Математика, 10 класс Метод координат на плоскостии в пространстве
жүктеу/скачать 416.5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- П.2. Деление отрезка в данном отношении
- П.3. Некоторые свойства векторов
- П.4. Уравнения прямой и отрезка
- П.5. Примеры применения координатного метода к решению задач
Математика, 10 классМетод координат на плоскостиИ В ПРОСТРАНСТВЕМендель Виктор Васильевич, к. ф.-м. н., доцент, ДВГГУП.1 Координаты точки на плоскости и в пространствеДвумерный случай Существует два способа определять координаты точек. С первым вы познакомились еще в 5 классе, изучая координаты точки на числовой оси. Напомним, как тогда вводились координаты. Н
Т
акой метод очень удобен в том случае, когда нужно найти координаты построенной точки, или, наоборот, по известным координатам нужно построить точку. Однако он не позволяет получать уравнения различных фигур на плоскости, проводить общие исследования их свойств. З
десь нам на помощь приходит второй подход к определению координат, основанный на понятии координат радиус-вектора точки. Он основан на том факте, что любой вектор на плоскости единственным образом раскладывается по двум неколлинеарным векторам. Точнее, если  и  - два неколлинеарных вектора, а  - произвольный вектор на плоскости, то всегда найдется единственная пара чисел (х,у), такая, что  .
Рисунок 2. Определение координат точки через координаты ее радиус-вектора. Теперь для определения координат точки поступим следующим образом. Выберем два неколлинеарных вектора  , (будем называть их базисными), и точку О – начало координат. Начало координат и базисные векторы определяют на плоскости некоторую систему координат. Пусть М – произвольная точка на плоскости. Вектор  будем называть радиус – вектором точки М. По указанному выше свойству, найдутся такие два числа хМ и уМ, что  . Эту пару (хМ, уМ) мы и будем называть координатами точки М в системе координат {O, }.
На первый взгляд, такой подход может показаться не совсем удобным: как находить координаты, как строить точку?, но он позволит в дальнейшем применять векторный метод при описании геометрических объектов. Трехмерный случай В трехмерном пространстве координаты как проекции определяются в несколько этапов: - сначала точка проектируется на координатную плоскость OXY; - затем первые две координаты точки определяются обычным образом. Третья координата определяется как расстояние от точки до плоскости (с учетом знака). Если говорить про второй способ, то в качестве базиса выбирают три некомпланарных вектора П.2. Деление отрезка в данном отношенииВ учебнике геометрии для 7-9 классов предложена следующая задача. Задача 1. На прямой М1М2 лежит точка М, такая, что  . О – произвольная точка плоскости. Докажите, что
 . (1)
Мы не будем решать здесь эту задачу, тем более что ее решение приведено в учебнике. Нас больше интересует формула (1). Определение 1. Будем говорить, что точка М, лежащая на прямой М1М2 делит отрезок М1М2 в отношении , если выполнено условие .
Задача 2. Пусть в некоторой системе координат известны координаты точек М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2). Зная, чему равно число , нужно вычислить координаты точки М(х,у,z). Решение. Используем второе определение координат. Пусть О – начало координат. Тогда для радиус-векторов точек М1 , М2 и М выполнено соотношение (1) из предыдущей задачи. Заметим, что радиус-векторы точек имеют те же координаты, что и сами точки. Поэтому, переписав формулу (1) в координатной форме, получим следующие выражения:  .  (2)
Замечание 1. Как видно, использование свойств векторов дало нам быстрое решение для данной задачи. Попробуйте получить аналогичную формулу, используя первое определение координат точки. Замечание 2. Формула (2) имеет большое практическое значение для определения координат точек. В задачах по стереометрии нередко речь идет о точках, которые делят отрезок в некотором отношении. Зная координаты концов отрезка и отношение легко найти координаты нужной точки. Мы вернемся к рассмотрению координат точек несколько позже, а в следующем пункте приведем сводку основных свойств и формул, относящихся к векторам. П.3. Некоторые свойства векторов3.1. Коллинеарность векторов Напомним, что два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (обозначение: Известны два признака коллинеарности.
Если известны координаты векторов, то удобно использовать следующий признак. Второй признак:  тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:
 , (3)
где (a1,a2,a3) – координаты первого вектора, а (b1,b2,b3) – координаты второго вектора. 3.2. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца. Если известны координаты начала и конца вектора, то координаты самого вектора можно вычислить по формуле:  , (4)
где Замечание. Вывод этой формулы легко получить, используя векторное определение координат точки. Вектор  можно представить как разность радиус-векторов его конца и начала:
 .
3.3. Вычисление длины вектора и длины отрезка.(Формулы приведены для случая на плоскости, для пространства нужно добавить третьи координаты) Длина вектора, координаты которого в прямоугольной системе координат равны  . (5)
Используя эту формулу и формулу (4), можно получить следующую формулу для вычисления длины отрезка:  . (6)
3.4. Скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат. Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называют число, которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:  . (7)
Если известны координаты векторов  . (8)
3.5. Признак перпендикулярности векторов. Если два вектора перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю. Поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю. Из этого рассуждения мы получаем следующий признак: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Замечание. Если  - ненулевой вектор, то вектор  перпендикулярен ему и имеет такую же длину. (Проверьте это с помощью формул (8) и (5)).
3.6. Вычисление угла между векторами. Пользуясь формулой скалярного произведения, мы можем выразить косинус угла между векторами:  . (9)
В координатной записи эта формула будет выглядеть так:  . (10)
3.7. Вычисление площади параллелограмма, построенного на двух векторах. Если два вектора заданы своими координатами  . (11)
Получить ее можно, если вычислить скалярное произведение вектора П.4. Уравнения прямой и отрезкаВ этом пункте мы продемонстрируем преимущества векторного подхода к определению координат точки. 4.1. Параметрические уравнения прямой. Пусть нам известны координаты точки М0(х0,у0), принадлежащей некоторой прямой а, и координаты вектора Предположим, что точка М(х,у) принадлежит прямой а. Очевидно, что тогда векторы Переписав его в координатном виде, и перенеся в правую часть координаты точки М0, получим следующие уравнения:  (12)
которые принято называть параметрическими уравнениями прямой. Придавая в этих уравнениях параметру t любые действительные значения, мы можем получить координаты всех точек, лежащих на прямой. 4.2. Канонические уравнения прямой. Если в уравнениях (12) исключить параметр t, то мы получим уравнение:  , (13)
которое принято называть каноническим. Подставляя в это уравнение координаты произвольной точки, мы можем выяснить, принадлежит ли она данной прямой. Замечание: в уравнениях (12) и (13) можно добавить третью координату и они будут выполняться в пространстве. 4.3. Общее уравнение прямой. Избавляясь от знаменателей в уравнении (13), мы приведем его к виду:  , (14)
где a и b не равны нулю одновременно, которое называют общим уравнением прямой. Любая прямая может быть задана таким уравнением. 4.4. График линейной функции – прямая на плоскости. Из курса алгебры вам известна линейная функция. Она задается уравнением:  . (15)
Нетрудно заметить, что это частный случай общего уравнения (14) прямой. Для нас важное значение имеет коэффициент k в этом уравнении. Превратим уравнение (15) в параметрические уравнения прямой, положив x=t. Мы получим следующие выражения: 
Применив к ним пункт 4.1., найдем координаты направляющего вектора: На практике иногда требуется составить уравнение прямой по известным координатам некоторой его точки Пусть прямая l задана уравнением  . (16)
4.6. Уравнение отрезка. Рассмотрим отрезок, концами которого являются точки  , (17)
 , где  .
Доказать этот факт достаточно просто: во-первых, раскрыв скобки и приведя подобные относительно параметра t, мы фактически получим параметрические уравнения прямой. Во-вторых, нетрудно убедиться в том, что при значениях параметра t равных нулю и единице, мы получим координаты точек M1 и M2 соответственно. П.5. Примеры применения координатного метода к решению задачЗадача 1. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей. Р  ешение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (Здесь y – высота трапеции).
2. Найдем координаты середин диагоналей, используя формулу (2), и учитывая, что середина делит отрезок в отношении =1. Для точки О:  . Ответ:  .
З  амечание. Мы вводили в рассмотрение неизвестную нам высоту трапеции y. Но на этапе вычислений она сократилась. Задача 2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 4. В этой системе вершины треугольника будут иметь координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М2(0,0). Используя, как и в предыдущей задаче, формулы (2), найдем координаты середин двух других сторон. Для М3 получим:  . Для М1 аналогично находим:  .
2. Вычислим длины отрезков АМ1 и СМ3, используя формулу (6). Для АМ1 получим:  .
Длина второй медианы вычисляется аналогично. Ответ:  .
З  адача 3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов. Вычислите косинус угла между ними.
Решение. 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке 5. В этом случае вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а середины катетов:  . (Здесь а – длина катета.)
