ДЩріс саба›тарыныЈ мазм±ны 1 та›ырып. Сызы›ты› алгебра жЩне аналитикалы› геометрия элементтері

1 та›ырып. Сызы›ты› алгебра жЩне аналитикалы› геометрия элементтері

1.Екінші жЩне Їшінші ретті аны›тауыштар, олардыЈ ›асиеттері Алгебралы› толы›тауыш жЩне минор. Матрица. Матрицалар“а амалдар ›олдану, кері матрица. Матрица рангісі, оны есептеу. Екі жЩне Їш белгісізді екі жЩне Їш сызы›ты теЈдеулер жЇйесі. Сызы›ты› теЈдеулер жЇйесін Крамер ережесі жЩне матрицалы› Щдіспен шешу. RкеЈістігі. R-де векторлардыЈ сызы›ты тЩуелділігі жЩне тЩуелсіздігі.

Шдебиет: [1], 4-42 бет. [3], 5-12 бет. [3], 107-122 бет. №1 дЩріс

1.Аныктама 1 Екінші ретті аны›тауыш деп

санын айтамыз. Б±л сан екі тік жЩне екі жаты› жолдардан т±ратын

кестесі тЇрінде белгіленеді жЩне б±л кесте де аны›тауыш деп аталады.

М±нда“ы - аны›тауыштыЈ элементтері. элементініЈ бірінші і индексі аны›тауыштыЈ жаты› жолыныЈ, ал екінші j индексі тік жолыныЈ нймері. Мысалы - 1-жаты› 2 – тік жолыныЈ ›иылысуында“ы элемент. КестеніЈ жЩне элементтері ар›ылы йтетін «тЇзу» аны›тауыштыЈ негізгі диагоналы, ал жЩне элементтері ар›ылы йтетін «тЇзу» ›осал›ы диагоналы деп аталады.

Аны›тама бойынша, екінші ретті аны›тауыш йзін белгілейтін кестеніЈ негізгі диагоналында“ы элементтерініЈ кйбейтіндісі мен ›осал›ы диагоналында“ы элементтері кйбейтіндісініЈ айырымына теЈ. Демек,

санын айтамыз. Б±л сан Їш тік жЩне Їш жаты› жолдардан т±ратын

кестесі ретінде белгіленеді жЩне б±л кесте де аны›тауыш деп аталады. М±нда“ы - аны›тауыштыЈ элементтері, і – жаты›, ал j – тік жолдарыныЈ нймірі.

®шінші ретті аны›тауыш йзін белгілейтін кесте элементтерінен Їшб±рыш немесе Саррюс ережесі бойынша есептеледі. Б±л ереже бойынша плюс таЈбасымен алын“ан Їш ›осыл“ыш тйменде келтірілген «+» с±лба, ал минус таЈбасымен алын“ан Їш ›осыл“ыш «-» с±лба бойынша есептеледі:

«+» с±лба «-» с±лба

2. n-ретті аны›тауыштар жЩне оныЈ ›асиеттері

1-ден -ге дейінгі натурал сандардыЈ кез келген орналасуы алмастыру деп аталады. натурал саннан алмастыру ›уру“а болады. Егер алмастыруда Їлкен сан кіші санныЈ алдында т±рса, онда б±л сандар инверсия (ретсіздік) ›±райды.

Егер алмастыру болса, онда осы алмастыруда“ы инверсия саны деп белгіленеді. Егер инверсия саны ж±п болса алмастыру ж±п, ал та› болса та› деп аталады.

›осындыны айтамыз жЩне оны былай белгілейміз

М±нда“ы ›осу белгісі 1,2,3,..., сандарынан ›±рал“ан барлы› алмастырулары бойынша алынады, демек аны›тауышта ›осыл“ыш бар, олардыЈ жартысы «+», жартысы «-» таЈбасымен алынады.

