Математика, 10 класс Метод координат на плоскостии в пространстве



Дата21.07.2016
өлшемі416.5 Kb.
#214871

Математика, 10 класс

Метод координат на плоскостиИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Мендель Виктор Васильевич, к. ф.-м. н., доцент, ДВГГУ

П.1 Координаты точки на плоскости и в пространстве


Двумерный случай

Существует два способа определять координаты точек. С первым вы познакомились еще в 5 классе, изучая координаты точки на числовой оси. Напомним, как тогда вводились координаты.

Н
Рисунок 1. Определение координат точки методом проекций на оси.
а плоскости строили две координатные прямые (оси ОХ и ОУ). Произвольная точка М проектировалась на каждую ось (в точки Мх и Му). Затем находились координаты проекций (х и у) на соответствующих числовых осях. Пара этих координат и называлась координатами точки на плоскости.

Т



акой метод очень удобен в том случае, когда нужно найти координаты построенной точки, или, наоборот, по известным координатам нужно построить точку. Однако он не позволяет получать уравнения различных фигур на плоскости, проводить общие исследования их свойств.

З


десь нам на помощь приходит второй подход к определению координат, основанный на понятии координат радиус-вектора точки. Он основан на том факте, что любой вектор на плоскости единственным образом раскладывается по двум неколлинеарным векторам. Точнее, если и - два неколлинеарных вектора, а - произвольный вектор на плоскости, то всегда найдется единственная пара чисел (х,у), такая, что .


Рисунок 2. Определение координат точки через координаты ее радиус-вектора.
Теперь для определения координат точки поступим следующим образом. Выберем два неколлинеарных вектора , (будем называть их базисными), и точку Оначало координат. Начало координат и базисные векторы определяют на плоскости некоторую систему координат. Пусть М – произвольная точка на плоскости. Вектор будем называть радиус – вектором точки М. По указанному выше свойству, найдутся такие два числа хМ и уМ, что . Эту пару (хМ, уМ) мы и будем называть координатами точки М в системе координат {O,}.

На первый взгляд, такой подход может показаться не совсем удобным: как находить координаты, как строить точку?, но он позволит в дальнейшем применять векторный метод при описании геометрических объектов.



Трехмерный случай

В трехмерном пространстве координаты как проекции определяются в несколько этапов: - сначала точка проектируется на координатную плоскость OXY;

- затем первые две координаты точки определяются обычным образом. Третья координата определяется как расстояние от точки до плоскости (с учетом знака).

Если говорить про второй способ, то в качестве базиса выбирают три некомпланарных вектора . Радиус-вектор точки раскладывается по трем этим векторам: . Числа - координаты точки M.


П.2. Деление отрезка в данном отношении


В учебнике геометрии для 7-9 классов предложена следующая задача.

Задача 1. На прямой М1М2 лежит точка М, такая, что . О – произвольная точка плоскости. Докажите, что

. (1)

Мы не будем решать здесь эту задачу, тем более что ее решение приведено в учебнике. Нас больше интересует формула (1).



Определение 1. Будем говорить, что точка М, лежащая на прямой М1М2 делит отрезок М1М2 в отношении , если выполнено условие.

Задача 2. Пусть в некоторой системе координат известны координаты точек М111,z1) и М222,z2). Зная, чему равно число , нужно вычислить координаты точки М(х,у,z).

Решение. Используем второе определение координат. Пусть О – начало координат. Тогда для радиус-векторов точек М1 , М2 и М выполнено соотношение (1) из предыдущей задачи. Заметим, что радиус-векторы точек имеют те же координаты, что и сами точки. Поэтому, переписав формулу (1) в координатной форме, получим следующие выражения:

. (2)

Замечание 1. Как видно, использование свойств векторов дало нам быстрое решение для данной задачи. Попробуйте получить аналогичную формулу, используя первое определение координат точки.

Замечание 2. Формула (2) имеет большое практическое значение для определения координат точек. В задачах по стереометрии нередко речь идет о точках, которые делят отрезок в некотором отношении. Зная координаты концов отрезка и отношение легко найти координаты нужной точки.

Мы вернемся к рассмотрению координат точек несколько позже, а в следующем пункте приведем сводку основных свойств и формул, относящихся к векторам.


П.3. Некоторые свойства векторов


3.1. Коллинеарность векторов

Напомним, что два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (обозначение: ).

Известны два признака коллинеарности.

Первый признак: , тогда и только тогда, когда существует такое число , что . Используют в общем случае.

Если известны координаты векторов, то удобно использовать следующий признак.



Второй признак: тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

, (3)

где (a1,a2,a3) – координаты первого вектора, а (b1,b2,b3) – координаты второго вектора.
3.2. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца.

Если известны координаты начала и конца вектора, то координаты самого вектора можно вычислить по формуле:



, (4)

где - координаты точки А, а - координаты точки В.



