Принятие решений на основе метода анализа иерархий иерархическое представление проблемы
жүктеу/скачать 281.91 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 3.1. Иерархическое представление проблемы
- § 3.1.1. Структуризация задачи в виде иерархии
- § 3.1.2. Парное сравнение альтернатив (метод парных сравнений)
- § 3.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня
- § 3.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив (иерархический синтез)
- Литература к главе 3
Глава 3. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
§ 3.1. Иерархическое представление проблемыМетод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process - AHP), или подход аналитической иерархии предполагает декомпозицию проблемы на простые составляющие части и обработку суждений ЛПР. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам. Постановка задачи, решаемой с помощью метода AHP, заключается обычно в следующем.
Подход AHP состоит из совокупности этапов:
§ 3.1.1. Структуризация задачи в виде иерархииПостроение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится иерархия, включающая цель на верхнем уровне, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень (рисунок 3). 
Рис. 3. Иерархическое представление проблемы Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний – их порядковый номер. Рассмотрим процесс построения иерархической структуры на примере. Пример: В современном мире для эффективного руководства необходимо иметь максимум информации, причем оперативной и постоянно обновляемой, также необходимо быстро принимать решения и с оптимальной скоростью притворять их в жизнь, доводить до подчиненных. В связи с этим современный бизнес просто немыслим без передовых средств связи, в частности, мобильного телефона. Телефон стал неотъемлемым атрибутом делового человека. Для эффективного использования сотовой связи необходимо правильно выбрать оператора связи. При выборе оператора нужно учесть ряд критериев:
Учитывая все это, структура решаемой проблемы: выбор оператора связи из имеющихся на рынке, - может быть представлена в виде иерархической структуры, представленной на рисунке 4.
  
ТарифДополнительные услуги        
Репутация стоимость минуты автоответчик Зона обслуживания стоимость подключения роуминг   
АОН
форма оплаты
......... Рис. 4. Иерархическая схема проблемы выбора оператора сотовой связи Во многих случаях на уровне альтернатив должны быть указаны цифры. Необходимо сопоставить эти зачастую совершенно разнородные величины так, чтобы выявить предпочтения ЛПР. После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Существует несколько методов сравнения элементов, выбор которых обусловлен характером связей альтернатив с уровнем критериев, количеством альтернатив, временем поступления альтернатив и прочими соображениями ЛПР. § 3.1.2. Парное сравнение альтернатив (метод парных сравнений)Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа (таблица 2). Таблица 2. Шкала отношений
При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить число в интервале от 1 до 9 или обратное значение. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы – родители и элементы – потомки. Элементы – потомки воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами – родителями. Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов – потомков, относящихся к определенному родителю. Парные сравнения производятся в терминах доминирования одного элемента над другим в соответствии со шкалой отношений. Если элемент Е1 доминирует над элементом Е2, то клетка матрицы, соответствующая строке Е1 и столбцу Е2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е2 и столбцу Е1, заполняется обратным к нему числом. При проведении парных сравнений следует отвечать на вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее. При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна. Рассмотрим процесс построения матрицы парных сравнений не примере.
Иерархическая схема может быть представлена следующим образом (рисунок 5): Удовлетворение провайдером     
Тарифы
Скорость Доступность Оплата Услуги                
   
Рис. 5. Иерархическая схема проблемы выбора провайдера После построения иерархии строятся матрицы парных сравнений. При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, ЛПР выражает свое мнение, используя одно из приведенных в таблице 2 определений. В матрицу сравнений заносится соответствующее число. Начнем построение матриц парных сравнений с матрицы «Удовлетворение провайдером», которая покажет относительную важность характеристик при выборе компании. 
При построении матрицы человек задавался вопросом, какая характеристика для него наиболее важна при выборе провайдера. При сравнении любого критерия с самим собой не возникает вопросов о доминирующем воздействии одного из критериев, т.е. соответствующая позиция в матрице заполняется единицей, что соответствует одинаковой степени значимости критериев (см. таблицу 2 – шкала отношений). Рассмотрим первую строку матрицы. В позиции один два, при сравнении важности тарифов и скорости, ЛПР поставил значение равное Цифра пять в позиции один три говорит о том, что для ЛПР тарифы важней доступности сети, в то время Иерархию в какой-либо рассматриваемой проблеме можно выявить посредством анкетирования, синтезировать результат и продолжить дело с помощью анкеты для выявления суждений. Рассмотрим, как могут быть получены матрицы суждения для одной матрицы. Тот же метод может быть применен для иерархии. В качестве примера возьмем иерархическую структуру, представленную на рисунке 6.
Образование Опыт Зарплата Вписывается ли в коллектив         
  