Аны›тауышты белгілейтін кесте де аны›тауыш деп аталады. Б±л кесте тік жЩне жаты› жолдардан т±рады. КестеніЈ элементініЈ бірінші индексі -жаты›, ал екінші индексі тік жолыныЈ номері, - осы жолдардыЈ ›иылысуында“ы элемент.

Егер аны›тауыштыЈ екі жаты› (тік) жолыныЈ сЩйкес элементтері йзара теЈ болса б±л жолдар теЈ деп аталады.

Егер аны›тауыштыЈ екі жаты› (тік) жолдары йзара пропорционал элементтерден т±рса, демек

теЈдігі орындалса, б±л жолдар пропорционал деп аталады.

Жаты› (тік) жолдыЈ санына кйбейтіндісі деп барлы› элементтері санына кйбейтілген осы жолды айтамыз.

Аны›тауыштыЈ жаты› жолдарын, орналасу ретін са›тап, тік жолдарымен алмастыру аны›тауышты транспонирлеу деп аталады. Транспонирленген аны›тауыш элементініЈ бірінші индексі тік, екіншініЈ индексі жаты› жолыныЈ нймерін кйрсетеді.

3. Аны›тауыштыЈ ›асиеттері:

1) Аны›тауышты транспонирлеу оныЈ мЩнін йзгертпейді;

2) изара теЈ екі жаты› (тік) жолы бар аны›тауыш нйлге теЈ болады;

3) Егер аны›тауыштыЈ ›андай да болмасын бір жаты› (тік) жолын бір санына кйбейтсе, онда осы сан“а аны›тауышта кйбейтіледі;

4) Егер аны›тауыштыЈ жаты› (тік) жолында“ы барлы› элементтердіЈ орта› кйбейткіші болса, онда б±л кйбейткішті аны›тауыштыЈ сыртына шы“ару“а болады;

5) Егер аны›тауыштыЈ екі жаты›(тік) жолы пропорционал болса, онда б±л аны›тауыш нйлге теЈ болады;

6) Егер аны›тауыштыЈ нймірлі жаты› (тік) жолыныЈ Щрбір элементі екі санныЈ ›осындысынан т±рса, онда б±л аны›тауыш, бас›а элементтері йзгерусіз са›тал“ан, нймерлі жаты› (тік) жолы бірінші аны›тауышта ›осыл“ышыныЈ бірінші, екінші аны›тауышта екінші ›осыл“ышымен алмастырыл“ан, екі аны›тауыштыЈ ›осындысына теЈ;

7) Егер аны›тауыштыЈ кез келген жаты› (тік) жолын бір сан“а кйбейтіп бас›а бір жаты› (тік) жолына ›осса›, онда б±л тЇрлендіру аны›тауыштыЈ мЩнін йзгертпейді;

8) Егер аны›тауыштыЈ екі жаты› (тік) жолдары орындарын алмастырса, онда аны›тауыш абсолют шамасын са›тап, таЈбасын ›арама-›арсы йзгертеді.

4. Минорлар мен алгебралы› толы›тауыштар

Аны›тама 4. Берілген -ретті

аны›тауышыныЈ элементініЈ миноры деп осы аны›тауыштыЈ нймерлі жаты› жолы мен нймерлі тік жолын сызып таста“аннан кейінгі ›ал“ан ретті аны›тауышты айтады.

Егер аны›тауышыныЈ нймерлі жаты› (нймерлі тік) жолыныЈ -ден бас›а элементтері нйлге теЈ болса, онда б±л аны›тауыш -ге теЈ:

Аны›тауыш нймерлі жаты› жолыныЈ элементтері бойынша

›осындысы ретінде йрнектеледі.

Аны›тауыштыЈ кез келген нймерлі жаты› ( нймерлі тік) жолыныЈ элементтері мен осы элементтерге сЩйкес бас›а нймерлі жаты› ( нймерлі тік) жолыныЈ алгебралы› толы›тауыштары кйбейтінділерініЈ ›осындысы нйлге теЈ:

.