2. По формуле (4) вычислим координаты векторов 3. Теперь используем формулу (10) для вычисления косинуса угла между векторами. (Этот угол совпадает с углом между медианами.)
2. Считая, что точка М имеет координаты (х;у), запишем условие AM2+DM2=BM2+CM2 в координатной форме. Для этого используем формулу (6) при вычислении длин отрезков. Получим следующее выражение:  .
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим следующее уравнение:  , или:  (18).
В пункте 4.3 мы уже встречали такое уравнение – это общее уравнение прямой. И так, мы установили, что интересующее нас множество точек – это прямая линия. Попробуем теперь определить ее расположение относительно ромба. 3. Нетрудно заметить, что сторона АВ ромба может быть задана уравнением2 2. Пусть М(х;у) – произвольная точка плоскости, удовлетворяющая условию задачи: |AM|2+|BM|2=с2. Тогда: 
В случае, когда правая часть последнего равенства положительна, мы получаем окружность, центр которой лежит на середине отрезка АВ. Если правая часть равна нулю, то решением будет единственная точка – середина АВ. Если правая часть отрицательна, то задача не имеет решений. Т 1. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0;-8). Докажите, что это прямоугольник и найдите координаты точки пересечения его диагоналей. 2. Найдите длину средней линии треугольника, параллельной стороне АВ, если координаты вершин таковы: A(-3;-6), B(-8;6), C(4;-10). 3. (решение – методом координат!) Высота AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки BD=10 см и CD=4 см. Введите удобную систему координат и определите координаты вершин этого треугольника, если угол при вершине В равен 45 градусов. Объясните, почему выбранная система – наиболее удобная. 4. (решение – методом координат!) В правильной треугольной призме А...С1 все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми AD и ВС1. 5. (решение – методом координат!) В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, точки G и Н — середины ребер соответственно А1В1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AG и ВН. 1 Такой вектор принято называть направляющим. 2 Самостоятельно найдите координаты вектора и составьте каноническое уравнение этой прямой, используя формулу (13).
жүктеу/скачать 416.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
. Радиус-вектор точки раскладывается по трем этим векторам: 
. Числа 
- координаты точки M.
. Используют в общем случае.
- координаты точки А, а 
- координаты точки В.
, вычисляется по формуле:
, то их скалярное произведение можно вычислить по формуле:
. С одной стороны будет стоять произведение длин векторов 
и 
на синус угла между ними (так 
повернут к вектору 
с коллинеарны. Применив к ним первый признак коллинеарности (смотри пункт 3.1.), получим векторное равенство:
.
. Заметим, что в прямоугольной системе координат для любого вектора отношение второй его координаты к первой равно тангенсу угла, который данный вектор составляет с координатной осью ОХ. В нашем случае этот тангенс равен коэффициенту k.
и угловому коэффициенту k. В этом случае уравнение (15) принимает такой вид:
. (15)*
, а прямая m задана уравнением 
. Координаты направляющих векторов этих прямых равны соответственно 
и 
. Прямые будут перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы, те, в свою очередь, перпендикулярны, если их скалярное произведение 
. Отсюда получаем признак перпендикулярности прямых:
и 
. Следующие уравнения позволяют вычислить координаты любой точки, принадлежащей этому отрезку:
. Для точки О1: 
. По формуле (6) найдем расстояние между точками О и О1:
и 
. 
.
.
ешение. 1. Введем систему координат, взяв за ее начало центр ромба, а за оси – его диагонали. В этой системе вершины имеют координаты: A(-a;0), B(0;b), C(a;0) и D(0;-b).
. Перепишем его в виде 
, а уравнение (18) в виде 
. Угловые коэффициенты в этих уравнениях в произведении дают -1. Это значит, что для данных прямых выполняется признак (16) перпендикулярности. Кроме того, очевидно, что полученная выше прямая проходит через начало координат – оно же – центр ромба. Таким образом, условию задачи удовлетворяют все точки, лежащие на прямой, проходящей через центр ромба и перпендикулярной прямой АВ.
еперь рассмотрим пример применения метода координат в стереометрии. Предлагаем решить задачу, аналогичную тем, которые будут предлагаться на ЕГЭ по математике в этом году.
и 
, поэтому определим для них координаты начала и конца. 
. Таким образом 
. Координаты точек E и F найдем как середины соответствующих отрезков (формулы (2), 
). Теперь вычислим координаты векторов 
и 
. Применяя формулу (10) для трехмерного случая (нужно учесть третьи координаты) находим косинус угла между этими векторами: 
.