Замечание. Вывод этой формулы легко получить, используя векторное определение координат точки. Вектор можно представить как разность радиус-векторов его конца и начала:

.
3.3. Вычисление длины вектора и длины отрезка.(Формулы приведены для случая на плоскости, для пространства нужно добавить третьи координаты)

Длина вектора, координаты которого в прямоугольной системе координат равны , вычисляется по формуле:



. (5)

Используя эту формулу и формулу (4), можно получить следующую формулу для вычисления длины отрезка:



. (6)
3.4. Скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат.

Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называют число, которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (7)

Если известны координаты векторов , то их скалярное произведение можно вычислить по формуле:



. (8)
3.5. Признак перпендикулярности векторов.

Если два вектора перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю. Поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю. Из этого рассуждения мы получаем следующий признак: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.



Замечание. Если - ненулевой вектор, то вектор перпендикулярен ему и имеет такую же длину. (Проверьте это с помощью формул (8) и (5)).
3.6. Вычисление угла между векторами.

Пользуясь формулой скалярного произведения, мы можем выразить косинус угла между векторами:



. (9)

В координатной записи эта формула будет выглядеть так:



. (10)
3.7. Вычисление площади параллелограмма, построенного на двух векторах.

Если два вектора заданы своими координатами , то площадь параллелограмма, построенного на этих векторах можно найти по формуле:



. (11)

Получить ее можно, если вычислить скалярное произведение вектора на вектор . С одной стороны будет стоять произведение длин векторов и на синус угла между ними (так как вектор повернут к вектору на 90 градусов), а с другой стороны – выражение, стоящее в формуле (11) под знаком модуля.


П.4. Уравнения прямой и отрезка


В этом пункте мы продемонстрируем преимущества векторного подхода к определению координат точки.

4.1. Параметрические уравнения прямой.

Пусть нам известны координаты точки М000), принадлежащей некоторой прямой а, и координаты вектора , который параллелен1 этой прямой. Необходимо составить уравнения, которым удовлетворяют координаты всех точек этой прямой.

Предположим, что точка М(х,у) принадлежит прямой а. Очевидно, что тогда векторы и с коллинеарны. Применив к ним первый признак коллинеарности (смотри пункт 3.1.), получим векторное равенство:

.

Переписав его в координатном виде, и перенеся в правую часть координаты точки М0, получим следующие уравнения:



(12)

которые принято называть параметрическими уравнениями прямой. Придавая в этих уравнениях параметру t любые действительные значения, мы можем получить координаты всех точек, лежащих на прямой.


4.2. Канонические уравнения прямой.

Если в уравнениях (12) исключить параметр t, то мы получим уравнение:



, (13)

которое принято называть каноническим. Подставляя в это уравнение координаты произвольной точки, мы можем выяснить, принадлежит ли она данной прямой.



Замечание: в уравнениях (12) и (13) можно добавить третью координату и они будут выполняться в пространстве.

4.3. Общее уравнение прямой.

Избавляясь от знаменателей в уравнении (13), мы приведем его к виду:



, (14)

где a и b не равны нулю одновременно, которое называют общим уравнением прямой. Любая прямая может быть задана таким уравнением.


4.4. График линейной функции – прямая на плоскости.

Из курса алгебры вам известна линейная функция. Она задается уравнением:



. (15)

Нетрудно заметить, что это частный случай общего уравнения (14) прямой. Для нас важное значение имеет коэффициент k в этом уравнении. Превратим уравнение (15) в параметрические уравнения прямой, положив x=t. Мы получим следующие выражения:



Применив к ним пункт 4.1., найдем координаты направляющего вектора: . Заметим, что в прямоугольной системе координат для любого вектора отношение второй его координаты к первой равно тангенсу угла, который данный вектор составляет с координатной осью ОХ. В нашем случае этот тангенс равен коэффициенту k.

На практике иногда требуется составить уравнение прямой по известным координатам некоторой его точки и угловому коэффициенту k. В этом случае уравнение (15) принимает такой вид:

. (15)*
4.5. Условие перпендикулярности двух прямых, заданных как графики линейных функций.

Пусть прямая l задана уравнением , а прямая m задана уравнением . Координаты направляющих векторов этих прямых равны соответственно и . Прямые будут перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы, те, в свою очередь, перпендикулярны, если их скалярное произведение . Отсюда получаем признак перпендикулярности прямых:



. (16)

4.6. Уравнение отрезка.

Рассмотрим отрезок, концами которого являются точки и . Следующие уравнения позволяют вычислить координаты любой точки, принадлежащей этому отрезку:



, (17)

, где .

Доказать этот факт достаточно просто: во-первых, раскрыв скобки и приведя подобные относительно параметра t, мы фактически получим параметрические уравнения прямой. Во-вторых, нетрудно убедиться в том, что при значениях параметра t равных нулю и единице, мы получим координаты точек M1 и M2 соответственно.


П.5. Примеры применения координатного метода к решению задач


Задача 1. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей.

Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (Здесь y – высота трапеции).

2. Найдем координаты середин диагоналей, используя формулу (2), и учитывая, что середина делит отрезок в отношении =1. Для точки О: . Для точки О1: . По формуле (6) найдем расстояние между точками О и О1:



. Ответ: .

З
амечание
. Мы вводили в рассмотрение неизвестную нам высоту трапеции y. Но на этапе вычислений она сократилась.
Задача 2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 4. В этой системе вершины треугольника будут иметь координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М2(0,0). Используя, как и в предыдущей задаче, формулы (2), найдем координаты середин двух других сторон. Для М3 получим:. Для М1 аналогично находим: .

2. Вычислим длины отрезков АМ1 и СМ3, используя формулу (6). Для АМ1 получим:



.

Длина второй медианы вычисляется аналогично.



Ответ: .

Задача 3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов. Вычислите косинус угла между ними.

Решение. 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке 5. В этом случае вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а середины катетов: . (Здесь а – длина катета.)

2. По формуле (4) вычислим координаты векторов и .

3. Теперь используем формулу (10) для вычисления косинуса угла между векторами. (Этот угол совпадает с углом между медианами.)

.

Ответ: .

Задача 4. Дан ромб АВСD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых выполняется условие: AM2+DM2=BM2+CM2.

Решение. 1. Введем систему координат, взяв за ее начало центр ромба, а за оси – его диагонали. В этой системе вершины имеют координаты: A(-a;0), B(0;b), C(a;0) и D(0;-b).

2. Считая, что точка М имеет координаты (х;у), запишем условие AM2+DM2=BM2+CM2 в координатной форме. Для этого используем формулу (6) при вычислении длин отрезков. Получим следующее выражение:



.

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим следующее уравнение:



, или: (18).

В пункте 4.3 мы уже встречали такое уравнение – это общее уравнение прямой. И так, мы установили, что интересующее нас множество точек – это прямая линия. Попробуем теперь определить ее расположение относительно ромба.

3. Нетрудно заметить, что сторона АВ ромба может быть задана уравнением2 . Перепишем его в виде , а уравнение (18) в виде . Угловые коэффициенты в этих уравнениях в произведении дают -1. Это значит, что для данных прямых выполняется признак (16) перпендикулярности. Кроме того, очевидно, что полученная выше прямая проходит через начало координат – оно же – центр ромба. Таким образом, условию задачи удовлетворяют все точки, лежащие на прямой, проходящей через центр ромба и перпендикулярной прямой АВ.

З
адача 5.
Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная.

Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат как показано на чертеже. Тогда, считая, что длина отрезка равна b, получим следующие координаты точек А и В: А(0;0), В(b;0).

2. Пусть М(х;у) – произвольная точка плоскости, удовлетворяющая условию задачи: |AM|2+|BM|22. Тогда:



В случае, когда правая часть последнего равенства положительна, мы получаем окружность, центр которой лежит на середине отрезка АВ. Если правая часть равна нулю, то решением будет единственная точка – середина АВ. Если правая часть отрицательна, то задача не имеет решений.

Теперь рассмотрим пример применения метода координат в стереометрии. Предлагаем решить задачу, аналогичную тем, которые будут предлагаться на ЕГЭ по математике в этом году.

Задача 6. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E,F — середины ребер соответственно SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.

Решение. Введем координаты как показано на чертеже. Нам нужно найти угол между векторами и , поэтому определим для них координаты начала и конца. Легко вычислить, что А(0.5,-0.5,0), B(0.5,0.5,0), C(-0.5,0.5,0). Чтобы найти координаты двух других точек, требуется найти координаты вершины S. Так как она проектируется в начало координат, то первые две е координаты – нули. Третья координата равна высоте пирамиды. Из условий задачи и прямоугольного треугольника SOB ее нетрудно найти: . Таким образом . Координаты точек E и F найдем как середины соответствующих отрезков (формулы (2), ). Теперь вычислим координаты векторов и : и . Применяя формулу (10) для трехмерного случая (нужно учесть третьи координаты) находим косинус угла между этими векторами: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0;-8). Докажите, что это прямоугольник и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

2. Найдите длину средней линии треугольника, параллельной стороне АВ, если координаты вершин таковы: A(-3;-6), B(-8;6), C(4;-10).

3. (решение – методом координат!) Высота AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки BD=10 см и CD=4 см. Введите удобную систему координат и определите координаты вершин этого треугольника, если угол при вершине В равен 45 градусов. Объясните, почему выбранная система – наиболее удобная.

4. (решение – методом координат!) В правильной треугольной призме А...С1 все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми AD и ВС1.

5. (решение – методом координат!) В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, точки G и Н — середины ребер соответственно А1В1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AG и ВН.



1 Такой вектор принято называть направляющим.

2 Самостоятельно найдите координаты вектора и составьте каноническое уравнение этой прямой, используя формулу (13).



Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет