Биометрия

ШЩкЩрім атында“ы Семей мемлекеттік университеті

К.Х.Н±ржанова, Н.Б.Бурамбаева, А.Ж.Нурсафина

БИОМЕТРИЯ

О›у ›±ралы

Алматы, 2010

Сараптамашшылар:

«Биометрия» пЩні бойынша о›у ›±ралы жо“ар“ы о›у орындарыныЈ студенттеріне арнал“ан. О›у ›±ралында биологиялы› зерттеулерде ›олданылатын негізгі математико-статистикалы› ЩдістердіЈ жалпы“а ›олайлы формалары мазм±ндал“ан. МЩліметтердіЈ мазм±ны биология, медицина жЩне ауылшаруашылы“ы салаларыныЈ ЩртЇрлі мысалдарымен келтірілген.

О›у ›±ралы ШЩкЩрім атында“ы Семей мемлекеттік университетініЈ о›у Щдістемелік кенесініЈ отырысында бекітілді.

№ 4 хаттама 31 наурыз 2010 жыл

ISBN 978-601-248-106-8

© К.Х.Н±ржанова, Н.Б.Бурамбаева, А.Ж.Нурсафина, 2010

Ал“аш›ы мЩліметтерді топтастыру жЩне ішінара Щдіс

Биометрия - биологияныЈ топтастыру ›асиеттерініЈ статистикалы› талдауы туралы “ылым. БиометрияныЈ кймегімен еЈ алдымен йлшейтін, салма›тайтын жЩне ай›ындалатын белгілерді жЩне белгілі санды› кйрсеткіштерді сантиметрмен, килограммен сипатталуын зерттеуге болады. Ай›ын санды› кйрсеткіш белгілерін варианта деп атайды.

БиометрияныЈ Щдістері ы›тималды› теориясына жЩне Їлкен санды› заЈдылы›тар“а негізделген, б±л кездейсо› жа“дайлардыЈ кйріну заЈдылы›тарыныЈ кйпшілік материалдарыныЈ ай›ындалу заЈдылы›тарын кйрсетеді.

Ы›тималды› - ›андайда бір жа“дайдыЈ келіп тЇсуініЈ объективті мЇмкіндігі. Кез келген жа“дайдыЈ ы›тималды“ы 0 - ден 1-ге дейін жетеді. Биологиялы› объектілерді ба›ылау сол жЩне бас›а да белгілері бойынша бір бірлік ба›ылауынан екінші бірлікті ажыратады; оларды йзара салыстыру“а болатындай тірі а“заныЈ ›±рылысы мен функциясыныЈ сипатталу ерекшеліктері ар›ылы жЇргізіледі. Егер, зерттеушіні бидайдыЈ маса“ында“ы дЩнніЈ мйлшері немесе бас›а т±›ым тЇрлері ›ызы›тыратын болса, онда т±›ым ба›ылау объектісі болып табылады, ал белгі ретінде – маса›та“ы дЩнніЈ саны, я“ни ба›ылаудыЈ бірлігі болып ›арастырылып, зерттеуге ыЈ“айлы массада“ы статистикалы› жиынты› бірлігін ›±райды. Шрбір белгі ЩртЇрлі деЈгейде сипатталатынды›тан белгі йзгереді деп айтады.

БиометрияныЈ объектісі йзгермелі белгі болып табылады, ал особьтар тобында“ы жеткілікті сан мйлшері ескеріліп, бас›а негізгі белгілер ›атарыныЈ біртектілігін есепке алады. Кез келген топта“ы особьтардыЈ белгілері ЩртЇрлі кездейсо› факторлардыЈ Щсер етуінен, мысалы, т±›ым ›уу айырмашылы“ына, ›орша“ан орта факторларына, физиологиялы› жа“дайына байланысты йзгеруі Щр ба“ытта кешенді тЇрде келісіледі. НЩтижесінде Щр тЇрлі факторлардыЈ а“за“а Щсері бірдей емес, ол жеке тЇрдіЈ кйлемініЈ біртекті топты› белгілерініЈ йзгеруіне де Щкеп со“ады. изгермелі белгілерді латын алфавитініЈ Щріптерімен белгілейді. Барлы› биологиялы› белгілер йзгереді, біра› барлы“ы бірдей тікелей йлшеуге келмейді. ОсыныЈ нЩтижесінде белгілерді сапалы немесе атрибутивті жЩне санды› деп бйледі.