Рис. 6 Иерархическая схема задачи выбора нового сотрудника Обозначим значения шкалы, располагая их в ряд от одного крайнего значения к равенству и затем вновь повышая до второго крайнего значения (таблица 3). В левом столбце перечисли все альтернативы, которые нужно сравнивать по степени превосходства с другими альтернативами из правого столбца. Эксперты должны отметить суждения, которые выражают превосходство элемента из левого столбца над соответствующим элементом из правого столбца, расположенном в той же строке. Если такое превосходство в действительности имеет место, то одна из позиций левее равенства будет отмечена. В противном случае будет отмечено равенство или некоторая позиция справа. Таблица 3. Сравнение альтернатив относительно критерия "образование"
Такая таблица составляется и заполняется для каждого критерия (четыре анкеты для сравнения альтернатив по каждому из критериев) и для сравнения критериев относительно цели (одна анкета в которой ЛПР решает какие критерии для него наиболее значимые). После заполнения экспертами анкет, по ним составляются матрицы парных сравнений. Например анкета имеет вид, представленный в таблице 4:
Матрица парных сравнений для анкеты из таблицы 4 имеет вид: 
Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегеометрическое, вычисляемое по следующей формуле: 
Логичность критерия становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки В достаточно ответственных задачах при оправданных задачах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации. Для определения весовых коэффициентов экспертов используют иерархическую структуру критериев, представленную на рисунке 7.
Профессиональный уровень Независимость суждений Порядочность     
Эксперт 1 Эксперт 3 Эксперт 2 
Рис. 7 Иерархия для ранжирования экспертов Расчет агрегированной оценки в случае привлечения  экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле:
Пример. Предположим, что в случае с выбором нового кандидата на работу, первый эксперт, которым мог быть начальник отдела управления кадрами, по результатам резюме заполнил анкету, которая приведена в таблице 4. Во время проведения собеседования с каждым из претендентов, второй эксперт, например один из директоров, заключил, что по уровню образования кандидатам соответствует анкета, заполненная следующим образом (таблица 5): Таблица 5. Сравнение альтернатив относительно критерия "образование", составленное вторым экспертом по результатам собеседования с кандидатами
Матрица парных сравнений для анкеты в таблице 5, имеет вид: 
Для объединения оценок суждений двух экспертов строится матрица с средним геометрическим оценок. В данной задаче такой подход не совсем правомерен. Однако, будем считать что суждения двух экспертов обладают одинаковой степенью значимости. Результирующая матрица имеет вид: 
При построении матриц парных сравнений важным вопросом является согласованность, или однородность матрицы. Согласованность – это следование логике при высказывании суждений экспертом. Для более наглядной иллюстрации понятия «согласованности» приведем пример. Пример. Предположим, что имеется три фрукта: яблоко, апельсин и ананас. Некто, предположим ребенок, говорит следующее: «Ананас в три раза вкуснее апельсина, а апельсин в два раза вкуснее яблока». Следующим высказыванием ребенка на вопрос о его любви к яблокам и ананасам, он говорит, что ананас в пять раз лучше яблока. В таких высказываниях ребенка несогласованности практически нет, несмотря на то, что исходя из его первого предложения ананас в шесть раз предпочтительнее яблока. Однако, нарушения логики могло быть гораздо более серьезным и даже привести к нетранзитивности. Так, второе высказывание могло звучать: «Мне яблоки нравятся больше чем ананасы». В практических задачах количественная и транзитивная (порядковая) однородность нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина Определение. Квадратную матрицу  в которой все элементы  , называют обратносимметрической.
При построении матриц парных сравнений не следует искусственно выстраивать матрицу исходя из условий согласованности. Такой подход может исказить предпочтения ЛПР. Однако во многих задачах, однородность матриц должна быть высокой. Для оценки однородности используют то свойство, что при нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она имеет несколько собственных значений. При небольших отклонениях суждения от однородности одно из собственных значений будет существенно большие остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Это свойство вытекает из следующих двух теорем. Теорема 1. В положительной обратносимметрической квадратной матрице  .
Теорема 2. Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда  .
Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:
В качестве допустимого используется значение § 3.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровняРанжирование элементов, анализируемых с помощью матрицы парных сравнений, осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц. Определение. Пусть задана квадратная матрица . Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор  собственным вектором квадратной матрицы  , если они связаны между собой соотношением  .
Собственные значения квадратной матрицы Определение. Собственный вектор отвечающий максимальному собственному значению называется главным собственным вектором. Пример. Рассмотрим следующую матрицу парных сравнений: 
Вычислим для данной матрицы главный собственный вектор. 
При решении данного уравнения получено максимальное собственное значение  
Полученный главный собственный вектор ранжирует альтернативы и назначает им веса. Таким образом, вторая альтернатива наиболее предпочтительная, затем идет третья и первая. Заметим, что сумма координат полученного вектора равна единице. Таким образом можно говорить об относительной важности того или иного сравниваемого критерия или альтернативы. Квадратная матрица имеет не более где Максимальное собственное значение вычисляется по формуле: Для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц целесообразно использовать вычислительные средства и современные программные продукты. Однако, при отсутствии вычислительных мощностей, приближенное значение главного собственного вектора можно получить суммированием элементов каждой строки и последующим делением каждой суммы на сумму элементов всей матрицы. Пример. Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:
Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:  
Нормализуя вектор 
Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле 
При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот. Пример. Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.  
 