Матрицалар“а ›олданылатын амалдар

1) Матрицаларды ›осу: ТеЈ ретті

жЩне

матрицалары берілген. љыс›аша, б±л матрицаларды , деп белгілейміз. М±нда“ы -матрицаныЈ жаты›, -тік жолдарыныЈ саны.

А жЩне В матрицаларыныЈ ›осындысы деп, элементтері , формулалары бойынша есептелетін матрицаны айтамыз. Сонымен,

2) Матрицаларды сан“а кйбейту: матрицасыныЈ санына кйбейтіндісі деп, элементтері

,

формулалары ар›ылы аны›талатын матрицасын айтамыз. Сонымен, .

формулалары бойынша аны›талатын, ретті матрицасын айтамыз. Сонымен,

болса, онда

транспонирленген матрица болады.

Егер , демек болса, онда А симметриялы матрица деп аталады.

Квадратты А матрицаныЈ аны›тауышын деп белгілейміз. Шлбетте, . Аны›тауышы нйлге теЈ матрица ерекше деп аталады.
бірлік матрица деп аталады.

ретті А жЩне В матрицалары берілсін. Егер В матрицасы Їшін

(4)

теЈдігі орындалса, онда В матрицасы А-“а кері матрица деп аталады да деп белгіленеді. Осы белгі ар›ылы (4) теЈдігі тЇрінде жазылады.

Егер А ерекше матрица болмаса, демек болса, онда А-“а кері бірден-бір матрица бар болады жЩне кері матрица

(5)

формуласы бойынша аны›талады.

кестесі ретті матрица деп аталады. Шдетте, матрица бір бас Щріппен белгіленеді, мысалы М деп.

Осы матрицаныЈ кез келген жаты› жЩне тік жолдарын белгілеп алып, осы жолдардыЈ ›иылысуында“ы элементтерден, олардыЈ берілген матрицада“ы орналасу ретін са›тап ›±рыл“ан - ретті аны›тауыш - ретті минор деп аталады ( .

Егер М матрицасында нйлге теЈ емес ретті минор бар болса, ал реттері -ден жо“ары барлы› минорлар нйлге теЈ болса, онда саны осы матрицаныЈ рангі деп аталады жЩне деп белгіленеді: .

Барлы› элементтері нйлге теЈ матрица нйлдік матрица деп аталады. Келісім бойынша, нйлдік матрицаныЈ рангі нйлге теЈ.

ретті, сЩйкес элементтері йзара теЈ екі матрица теЈ матрицалар деп аталады.

Рангті есептеу Щдістері: 1) Кймкерген минорлар Щдісі. Берілген матрицаныЈ -ретті минорыныЈ кймкеруі деп осы минор енетін кез келген ретті минорын айтады.

Теорема 1 Егер берілген М матрицасыныЈ нйлге теЈ емес -ретті миноры бар болса жЩне осы минорды кймкеретін барлы› ретті минорлар нйлге теЈ болса, онда б±л матрицаныЈ рангі -ге теЈ: .

2) Рангті берілген матрицаныЈ элементтерін тЇрлендіру ар›ылы есептеу. Б±л Щдіс тймендегі теоремалар“а негізделген.

1) Жаты› жолдардыЈ орнын алмастыру;

2) Кез келген жаты› жолын нйлге теЈ емес сан“а кйбейту;

3) Кез келген жаты› жолына осы матрицаныЈ бас›а жаты› жолын бір сан“а кйбейтіп ›осу;

4) БірыЈ“ай нйлден т±ратын жолын алып тастау, матрицаныЈ рангін йзгертпейді.

Бас диагоналы астында“ы элементтері нйлге теЈ матрица сатылы деп аталады. Квадратты матрицаныЈ сатылы тЇрі Їшб±рышты деп аталады.