Санды› белгілер тікелей йлшеуге келмейді жЩне берілген жиынты› мЇшелерініЈ тЇгел болуымен есепке алынады. Жалпы жиынты›тыЈ кейбір бйлігініЈ мЇшелерін алып зерттесе,оны генералды (бас), ал бас жиынты›тан бас›а тЩсілдермен таЈдап алуды ішінара жиынты› немесе іріктеу деп атайды.

ІріктеудіЈ кйлемі йте маЈызды с±ра› тудырады. ОныЈ кйлемін аны›тау ›арастырылатын с±ра›тардан жЩне зерттелген дЩрежелерден т±рады. Іріктеудегі особь сандарын – n, басты жиынты›ты - N Щріптерімен белгілейді. ІріктеудіЈ саны кйп (Їлкен) жЩне аз (кіші) тЇрлерін ажыратады, я“ни белгі кйрсеткіштері ЩртЇрлі йЈдеу Щдістеріне байланысты болады. 30 мЇшеден кйп болса Їлкен іріктеу, ал 30 мЇшеге дейінгіні кіші іріктеу деп атайды. ®лкен іріктеуді есептеуде тура тЩсілмен емес, оларды топтастыру ар›ылы жЇргізіледі. Б±ндай бйлу кезінде есептеп шы“ару техникасыныЈ Їлкен жЩне кіші іріктеулерде бйлінуі ›олданылмайтынын ескере кеткен жйн. Ал“аш›ы ›±жаттар статистикалы› а›параттыЈ бастауы болып табылады, оларды Щр деЈгейдегі арнайы мамандар жЇргізеді.

индірістік есептегі жЩне арнайы тЩжірибелерден алын“ан нЩтижелер мен экспедиция материалдары биометриялы› йЈдеуге жЩне ›ол немесе машина Щдісімен оларды йзгерте алатындай жЇйеленуі жЩне топтастырылуы ›ажет.

ЖЇргізілген топтамалар жЇргізілу ма›сатына жЩне жЇргізілу белгілеріне байланысты Щр тЇрлі болып келеді. ТоптаудыЈ еЈ кеЈ тара“ан тЇрі статистикалы› кесте болып табылады. Бір белгісі бойынша топтау –›арапайым, ал бірнеше белгілері бойынша топтау – кЇрделі деп аталады. Осы“ан байланысты кесте ›арапайым жЩне кЇрделі деп аталады. ТоптаудыЈ ›арапайым формасын сапалы› жЩне альтернативтік белгілері Їшін ›олданылады. Б±л Їшін ›±рамын екі немесе Їш, тйрт топ›а бйледі.ЕЈ ›иын топтау іріктеу, б±л тЇрлендіру белгілері бойынша іріктеу. Топтау йту жоспарына жЩне топтау белгілеріне байланысты оларды статистикалы› ›атар“а тіркейді. Статистикалы› ›атар атрибутивті, вариациялы›, динамика немесе уа›ытты›, жиіліктіЈ жина›талуы. Егер жиынты› мЇшелері санды› белгілерін меЈгерсе, онда іріктеу жЇргізу вариациялы› ›атар тЇрінде жЇргізіледі.

1.1 Вариациялы› ›атар ›±ру жЩне оныЈ графикалы› бейнесі

Ма›саты: Вариациялы› ›атар ›±ру Щдісімен танысу.

