Инженерлік графика техникалық мамандықтарында барлық оқу түрінде оқитын студенттер үшін «Беттердің қалыптасу тәсілі мен олардың өзара қиылысуы»

12 сурет – Сфералық бет

Шеңбердің жазықтығында жататын және оның центрі арқылы өтпейтін осьтен айналдырғанда пайда болатын бет тор деп аталады. (13 сурет).Егер айналу ось шеңберді қиып өтсе, жабық тор, ал шеңберден тысқары болса, онда одан ашық тор (немесе шығаршақ) шығады.

13 сурет – Тордың беті

Цилиндрлік, коникалық, сфералық қосымша жазықтықтар арқылы қиылысқан сызығын анықтау және қосымша қима сфералардың қиылысу сызығын табу мысалы төменде көрсетілетін болады.

Екі өзара қиылысқан беттердің сызығын табу үшін, екі бетті де қиып өтетін қосымша қима жазықтықтарды немесе қима сфераларды қолданады. Қосымша қима беттердің берілген беттерді қиып өтетін қима сызығының нүктелері, екі берілген қима беттердің қиылысу сызығын береді.

Келістіруші деп аталатын қосымша қима жазықтықтарды немесе сфераларды таңдау барысында бұл келістірушілер шеңбер сызығы немесе түзу сызығы бойымен берілген екі бетті де қиып өтетіндей етіп ұмтылады.

Екі беттің қиылысу сызығын салу барысында қосымша қима бетті берілген бетпен қиылысқан жағдайда жай сызықтар болып шығатындай етіп таңдайды (мысалы, түзулер немесе шеңберлер).

Қосымша қима беттердің орнына жазықтықтар немесе сфералар алынады. Сызықты салу есебін шығару барысында қосымша қима жазықтық ретінде деңгейлік жазықтықтар ретінде – проекция жазықтығына параллель жазықтықты алады.

Екі беттің сызығы (бас тірек) нүктелерін, олармен қима сызығын салуын бастаймыз. Олар қандай шектерде нүктелерді анықтауға қосымша қима жазықтықтарды көруге болатынын анықтайды.

Өзінің түзу болатын осі арқылы қима беттің сызығын анықтау әдісі. Бұл әдіс қиылысу сызығын салуға қолданылады:

а) екі коникалық бет;

б) коникалық және цилиндрлік бет;

в) пирамида немесе призма беттің коникалық бет;

г) екі цилиндрлік бет;

д) цилиндрлік бет пирамида немесе призма бетпен.

Берілген мысалда қосымша деңгейлік жазықтықтар П₁ және П₂ жазықтықтарға параллель болуы мүмкін.

1 - жағдайда фронталь жазықтықтар сфераны шеңбер бойынша, ал цилиндрді түзусызықты жасаушы арқылы қияды.

Солардың 1 жазықтығы альфа беттермен а шеңбер доғасымен және түзу сызық в-мен қиылысады. Бір нүктесі а шеңбер доғасы мен в түзу сызығы ізделінді қисыққа жатады.

Қосымша қима В жазықтығы (бас фронталь жартысфера меридиан жазықтығы) арқылы бас жартысфера меридиан мен шеңбер доғасы мен сызықтар мен қиылысу нүктелері сияқты 2 және 3 нүктелері табылған з жазықтығы – бас фронталь меридианның цилиндрі, ол жартысфераны к – шеңбер доғасы бойымен қияды, ал

14 сурет – Сфера мен эллиптикалық цилиндрмен қиылысуы

8 нүктесі горизонталь проекция жазықтығына параллель және жартысфераны шеңбер бойымен – һ экваторы, ал цилиндр S табанының шеңбермен қиятын w фронталь проекциялаушы жазықтық арқылы табылады.

Бұл жағдайда ұқсас нүктелер болып 1 - 5 және 8 нүктелері беттің проекция очерктерінде жатқан болып келеді. 1 және 8 нүктелері П₁ жазықтығына қисықтың көру шегін, ал П₂ жазықтығына көріну нүктелері бұл 4 және 5 анықтайды.
3.3 Өсьтері қиылыспайтын цилиндр мен конустың қиылысу сызығы

Екі берілген беттер қосымша I₂, II₂, III₂ жазықтықтармен және П₁ параллель жазықтықтармен қиылған.

Онда конустың горизонталь проекциясында сондай ретпен белгіленген концентрлік шеңбер ол цилиндр проекциясында - жасаушы қатары шығады.


15 сурет – Цилиндр мен конустың қиылысу сызығы

Жасаушы қимасында берілген шеңберлер мен ізделінді а, в, с қима проекцияның горизонталі және тағы басқаны анықтайды, олар бойынша содан олардың фронталь проекциясын табады.