При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.
Для вычисления собственных векторов и значений, первым шагом является определение матрицы. Для определение введем в пустом документе название матрицы  Рис. 8. Меню вставки пакета Mathematica После вставки матрицы и заполнения всех ее элементов необходимо нажать клавиши <Shift>+<Enter> - пакет произведет назначение матрице  соответствующих числовых характеристик.
Вычисление собственных значений выполняется функцией Eigenvalues[M], а собственных векторов Eigenvectors[M]. При вычислении желательно сопроводить функции последующим символом N через две косые черты (//N), в противном случае Mathematica проведет вычисления символьно. После ввода строки Eigenvalues[M]//N и нажатия клавиш <Shift>+<Enter>, Mathematica выдаст результат, представленный на рисунке 10. 
Рис. 9. Определение размерности матрицы в пакете Mathematica На рисунке 10 приведены вычисления и векторов, и значений. При выполнении вычислений получено одно действительное собственное значение. Это значение нас и интересует, оно несколько превышает размерность матрицы, тройку, что говорит о неполной согласованности матрицы. На приведенном рисунке интересующий нас вектор обведен. Вектор не является нормированным. Для его нормализации необходимо найти сумму элементов вектора, а затем разделить все координаты на получившуюся сумму. При использовании пакета Mathematica необходимо помнить, что строчные и заглавные буквы различаются. Так, например, название функций должны начинаться с заглавной буквы, в противном случае они не распознаются. Аргументы функций обязаны стоять в квадратных скобках. Р Вычислим собственные вектора и значения с использованием Mathcad. Определим и введем в рабочий документ матрицу Воспользуемся первым вариантом. После того как имя матрицы и оператор присваивания были введены, откроем панель операций с матрицами, щелкнув по кнопке Рис. 11. Панель операций с матрицами в пакете Mathcad 
Рис. 12. Окно определения размеров матрицы в Mathcad После ввода матрицы присвоим некоторой переменной  значение функции eigenvals(А). Данная функция вычисляет собственные значения квадратной матрицы . Присвоение должно быть выполнено правее или ниже определения матрицы , в противном случае матрица для функции будет неизвестна. После выполнения такого присваивания, введем с клавиатуры С=. Фрагмент рабочего стола, после выполнения всех описанных выше процедур, приведен ниже.
Для вычисления главного собственного вектора, воспользуемся функцией eigenvec(A, z) – вычисление собственного вектора матрицы 
Вектор не нормирован. Нормируем его. Для удобства расчетов присвоим главный собственный вектор некоторой переменной Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий перечисленные выше действия, приведен ниже.
Для того чтобы вычислить собственные значения и главный собственный вектор новой матрицы, достаточно изменить числа в исходной матрице А. При этом необходимо следить, чтобы индекс интересующего нас собственного значения был соответствующим. Рабочий стол удобно дополнить формулами индекса согласованности и отношения согласованности матрицы парных сравнений: В Для вычисления главного собственного вектора и наибольшего собственного значения обратносимметрической квадратной матрицы второго, третьего и четвертого порядка существуют точные формулы. Использование формул весьма сомнительно в силу большого числа вычислений, за исключением матрицы второго порядка: Матрица 2 x 2  Для этого случая  ,  .
Матрица 3 х 3  ; 
 .
 .
Матрица 4 х 4. 
 .
 .
Вычисление собственных векторов и значений в MS Excel. Довольно просто, используя определение собственного значения и формулу § 3.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив (иерархический синтез)Рассмотрим иерархию на рисунке 13. Иерархический синтез используется для общего ранжирования альтернатив относительно цели, т.е. для подсчета количественной оценки качества альтернатив. Е11  
Е12 Е22 Е32     
Е23 Е33 Е13      
А1 А2 Рис. 13. Пример трехуровневой иерархической структуры Алгоритм иерархического синтеза для вышеприведенного примера:
 