Вариациялы› ›атар деп - ›арастырыл“ан жиынты›та“ы бірліктердіЈ орналасу заЈнамасын кйрсететін сандар ›атары. Берілген жиынты›та жекеленген варианттар ›анша рет кездесетінін кйрсететін санды жиілік немесе вариант салма“ы деп атайды. Оны р немесе f Щріптерімен белгілейміз. ЖиіліктіЈ мйлшері берілген жиынты›тыЈ кйлеміне теЈ. м±нда“ы - вариациялы› ›атардыЈ жиілігі, n - іріктелген жиынты›ты› кйлемі. Вариациялы› ›атарды табу Їшін еЈ алдымен оныЈ классын аны›тау керек, екінші интервалын немесе жиынты›тыЈ минимальды вариантынан максимальды вариант›а дейінгі аралы“ын аны›тайды. Классты› интервалдыЈ ±зынды“ы жиынты›тыЈ максимальды варианты мен минимальды вариантыныЈ айырмасыныЈ топ саныныЈ ›атынасына теЈдігімен (К) аны›талады:

Іріктеу кйлемі ( бастап - кейін)Класс саны25-405-640-606-860-1007-10100-2008-12> 20010-15

Вариациялы› ›атар ›±ру Їшін:

1. ВарианттыЈ лимитін немесе на›ты минимальды жЩне максимальды мЩнін табу.

2. Классты› интервалдыЈ кйлемін табу.

3. Класстар ›±ру. љарастырыл“ан белгініЈ минимальды мЩніне классты› интервалдыЈ кйлемін максимум енгенге дейін ›осып отыру. Жо“ар“ы шектеулер кластарыныЈ мйлшерін азайту, белгіні йлшегендегі дЩлме-дЩл мЩнін табу, мысалы 1, 0,1, 0,01 жЩне т.б. кластардыЈ ›ажетті шегіне жетеді.

4. Орталы› класстыЈ кйлемін аны›тау. Олар берілген тйменгі шектеулердіЈ жЩне келесі кластардыЈ жартылай мЩніне теЈ, сондай-а› берілген кластардыЈ тйменгі шектеулеріне класты› интервалдыЈ жартысын ›осу“а болады.

5. Класс бойынша вариантты тасымалдау. Б±л Їшін тйрт графадан т±ратын жЩне класс саныныЈ ба“андарымен теЈ кесте ›±рамыз. Бірінші графада - класс шектеулері, екіншісінде- класс орталы›тары, Їшіншісінде - ЩртЇрлі шартты белгілер жиілігін есепке алу, тйртіншісінде - Щрбір класта кездесетін вариант жиілігі (3 графада“ыдай санды› бейнеленуі) беріледі.

Ірі іріктеу жЇргізген кезде келесі жиілік шифрын ›олдан“ан ыЈ“айлы.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • •

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Егер вариант класын (w) бір ›атар“а, ал жиілікті бас›а ›атар“а жазса›, классты немесе жиілікті бейнелейтін екі ›атар санды вариациялы› ›атар пайда болады. Вариациялы› ›атарда йзініЈ белгілі заЈнамасы болады. Шеткі вариациялар аз санды болып келеді, ал ортаЈ“ы ›атар“а жа›ындай келе вариация жиілігі жо“арылайды. ОртаЈ“ы вариациялы ›атарда немесе бір вариация“а жа›ын вариацияда жиілік саны кйп кездессе ол модальді вариация деп аталады. Графикпен бейнеленген вариациялы› ›атар жиілік диаграммасын кйрсетеді. Интервалсыз вариациялы› ›атардыЈ графигін ›±р“анда абсцисс йсінде класс мЩндері, ал ординат йсінде жиілік белгіленеді. Абсцисс йсіндегі перпендикуляр ±зынды“ы, класстыЈ жиілігіне сЩйкес келеді. Перпендикуляр ±зынды›тарын тЇзу сызы›тармен жал“ау ар›ылы кйпб±рышты геометриялы› фигура аламыз. Вариациялы› ›атар“а график ›±р“анда координациялы› йстеріндегі маштап›а Їлкен мЩн беру керек.Вариациялы› ›исы›тыЈ ±зынды“ы о“ан 5:8 ›атынаста болу керек.Б±л ережелерді са›тама“ан жа“дайда кері мЩнге Щкеп со“ады.