М±нда“ы - белгісіз шамалар, - нймерлі теЈдеудегі нймерлі белгісіздіЈ коэффициенті, - нймерлі теЈдеудіЈ бос мЇшесі,

(6) теЈдеулер жЇйесініЈ коэффициентерінен ›±рыл“ан мына матрица

(7)

негізгі матрица деп аталады, ал мына матрица

(8)

осы жЇйеніЈ кеЈейтілген матрицасы делінеді.

Егер (6) теЈдеулер жЇйесініЈ барлы› бос мЇшелері нйлге теЈ болса, онда б±л жЇйе біртекті деп аталады.

1.2 пунктініњ 2-ші жЩне 3-ші аны›тамаларда атал“ан теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі Їйлесімді, Їйлесімсіз, аны›тал“ан жЩне аны›талма“ан теЈдеулер жЇйесі туралы ±“ымдар йздерініЈ ма“ыналарын толы› са›тайды.

(6) теЈдеулер жЇйесініЈ белгісіздері мен бос мЇшелерінен

жЩне

матрицаларын ›±рып осы жЇйені мына матрицалы› теЈдеу тЇрінде жазамыз:

Осы жЇйеніЈ негізгі матрицасыныЈ аны›тауышы

нйлге теЈ болмасын.

Осы аны›тауыштыЈ нймерлі тік жолыныЈ элементтерін (10) жЇйесініЈ сЩйкес бос мЇшелерімен алмастыр“анда шы››ан аны›тауышты деп белгілеік:

,

Осы аны›тауыштар бойынша (10) теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі Крамер формулалары ар›ылы аны›талады:

Гаусс ЩдісініЈ с±лбасы: Алдымен (10) теЈдеулер жЇйесініЈ кеЈейтілген матрицасы ›±ралады:

Элементар тЇрлендірулер ар›ылы б±л матрица Їшб±рышты тЇрге келтіріледі:

Элементар тЇрлендірулердіЈ ›асиеті бойынша, (11) теЈдеулер жЇйесі (10) жЇйесіне эквивалентті. (11) жЇйесініЈ еЈ соЈ“ы теЈдеуінен -ді, бір ›адам жо“ары кйтеріліп, келесі теЈдеуден -ді табамыз. Осылай табыл“ан белгісіздерініЈ мЩндері (10) жЇйесініЈ шешімі болады.

(5) формуласы бойынша А матрицасына кері матрицасын табамыз. Енді (9) теЈдеуін сол жа“ынан -ге кйбейтіп жЩне екенін ескеріп,

тЇрінде (9) теЈдеуініЈ шешімін табамыз.

Б±л теорема ар›ылы жЇйеніЈ Їйлесімді немесе Їйлесімсіз болатыны шешіледі.

ЖЇйе Їйлесімді бол“ан жа“дайда тймендегі екі жа“дай ›арастырылады:

1) , - белгісіздер саны, . Б±л жа“дайда теЈдеулер жЇйесі Їйлесімді жЩне аны›тал“ан. Сонды›тан жЇйеніЈ шешімі жо“арыда атал“ан Їш ЩдістіЈ біреуі ар›ылы аны›талады.

2) , - белгісіздер саны, . Б±л жа“дайда теЈдеулер жЇйесі Їйлесімді жЩне аны›талма“ан. А матрицасыныЈ кез келген -ретті нйлге теЈ емес минорын негізгі деп жариялап, осы минордыЈ элементтері коэффициенттері болатын белгісізді негізгі белгісіздер деп аламыз. Мысалы, негізгі минор:

болса, негізгі белгісіздер болады. љал“ан белгісіздер еркін параметрлер рйлін ат›арып, теЈдеулер жЇйесі мына тЇрде жазылады:

Б±л жЇйеден Крамер, Гаусс, матрица ЩдістерініЈ біреуін ›олданып белгісіздерін табамыз. БелгісіздердіЈ мЩні еркін параметрлерден тЩуелді болады.

