизъюнкциямен) аналитикалық өрнегімен тепе-тең болады. Макстерм индексін біле отырып, оның аналитикалық өрнегін анықтауға немесе керісінше болады.

Егер макстерм индексі берілсе, онда ол екілік кодта жазылады. Сонан соң әрбір разрядында 1 инверсиясыз айнымалымен, ал 0 инверсиясы бар айнымалылармен ауыстырылады. Ауыстырғанда айнымалылардың үлкендігі екілік код разрядтарының үлкендігіне (позицияларға) сай болуы керек. Мысалы, үш айнымалы үшін М₆ макстермнің аналитикалық өрнегін алуымыз қажет. Айнымалыларда Х₃, Х₂, Х₁ мәндері бар. _. Нөмірі неғұрлым көп болса, соғұрлым айнымалы да үлкен болады.

Берілген макстерм индексі - 6. 6 санының екілік кодтағы түрі 110. Үлкен разряд солжақтағы біріншісі. Макстерм аналитикалық өренгінде Х₃ және Х₂ айнымалылар инверсиямен болады, ал Х₁ айнымалысы инверсиясыз болады.

Макстерм аналитикалық өрнекті анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Айнымалылар үлкендік ретімен жазылады, ал олардың астына 6 санының екілі коды үлкен позициясын сақтаумен жазылады:

Х₃ Х₂ Х₁

1 1 0

М ₆ =

Мысалы, макстерм индексін анықтау керек. Х₃ айнымалы инверсиямен, ол 1 мен ауыстырылады, қалған айнымалылар 0 мен с инверсией ауыстырылады.

Макстерм индексін анықтау үшін келесі алгоритмді қолдануға болады. Макстерм жазылады, және осы макстермнің әр айнымалының астында 0 немесе 1 жазылады, инверсиямен бе жоқ па, соған байланысты.

1 0 0 100₂ = 4

Бір және сол логикалық функция әр түрлі эквивалентті формада көрсетілуі мүмкін.

Егер функция жай конъюнкцияның дизъюнкция түрінде көрсетілсе, онда мұндай форма дизъюнктивті нормальді форма (ДНФ) деп аталады.

Мысалы:

Мысалы:

Минтермдер дизъюнкция түрінде функцияны көрсету формасы жетілдірілген дизъюнктивті нормальді форма (СДНФ) деп аталады.

Мысалы:


макстермдер конъюнкция түрінде функцияны көрсету формасы жетілдірілген конъюнктивті нормальді форма (СКНФ) деп аталады.

Мысалы:

ЖДНФ және ЖКНФ функцияларын бірлікте көрсету.

Әр бір функцияны днф пен кнф- те түрлендіруге болады, немесе ЖДНФ пен ЖКНФ- те алгебра логикасының аксиомаларымен теоремаларын қолдана отырып түрлендіруге болады.

Ақиқат кестесі бойынша логикалық функцияның аналитикалық өрнегі ЖДНФ немесе ЖКНФ- те құралады.

Функцияны ЖДНФ –те құрғанда ол минтермдердің дизъюнкциясы, оның арқасында функция 1-ге тең. Минтерм индекстері 1 бар жолақ нөмірлеріне сай.

Функцияны ЖКНФ - те құрғанда ол макстермдердің конъюнкциясы, оның арқасында функция 0-ге тең. Макстерм индекстері 0 бар жолақ нөмірлеріне сай.

Ақиқат кестесінде жолақ нөмірін екілік кодта осы жолақтағы айнымалы комбинацияларын өрнектейді. Тек айнымалылардың үлкендігіне және қатарлардың ақиқат кестесінде орналасуына сай болуы керек. Үлкен айнымалы сол жақ шеткі қатарда орналасуы керек.

Мысалы, логикалық функция келесі ақиқат кестесімен берілген:

Жол нөмірі	Переменные			Функция
	Х 3	Х 2	Х 1	f (ν)
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	1
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	0
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

ЖДНФ-те логикалық функцияны жазу. Функция 1-ге төрт жағдайда тең, және функция өрнегі 4 минтерм қамтитын болады. Осы минтермдердің индекстері 1, 2, 3, 6, өйткені бірліктер осындай нөмірлері бар жолақтарда болады. Минтермдер үстінде көрсетілген ережелер бойынша жазылады. Нәтижесінде келесі өрнек шығады (минтерм үстіндегі сандар оның индексін екілік кодта өрнектейді, қандай айнымалылар инверсиямен, қайсылары инверсиясыз болуы керек екенін көрсетеді):

ЖКНФ-те логикалық функцияны жазу. Функция 0-ге төрт жағдайда тең, және функция өрнегі 4 макстерм қамтитын болады. Осы макстермдердің индекстері 0, 4, 5, 7, өйткені нөлдер осындай нөмірлері бар жолақтарда болады. Макстермдер үстінде көрсетілген ережелер бойынша жазылады. Нәтижесінде келесі өрнек шығады (макстерм үстіндегі сандар оның индексін екілік кодта өрнектейді, қандай айнымалылар инверсиямен, қайсылары инверсиясыз болуы керек екенін көрсетеді):