Тапсырма 1. Кйп жылды› клиникалы› ба›ылаулардыЈ нЩтижесінде клиникалы› дені сау павиан гамадрилдердіЈ ›ан сарысуында“ы кальцидіЈ (мг/%) ›±рамына 100 анализден іріктеу жасалынды:

13,6 12,9 12,3 9,9 12,7 11,7 10,8 10,4 10,9 10,2

14,7 10,4 11,6 11,7 12,1 10,9 12,1 9,2 10,1 11,5

13,1 10,9 12,0 11,1 13,5 11,2 13,5 10,1 14,0 10,0

11,6 12,4 11,9 11,4 12,8 11,4 10,9 12,7 13,8 13,2

11,9 10,8 11,0 12,6 10,0 10,3 12,7 11,7 12,1 13,8

12,2 11,9 11,6 10,6 11,1 10,7 12,3 11,5 11,2 11,5

12,7 10,5 11,2 11,9 9,7 13,0 9,6 12,5 11,6 9,0

11,5 12,3 12,8 12,6 12,8 12,5 12,8 11,4 12,5 12,3

14,5 12,3 12,6 11,7 12,2 12,3 11,6 12,0 13,5 12,5

11,6 11,9 12,0 11,4 14,7 11,3 13,2 14,3 13,2 14,2

1. Осы мЩліметтерді вариациялы› ›атар“а топтастыру;

2. Гистограмма ›±ру.

Тапсырма 2. СиырлардыЈ тірі салма“ы (кг) бойынша тйменде берілген мЩліметтер бойынша вариациалы› ›атар ›±ру:

597 673 598 670 657 647 588 646 555 692 635 610

614 650 629 602 584 630 607 652 654 669 503 665

552 685 599 628 655 584 672 550 605 625 645 545

570 644 591 595 664 565 678 540 715 568 688 612

530 660 538 708 535 695 596 675 618 547 638 655

562 571 653 564 648 582 642 559 580 627 567 630

590 576 630 576 630 574 614 586 580 635 610 567

619 633 608 625 522 612 636 604 625 522 612 636

604 625 644 565 617 585 620 658 572 618 634 596

612 603 626 635 611 578 605 595 615 652 615 637

587 601 590 610 592 621 575 606 639 585 512 583

Тапсырма 3. 75 янтарь-сапфир ›±ндыздарыныЈ (кЇшіктерініЈ саны бойынша) кйпт±›ымдылы“ы бойынша вариациалы› ›атар жЩне вариациалы› ›исы›тарды ›±ру. Тймендегідей іріктеу жасалынды:

4 4 2 8 1 6 4 3 4 4 4 6 4 5 2 4 7 4 6 5 6 4 5 4 4

8 4 5 4 4 5 4 3 4 5 4 5 4 4 7 3 4 5 4 5 4 4 3 4 4

4 4 7 5 3 6 4 9 4 6 4 2 6 4 2 4 5 4 4 4 4 3 4 5 7

Тапсырма 4. Шош›аныЈ т±›ым йнімділігіне байланысты вариациалы› ›исы› ›±ру, оныЈ типін аны›тау.

Шош›аныЈ торайлар саны 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Жиілік 1 2 8 8 19 27 15 4 1

Ба›ылау с±ра›тары.

1. 
   Іріктеу дегеніміз не, олар ›алай ›±рылады?
   
2. 
   Вариациалы› ›атар жЩне вариациалы› ›исы› тЇсініктеріне аны›тама беру.
   
3. 
   Вариациалы› ›атар ›алай ›±рылады?
   
4. 
   Вариациалы› ›атардыЈ ›андай кйрсеткіштері белгініЈ йзгермелілігін аны›тайды?
   
