Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Важнейшим направлением модернизации школьного курса математики на современном этапе является включение в него элементов комбинаторики и теории вероятностей. Вопросу комбинаторики и теории вероятностей и посвящен данный элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса. Этот курс содержит теоретический и практический материал по элементарной комбинаторике, теории вероятностей, упражнения для размыщлений, самостоятельного поиска. Материал подобран так, чтобы за время прохождения курса можно было ознакомить учащихся с самыми элементарными сведениями из комбинаторики и теории вероятностей, дать некоторый минимум из комбинаторики и теории вероятности, доступный обучающимся в 9 классе, научить критически подходить к курсу, анализировать, рассуждать. Курс предусматривает различные виды деятельности на занятии: фронтальную работу, работу в малых группах, в парах, беседы, упор делается на самостоятельное решение задач.

1. 
   Формировать у учащихся представление об элементах комбинаторики и теории вероятностей.
   
2. 
   Развитие творческих способностей учащихся.
   
3. 
   Помочь ученику осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с тем, чтобы по окончании 9 класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего либо углубленного, либо обычного изучения матема-
   

№	Тема	Виды деятельности	Умения, навыки
1 2 3 4 5	. Общие правила 1 комбинаторики. Правила сложения и умножения. Размещения 1 Перестановки. 1 Сочетания. 1 Решение смешан- 2 ных задач.	Беседа. Фронтальная работа. Работа в ма-лых группах. Беседа. Фронтальная работа. Работа на компьютерах в парах. Объяснение учителя. Самостоятельное решение задач с пос- ледующим анализом. Беседа. Фронтальная работа. Работа в парах. Работа в парах. Работа с карточками. Проверочная работа.	Уметь составлять все подмножества данного множества, удовлетво-ряющие определенным условиям. Уметь решать задачи не только подбо-ром, но и правилами сложения и вычитания. Знать определение раз-мещения, формулу числа размещений без повторе-ний. Уметь подсчитывать число всех размещений из п элементов по к элементов, n факториал.. Знать определение пе-рестановок, уметь поль-зоваться формулой для вычисления числа перес-тановок из n элементов. Знать определение соче-тания, уметь подсчиты-вать число сочетаний из n элементов по формуле. Знать свойства сочета-ния и уметь пользоваться ими при решении задач. Уметь решать задачи смешанного типа.

№	Тема	К/ч Вид деят учащ.	Умения, навыки
1. 2 3	.Вероятность слу- чайных событий. Операции над вероятностями. Проверочная работа.	Бросание играль- ной кости, под- брасывание моне- .ты. Обобщение простых опытов – работа в парах. Вывод формул. 4 Решение задач. Обучающая са- мостоятельная работа. Работа в группах. Индивидуальная 1 работа по кар- точкам.	Уметь вычислять вероят- ность события, связанного с опытом с n равновероят- ными исходами. Знать понятия совмести-мых и несовместимых , зависимых и независимых событий. Уметь решать задачи с применением соответ-ствующих теорем о вероятности объединения событий и теорему об умножении вероятностей.

Задачи:

а) все трехэлементные подмножества;

в) все трехэлементные упорядоченные подмножества.

2. Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы,

Какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой.

Работа в малых группах:

Задание 1 группе.

Составьте расписание уроков на понедельник всевозможными способами, если в этот день должно быть 5 занятий: по алгебре, геометрии, истории, географии и литературе. Причем алгебра и геометрия не должны следовать непосредственно друг за другом.

Задание 2 группе.

Для дежурства в классе в течение недели( кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сделать график дежурства всевозможными способами, если каждый учащийся дежурит 1 раз.

Задание 3 группе.

Для проведения экзамена создается комиссия из 2 преподавателей. Сколько различных комиссий можно составить из преподавателей Иванов, Сидоров, Васильев, Козлов, Николаев?

Общие правила комбинаторики. Правило суммы и правило произведения.

Задачи:

1.Правило суммы:

2. Правило произведения:

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?
Тема 2.
Размещения. Определение. Формула числа размещений без повторений из n элементов. Факториал числа. Формула размещений через n!

Задачи:1. В 7 классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать? (в лат. алф. 26 букв).

3. Вычислить: А₁₅

20 CLS

50 PRINT “M>N”

60 GOTO 150

70 F=N

90 N1=F1

110 GOSUB 200

120 M1=F1

130 A=N1/M1

140 PRINT “ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ”

150 STOP

ФАКТОРИАЛА

200 F1=N1

210 F2=0

230 F2=F2+1

240 F1=F1*F2

250 GOTO 220

260 RETURN

270 END

Задачи.

20 человек и нет однофамильцев?

2. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

3. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на 4-местной скамейке?

4. Найти х, если
=240А_n+3 ? k

5. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «задача»?

Задачи.

2. В чемпионате страны по футболу(высшая лига) участвуют 18 команд, причем каждые 2 команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение суток?

3. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?

Задания для самостоятельной работы:

1) В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

2) В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчики и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?
Тема 5. Решение смешанных задач.

1. Для освещения зала может быть включена каждая из имеющихся 19 ламп.

Сколько существует различных способов освещения зала?

2. Сколько среди всех перестановок слова «высота» таких, которые

а) начинаются с буквы «о»;

б) начинаются с буквы «а», оканчиваются «т»^.

3. Из группы туристов четырех дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

Работа по карточкам – урок №1.

Проверочная работа.
Глава 2. Элементы теории вероятностей.
Тема 1. Вероятность случайных событий.
Опыты, заключающиеся в подбрасывании монеты и бросании игральной кости. Случайные, достоверные и невозможные события. Статистическое определение вероятности. Вероятность событий. Примеры вычисления вероятностей.

Работа в группах ( по 5 человек).

Задание: Определить, какие события являются случайными, достоверными, невозможными?

1 группе: Бросаем 2 кубика.

А: на кубиках выпало одинаковое число очков.

В: сумма очков на кубиках не превосходит 12.

С: сумма очков на кубиках равна 11.

D: произведение очков на кубиках равно 11

2. 
   группе: В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара.
   

В: все вынутые шары разных цветов.

D: среди вынутых шаров есть шары всех 3 цветов.

С: среди вынутых шаров есть разноцветные.

1. 
   В ящике имеются 4 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?
   
2. 
   Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?
   
3. 
   Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет а) 1 очко; б) более 3 очков?
   

1 урок. Вероятность объединения попарно несовместимых событий.

Пример 1. Бросают 2 монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба?

Вероятность объединения совместимых событий.

Пример 1. Подбрасываем 2 монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

2. 
   урок. Вероятность пересечения 2 событий. Условные вероятности.
   

Независимость случайных событий. Правило произведения верот-

ностей.

Пример 1. Бросают 2 игральные кости. Какова вероятность появления на первой кости нечетного числа очков и на второй 5 очков?

Пример 1. Охотник сделал 3 выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом примерно равна 0,4; вторым-0,5, третьим –

0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью, примерно равной 0,2; двумя попаданиями - с вероятностью 0,6; а тремя наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Урок 4. Решение задач.

Задача 2. В ящике 7 белых и 9 черных шаров. Наугад вынимают один шарик, рассматривают его на свету и кладут обратно в ящик. Опять наугад вынимают 1 шарик. Какова вероятность того, что оба шарика белые?