Табылған нүктелер проекциялары қисықтармен қосады. Көрінбейтін сызық бөлігінің қималары екі проекцияларда да штрихпен бөлінген.

Көрінетін және көрінбейтін шек бөліктерінің қима сызықтары цилиндрдің шеткі жасаушысы болып келеді.

Сондай қисық беттердің қиюшы сызығы нүктелерін 1- жағдайда салу керек, яғни жұмысты әрбір беттің шеткі жасаушылары оның контуры П₁, П₂ – ге көрінетіндігін шектейтін, басқа бетті қиятын нүктелерден бастау керек. Содан кейін бірнеше аралық нүктелердің проекцияларын табады.


3.4 Жартысфералық және цилиндрдік беттердің қиылысу сызығы

16 сурет – Жартысфера мен цилиндрдің қиылысу сызығы

L=a//B түзуді анықтау есеп шешуін көрсетеді, бұл жағдайда B перпендикуляр П_1. F₁, f₁¹, f¹¹₁ және тағы басқа қосымша қиюшы жазықтықтарды енгізіп, l₂ – альфа сфералық бетпен в тік дөңгелек цилиндрдің горизонталь проекциялаушы беттің қиылысу сызығының фронталь проекциясын саламыз.

Беттердің қиылысу сызығына тиісті, және вертикаль і осіне (сфералық беттің) ең жақыны болып келетін А₁ нүктесі I₂ қисығының фронталь проекциясына А₂ нүктесіне жоғарғы нүкте болып келеді. В₂ нүктесі – оң жақ шеткі нүкте сонымен қатар қиылысу сызығында I₂ қисығының шегі болып келеді.
3.5 Конус пен көпқырлылардың қиылысуы

Егер қисықтың беті көпқырлылармен қиылысса, онда көпқырлылардың қырларында қиылысу сызығының контуры бірнеше қисық бөліктен тұрады, бұдан осы нүктелерде қисықсызықты контур сынады, ең алдымен осы нүктелерді алу керек. (1, 1, 2,) нүктелері призманың қырлары конустың тесіп өтетін қырлары деп аталады).Осындай нүктелер 17 суретте бейнеленген. Бұл нүктелер призманың қырларында конустың бетін тес өтеді. Бұл қарастырылған 2 мысалда қиылысуында жәй сызықтар шеңбер немесе түзу пайда болатындай қосымша қиятын жазықтықтарды табуға болады. бұл мысалдардың ерекшелігі, алынған беттердің біреуі проекциялаушы бет деп аталады (яғни оның жасаушысы немесе қыры проекция жазықтығына перпендикуляр). Бұл жағдайларда ізделінді сызықтың 1 проекциясы эпюрде бар.

Ол сәйкес проекциямен беттеседі (мысалы, 6-суреттегі профильді центрдің проекциясы немесе 16 – суреттегі фронтальді цилиндрдің проекциясы). Алдын ала белгіленген сызықтың проекциясы бойынша қалған проекциялардың қиылысу сызығын табуға тіреледі. Бұдан соң тағы да 2 нүкте 5.1, 5.2 және6.1, 6.2) табылады. Бұл нүктелерде конустың жасаушысы, призманың жағын қиып өтеді. Бұдан кейін конустың басқа жасаушылары призманы қиып өтетін бірнеше аралық нүктелерін табуға болады.

17 сурет – Конус пен призманың қиылысуы

Қосымша қиятын сфераның көмегімен беттің қиылысу сызығын салу үшін екі тәсіл қолданылады:

1) концентрлік сфера;

2) эксцентрлі сфера тәсілі.

Қиылысу сызығын салу тәсілдерін қарастырайық.

Бұл тәсіл өстері қиылатын екі айналу бетті бетінің қиылысу сызығын салу үшін қолданады. Есептің графикалық шешуін жеңілдету үшін, айналу бетінің осінің айналу жазықтық қандай да бір проекция жазықтығына параллель болу керек.

18. 
    сурет – Екі қиылысатын коникалық айналу беттері
    

О₂ нүктесінен жүргізілген сфера, айналу бетінің өсінің фронтальді проекциясын қиып өтеді. А беттің альфа₂ шеңбер бойымен қияды және П₂ жазықтығында (1₂, 22)² кесіндіге проекцияланады, ал проекцияланатын шеңбер бойымен В жазықтығына 3₂, 4₂ кесіндіге П₂ жазықтығына қияды. Осы шеңбердің проекциясы горизонталь жазықтыққа О₁ нүктесі арқылы жүргізілген R (О₂, 3₂) болатын шеңберге проекцияланады (1₂; 2₂) және (3₂ 4₂) кесінділердің қиылысуы Н₂, Н₂¹ фронтальді проекцияларын табады. Тура сол сияқты басқа нүктелері анықталады.