5. 
   Вариациалы› ›исы›тар жЩне Їлестіру типтері ›андай болады?
   

Логикалы› жЩне теориялы› жа“ынан негізделген жЩне йзгермелі объектілердіЈ йзіндік сапасын аны›тау“а жЩне оларды йзара салыстыру“а мЇмкіндік беретін санды› кйрсеткіштерді статистикалы› сипаттама деп атайды. ОлардыЈ ішіндегі еЈ маЈыздысы белгілер йзгермелілігініЈ дЩрежесі мен кйрсеткіштері болып табылады.

Басты жиынты›та йзгермелі белгініЈ орташа деЈгейін сипаттайтын негізгі статистикалы› параметрлер белгініЈ орташа дЩрежесін кйрсетеді жЩне оларды латын Щріптерімен белгілейді: орташа арифметикалы› ( ), орташа геометриялы› (G), орташа квадратты› (S), орташа гармониялы› (Н), мода (М), медиана (Ме).

Атал“ан параметрлер еЈ тйменнен еЈ жо“ары“а дейінгі аралы›та йзгеріп отыратын белгініЈ орташа деЈгейініЈ кйрсеткіші болып табылады. Ал“а ›ойыл“ан ма›сат›а байланысты ›ажетті статистикалы› параметр ›олданылады. Кйбінесе сапалы› белгілерге сипаттама беру Їшін орташа арифметикалы› ( ) ›олданылады. Егер шеЈбердіЈ кйлемі немесе шар кйлемін сипаттайтын белгілерді аны›тау керек болса, орташа квадратты› (S) ›олданылады. Мал басыныЈ орташа йсімін немесе онтогенез кезеЈдерінде жануарлардыЈ тірі салма› массасыныЈ йсімін аны›тау ›ажет бол“ан жа“дайда орташа геометриялы›пен (G) есептейді. БелгініЈ ±л“аюы ж±мсал“ан уа›ыттыЈ керісінше дЩрежесінен кйрінсе орташа гармониялы› (Н) есептеледі.

Биологияда кйлемдік орташалардан бас›а ›±рылымды› орташалар – медиана, мода жЩне т.б. ›олданылады.

Орташа шама біртекті масса вариантпен сипатталуы мЇмкін. Егер орташа біртекті емес сапалы› байланыста“ы мЩліметтерден алынып жЩне д±рыс таЈдалмаса, бейнеленген ›±былысты немесе Їрдісті арнайы есепке алынба“анды›тан ол жал“ан болып табылады. љ±рамы бойынша Щртекті мЩліметтерді жеке сапалы біртекті тоаптар“а біріктіру керек жЩне олардыЈ топты› немесе меншікті орташаларын есептеп шы“ару керек.

Орташа шамаларда йзгермелі объектілер жйнінде толы› а›параттар жо›. Тек бірдей орташаларда олармен сипататалатын белгілердіЈ вариация шамасымен айырмашылы“ы болады. Сонды›тан орташа шамамен вариациялы› ›атардыЈ толы› сипаттамасымен вариация кйрсеткіштері есеплелуі керек.

Берілген жиынты›та“ы тЇр белгілерініЈ вариабельдігін зерттеуде тймендегідей парметрлерді ›олданады: лимит (lim), орташа квадратты› ауыт›улар (σ), вариация коэффициенті (С , 100%), варианса (σ ), ›алыпты ауыт›улар (t).

Орташа шамалар жЩне вариация кйрсеткіштері топтал“ан, сондай-а› топталма“ан вариациалы› ›атарда“ы мЩліметтермен есептелініп шы“арылады. ЕсептеудіЈ сипатын кйрсететін Їш негізгі тЩсіл бар: 1) негізгі немесе туынды тЩсілі; 2) шартты орташа, немесе шартты нйлдік жЩне туынды бастауы; 3) жиынты› тЩсілі, вариациалы› ›атарда“ы кумуляция жиілігіне негізделген.
2.1 Та›ырып. Орташа арифметикалы›

Ма›саты. Санды› белгілердіЈ негізгі биометриялы› кйрсеткіштерініЈ кіші жЩне Їлкен іріктеулерін есептеудіЈ Щдістерімен танысу.
Орташа арифметикалы› - берілген топта“ы тЇрлердіЈ белгілерініЈ орташа шамасыныЈ кйрсеткіші, ол осы белгініЈ орташа вариациясымен сипатталады.