Біртекті теЈдеулер жЇйесі осы“ан ±›сас шешіледі. Б±л жЇйе Щр›ашан Їйлесімді. Себебі, негізгі матрица“а біріЈ“ай нйлден т±ратын тік жолды ›осу оныЈ рангін йзгертпейді. Демек,

Б±л жЇйе Їшін де тймендегі екі жа“дай ›арастырылады: 1) . Б±л жа“дайда біртекті теЈдеулер жЇйесініЈ бірден-бір нйлдік (0,0,...,0) шешімі болады. Б±л шешім ай›ын деп аталады. 2) . Б±л жа“дайда біртекті теЈдеулер жЇйесініЈ параметрден тЩуелді шексіз кйп шешімі болады. Б±л шешімдер жо“арыда келтірілген с±лба бойынша аны›талады.

2. ®ш йлшемді R кеЈістігі. Векторлар. Векторлар“а сызы›ты амалдар ›олдану.ВекторлардыЈ сызы›ты› тЩуелсіз жЇйесі. Базис. Вектор ±зынды“ы. Екі вектор арасында“ы б±рыш. R кеЈістіктегі векторлардыЈ скаляр кйбейтіндісі жЩне оныЈ ›асиеттері. Ортогональді базис. Векторды базис бойынша жіктеу. ВекторлардыЈ векторлы› кйбейтіндісі жЩне оныЈ ›асиеттері. ВекторлардыЈ аралас кйбейтіндісі.

Шдебиет: [1], 43-67бет. [3], 40-50 бет. №2 дЩріс

Ба“ыттал“ан кесіндіні геометриялы› вектор, ›ыс›аша вектор деп атайды. Вектор, ба“ыттал“ан кесінді ретінде, йзініЈ бас нЇктесі А мен соЈ“ы нЇктесі В ар›ылы берілсе, деп белгіленеді. Осымен ›атар, вектор, Їстіне сызы›ша ›ойыл“ан, кіші латын Щріппен немесе толыќ латын єріппен де белгіленеді, мысалы немесе а. Бас нЇктесі мен соЈ“ы нЇктесі тЇйіскен вектор нйлдік вектор деп аталады. Бір тЇзудіЈ немесе йзара параллель тЇзулердіЈ бойында жататын векторлар коллинеарлы деп аталады.

Коллинеарлы, ±зынды›тары мен ба“ыттары бірдей векторларды теЈ деп атайды. Берілген екі вектордыЈ Щр›айсысы Їшінші вектор“а теЈ болса, онда б±л векторлар йзара теЈ болады. Сонды›тан, берілген векторына теЈ, кез келген Р нЇктесінен шы“атын, тек ›ана бір вектор бар болады. Демек, вектор йзініЈ бас нЇктесіне дейінгі дЩлдікпен аны›талады. Еркін векторлар туралы ±“ып осы ма“ынада ›олданылады. Берілген масштабта аны›тал“ан векторыныЈ ±зынды“ы оныЈ модулі деп аталады да деп белгіленеді. Шлбетте, болса, болады. Модульдері теЈ векторлардыЈ йзара теЈ болуы міндетті емес. Кез келген сандар йсі берілсін. векторыныЈ бас нЇктесі А мен соЈ“ы нЇктесі В-дан йсіне тЇсірілген перпендикулярдыЈ сЩйкес табандары пен болсын. Ба“ыттал“ан кесіндісініЈ шамасы векторыныЈ йсіндегі проекциясы деп аталады да деп белгіленеді.

КеЈістіктіЈ кез келген S нЇктесінен шы“ып, векторы мен µсіне параллель жЩне ба“ыттас болатын екі сЩуленіЈ арасында“ы б±рышы, векторыныЈ йсіне кйлбеулік б±рышы деп аталады. Осы б±рыш ар›ылы векторыныЈ µсіндегі проекциясы