 
 
 
 
 
 
Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно основной цели Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д. На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей. В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов. Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума. Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне. Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей. ОБ
Д
У А     
П
Э Н Л    
Р
О М Рис. 14. Иерархическая схема общего благополучия индивидуума  
 
 
 
 
 
 
Осуществим иерархический синтез: 
Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей. В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными. После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню. Пример. Рассмотрим иерархию из предыдущего примера. Пусть ИО1 – индекс согласованности 1-ого уровня; ИО21, ИО22 и ИО23 – индексы согласованности второго уровня; ИО31, ИО32, ИО33 и ИО34– индексы согласованности третьего уровня. Тогда индекс однородности иерархии можно определить следующим образом: 
Для оценки отношения однородности используют следующее выражение:  , где
Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях Литература к главе 3:
жүктеу/скачать 281.91 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
. Это означает, что скорость доминирует по предпочтению над тарифами. «При выборе провайдера для меня скорость во много крат важнее чем тарифы» – говорит ЛПР. Семерка отвечает очевидной или очень сильной значимости одного сравниваемого объекта по сравнению с другим, согласно шкале отношений.
на пересечении строки тарифов и столбца оплаты отвечает случаю, когда удобство оплаты для ЛПР немного важнее расценок провайдера.
и 
, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.
ни была взята для сравнения 
-го элемента с 
-ым, 
приписывается значение обратной величины, т.е. 
. 
от порядка матрицы 
- среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).
. Если для матрицы парных сравнений 
, то это свидетельствует о существенном нарушении логики суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.
. 
. Для вычисления главного собственного вектора необходимо решить систему линейных уравнений:
,
.
.
делением каждой координаты на величину 
, получаем приближенное значение главного собственного вектора:
, рассмотренной выше:
.
(рисунок 11). После этого на появившейся панели щелкнем по кнопке 
. Чтобы обратиться к функции, введем с клавиатуры ее имя, затем перечислим в скобках ее аргументы: название матрицы и название вектора собственных значений с индексом, задающим номер интересующего нас собственного значения. Индексы координат векторов в Mathcad начинаются с нулевого (данная настройка может быть изменена). После ввода функции необходимо поставить знак равенства:
. Вычисление суммы 
на панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая слева внизу). При ее нажатии появляется знак суммы. Под знаком суммы поставим вектор 
панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая справа сверху).
относительно последнего уровня иерархии. Для этого строим матрицы парных сравнений 
и вычисляем для каждой из матриц максимальные собственные значения (для оценки однородности суждений) и главные собственные вектора (приоритеты):
относительно элементов 
, находящихся на всех иерархических уровнях. Для предпоследнего уровня 
. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление производится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.
.
.