Орташа арифметикалы› – абстракты сан. Егер маса›та“ы дЩнніЈ орташа санды› кйрсеткіші теЈ болса 5, 7, онда б±ндай сан орташа шаманы сипаттайды, біра› шын мЩнінде 5,7 дЩнніЈ болуы мЇмкін емес.

Орташа арифметикалы› (егер іріктеу кйпсанды болмаса) тймендегі формуламен есептелінеді:

, или (2)

М±нда - орташа арифметикалы›;

n –варианта саны;

(сигма) – ›осынды белгісі (сумма).

Мысал. љойдыЈ жас тйлініЈ тері эпидермисініЈ ›алыЈды“ы 28; 27,2; 19,6; 25,2; 18,5 (мкм) ›±райды:

®лкен (n>30) орташа араифметикалы›ты есептеу Їшін шартты орташа формуласын ›олданып, вариациалы› ›атар Щзірлеп кесте ›±ру керек:

м±нда - орташа арифметикалы›;

А – шартты орташа;

b – шартты орташадан орташа ауыт›у;

К – класс аралы› шама.

Мысал. 100 шош›аныЈ торайлар саныныЈ орташа санын есептеу керек. Туыл“ан торайлар саныныЈ вариациалы› ›атары тймендегідей:

w p

8 1

10 19

12 27

14 4

Осыдан кейін ›андай класс аралы› сан“а (минус немесе плюс жа“ына) Щрбір класстан класс›а ауыт›итынды“ын шартты орташа деп ›абылдайтынды“ымыз бекітіледі. Б±л ауыт›улар, а Щрпімен белгіленіп, вариациялы› ›атар“а параллельді ба“андар“а жазылады; олар ЩртЇрлі жиілік санына жат›ызылады, сонды›танда орташа ауыт›уды (b) табу Їшін шартты орташадан Щрбір жиілігі сай келетін ауыт›у“а кйбейтіп (р на а) жЩне туындыны сол жЩне бас›а да белгісімен ауыт›у“а параллель ба“ан“а жазу керек. Сосын ауыт›удыЈ туынды жиілігініЈ алгебралы› ›осындысын жЇргіземіз, я“ни ра аны›талады. Берілген мысалда ра =31. Осыдан орташа ауыт›у шамасы шартты орташадан бір варианта“а йтуі аны›талады.

А

8

10

11

13

141

19

34

11

4-3

-1

0

+2

+3-3

-19

+27

+12 n=100 ра = 31

Орташа ауыт›уды шартты орташадан мына формула бойынша есептейді:

(4)

БіздіЈ мысалда b=0,31.

Енді на›ты орташа арифметикалы›ты формуласын ›олдана отырып есептейміз:

А+bK

11+0,31х1=11,31.

илшенген орташа арифметикалы› йз алдында бірнеше жиынты›тан т±ратын орташалау арифметикалы›тан т±рады. Ол мына формуламен шы“арылады:

м±нда - бірнеше жиынты›тыЈ орташа арифметикалы“ы;

n – осы жиынты›тардыЈ салма“ы (кйлемі).

Мысал. Жеке отарда“ы ›ойлардыЈ жЇн талшы“ыныЈ жіЈішкелігініЈ (мкм) орташа арифметикалы› кйрсеткіштері ( ) бар жЩне осы отарда“ы ›ойлардыЈ саны (n). љойлардыЈ жЇн талшы“ыныЈ жіЈішкелігініЈ орташа арифметикасын есептеу ›ажет.

љойлардыЈ жЇн талшы“ыныЈ жіЈішкелігініЈ йлшенген орташа арифметикасын мына кесте ар›ылы жЇргіземіз:

№ отар N · n1

2

3

4

22

25

24210

240

3004200

6000

7200 1000 22500

Тапсырма 1. Екі ›±с фабрикасында ж±мырт›а салушы тауы›тардыЈ саны 20000-нан 28200 басты ›±райды, олардыЈ орташа ж±мырт›а салуы 294 жЩне 280 дана. Екі ›±с фабрикасында“ы орташа ж±мырт›а салу мйлшерін аны›таЈыз.

Тапсырма 2. 60 адай биелерініЈ таза салма“ы бойынша мына мЩліметтерден орташа арифметикасын табыЈыз:

463. 
     424 573 481 471 425 470 492 480 490
     
464. 
     490 489 445 520 375 510 400 475 512
     
465. 
     476 516 460 480 500 530 480 463 490
     
466. 
     520 430 450 490 460 520 455 480 461
     
467. 
     451 480 451 480 499 525 475 480 453
     
468. 
     490 480 491 514 498 490 460 491 475
     

Ба›ылау с±ра›тары.

1. 
   Орташа арифметика ›алай сипатталады жЩне ол Їлкен варианта санынан ›алай аны›талады?
   
2. 
   Орташа арифметиканыЈ ма“ынасы басты жиынты›та мйлшермен ›алай тербеледі?
   
3. 
   Орташа йлшенген дегеніміз не? Ол ›андай жа“дайларда ›олданылады жЩне оны ›алай есептейді?
   
4. 
   Орташа шаманы атаЈыз жЩне оны ›алай ›олданамыз?
   
5. 
   Орташа шама ›андай ›асиеттермен ерекшеленеді?
   

Берілген белгініЈ йзгеру серпіндісініЈ лимит кйрсеткіші – вариациалы› ›атардыЈ шеткі шамалары. Біра› шеткі варианталар вариациалы› ›атар ішіндегі ›ал“ан варианталардыЈ таралуын кйрсетпейді, я“ни лимиттер йзгеру дЩрежесініЈ кйрсеткіші болып табылмайды.

изгеру дЩрежесі, вариациалы› ›атарда“ы варианталардыЈ таралуы йзгергіштіктіЈ негізгі кйрсеткіші орташа квадратты› ауыт›умен сипатталады, ол мына формула бойынша есептелінеді:

σ= , (6)

м±нда σ (сигма)– орташа квадратты› ауыт›у;

D – орталы› ауыт›у, я“ни орталы› арифметикадан вариантаныЈ ауыт›уы

(D=х- )

Берілген формула егерде іріктеу сандары аз бол“анда ›олданылады.

Мысал. Екі шаруашылы›та“ы сиырлардыЈ жо“ар“ы тЩуліктік сауыны:

1 шаруашылы›та –10, 14, 17, 20, 23, 25, 28, 31, 34, 38, = 24 кг;

2 шаруашылы›та –10, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 38 , = 24 кг. ›±райды. Орташа квадратты› ауыт›уды есептеЈіз (σ):

1 шаруашылы›2 шаруашылы›Хх- (х- ) хх- (х- ) 10

14

17

23

25

31

34

-10

-4

-1

+4

+7

+14196

49

16

1

16

100

21

22

24

24

26

27

-3

-2

0

0

+2

+3

9

4

0

0

4

9

σ кг, σ кг.

Бірінші шаруашылы›та сауынныЈ жо“ары тЩуліктік йзгеруі екіншіге ›ара“анда кЇштірек жЩне сауынныЈ σ арты›.

Орташа квадратты› ауыт›уды (σ) есептегенде саны кйп іріктеулерде вариациалы› ›атар ›±рылып есептеу мына формула ар›ылы жЇргізіледі:

м±нда - ›осынды белгісі;

р – жиіліктер;

а – орташа шарттыдан ›аншалы›ты класаралы››а т±рып ›ал“анды“ын кйрсететін шама;

К – класаралы› шама;

n – варианта жиілігі.

Орташа квадратты› ауыт›уды есептеу орташа арифметикалы›ты Їйлесімді есептеу ар›ылы жЇргізіледі. Б±л Їшін х есептегендей іріктеу ›ажет; жЩне ›осымша аны›тау жЇргізу керек. Соды›тан да жазыл“ан жиілік ба“анын (р) есептеуде , ауыт›уларда (а) олардыЈ туындылары (Ра) жЩне туынды жиіліктерініЈ квадратты› ауыт›улары келесі ба“андар“а жазылады. Содан кейін олардыЈ ›осындысы табылып, я“ни аны›талады.

А“за топтарында“ы зертелінетін белгілердіЈ йзгергіштігі орташа квадратты› ауыт›улар йзгергіштігініЈ дЩрежесін кйрсетеді: σ не“±рлым кйп болса, со“±рлым йзгергіштікте кйп болады, керісінше не“±рлым σ аз болса, со“±рлым йзгергіштікте аз болады. Орташа квадратты› ауыт›улар сондай-а› тербеліс серпінділігін кйрсетеді. Шдетте б±л серпінділік 3σ теЈ келуі мЇмкін, я“ни варианта саныныЈ басымдылы“ы ± 3σ от шекарасына орналасады.

Вариациалы› ›атарда, маЈызды саны бойынша ›±рыл“ан біртекті варианталар жеткілікті, олар шекараларда орналасады:

± 1,0 σ……………………………. 68,3% барлы› варианта

± 1,5 σ……………………………. 86,6% барлы› варианта

± 2,0 σ……………………………. 95,5% барлы› варианта

± 2,5 σ……………………………. 98,8% барлы› варианта

± 3,0 σ……………………………. 99,7% барлы› варианта

Орташа квадратты› ауыт›улар жеке варианталардыЈ сипатталуына мЇмкіндік береді. Егер ›андайда варианта дан ± 3σ ауыт›ыса, онда б±л варианта (особь) бас›а вариациалы› ›атар“а, я“ни бас›а сапалы категория“а жататынды“ы Щбден ы›тимал.

Тапсырма 1. ЖаЈа туыл“ан йгізшелердіЈ тірі салма“ыныЈ орташа квадратты› ауыт›уын тймендегі мЩліметтер бойынша есептеп шы“арыЈыз:

45. 
    47 44 36 56 45 40 33 45 46 32 46 32 46 42 42
    
46. 
    38 46 48 38 40 40 45 49 45 50 40 49 43 37 46
    

43 42 44 45 50 53 38 44 40 38 43 41 37 44 45 41

43 40 42 37 47 31 51 48 50 46 59 43 45 47 46 50

36 37 44 41 36 36 38 43 38 40 52 40 44 52 46 61

46 38 38 45 46 40 45 50 41 45 40 37 45 46 32 55

45 45 40 37 53 50 45 44 50 50 40 48 48 45 32 36

691. 
     587 722 812 573 750 700
     
692. 
     520 640 650 750 630 650
     

Тапсырма 3. Шаруашылы›та 1500 маржан тЇсті жЩне 2100 ›оЈыр тЇсті ›±ндыздар бол“ан. Маржан тЇсті тЇрлерініЈ орташа квадратты› ауыт›у шамасын аны›таЈыз.

Ба›ылау с±ра›тары.

1. 
   Кіші іріктеудегі орташа квадратты› ауыт›уды ›алай есептейді?
   
2. 
   Егер зерттеліп отыр“ан белгілердіЈ орташа арифметикалы› жЩне орташа квадратты› ауыт›уларыныЈ шамасы белгілі бол“анда, олардыЈ максимальді жЩне минимальді ма“ынасын аны›тау“а бола ма?
   
3. 
   БелгілердіЈ ЩртЇрлілігі ›андай кйрсеткіштермен сипатталады?