Екі айналу беттің қиылысу сызығын анықтау үшін, олардың бәсекелес ерекше орналасуында қосымша қима жазықтықты қолдануға бола бермейді. Кейбір жағдайда концентрлі немесе эксцентрлі қосымша қиюшы сфералар әдісін қолданады.

18. 
    сурет – Екі сфераларық беттің қиылысу
    

Бұл беттердің әрбір концентрлі сфералармен қиылысу сызығы болатын шеңбер ұясын береді. Концентрлі сфералар әдісін қолдану екі беттің өстері проекция жазықтығына параллель орналасу керек немесе өстердің біреуі проекциялаушы түзу, ал 2-сі деңгей сызығы болатындай сызба шығады. G және Q беттердің остері фронталь проекциялаушы жазықтыққа параллель және А нүктесінде қиылысады. Бұл нүкте барлық қосымша концентрлі сфералардың параллель – шеңбермен қияды (a, b, c, d, h беттерді) бұлардың фронталь проекциялары түзу сызық (a₂, b₂, c₂, d₂, h₂) болып келеді. 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂ және 6₂ проекция нүктелері параллельді проекциялардың қиылысуы ізделінді беттердің қиылысу сызығының проекциясына тиісті. Беттердің бас фронталь меридиандардың қиылысуы үстіңгі және астыңғы (7 және 8) нүкте сызығының орналасуын анықтайды.

Беттердің қиылысу сызығын нақты салу үшін горизонталь проекциядағы беттердің қиылысу сызығының көріну шегін анықтайтын 9 және 10 нүктелерін табу керек. Бұл үшін m сыызығында Q бетін қиятын қосымша қима жазықтығын b, ал горизонталь проекцияларын ізделінді нүктелердің орналасуын анықтамайтын жанамада G бетін қиятынды қолданады. Табылған нүктелерді 1…10, көріну дәлдігіне байланысты беттердің қиылысу сызығын табамыз.
4.3 G мен Q екі айналу беттің қиылысу сызығы

Концентрлік сфералардың посредниктарының қосымша бет ретінде пайдалану мысалын қарастырайық, 20-суреттегі берілген беттердің қиылысу сызығын анықтау.

G мен Q айналу беттердің осі А нүктесінде қиылысады, бұл жағдайда Q бетінің осі – горизонталь проекциялаушы түзу, ал G бетінің осі – горизонталь. А нүктесі қосымша концентрлі сфералардың центрі.

1 және 2 нүктелері қиылысу түзуі R радиусы арқылы құралған. Бұл сфера Q бетің b шеңберімен қияды, бұл тек горизонталь проекцияда көрсетілген.а₁ және б₁ шеңберінің горизонталь проекциялардың қиылысуы 1₁ және 2₂ проекциялары Q₂-де байланыс сызықтармен қиылысуында құралған.

Горизонталь проекцияда көріну шегін анықтайтын 5 және 6 нүктелерін тубу үшін, Q бетін n шеңберімен, G коникалық бетін үшбұрышпен, горизонталь проекцияда оның очеркін анықтап қосымша қима жазықтық қолдану керек. Табылған 1…8 нүктелері көрінуімен қосқан кезде G және Q беттердің қиылысу сызығын аламыз.

18. 
    сурет – Екі айналу беттің қиылысу сызығы
    

Эксцентрлі сфералық, айналу бетінің қиылысу сызығы мен өзінде көп шеңбері бар бетпен қиылысу нүктесін анықтағанда қолданады. екі бетте де жалпы симметриялы жазықтық болу керек.

Қосымша эксцентрлі сфералар шеңберде берілген беттермен қиылысады.


Конус пен сфераның қиылысу сызығын табу үшін эксцентрлі сфераларды - посредникті бет ретінде қолданамыз. Сфералардың центрі конустың осінде орналасқан. Сфера конус пен сфераны 2 нүктеде қиылысқан және ізделінді қиылысу сызыққа тиісті шеңбер бойымен қияды.

18. 
    сурет – Q конусынын және G сфераның қиылысуы
    

Үстіңгі және астыңғы қиылысу нүктелері қосымша қима жазықтық – бас фронталь меридиан жазықтығы, конус пен сфераны үшбұрыш және шеңбер бойымен қиятын, және фронталь проекция жазықтығында беттің очеркі болып келетін жазықтық арқылы табылғын.

Горизонталь проекция жазықтығында қиылысу сызығының көріну шегін анықтайтын нүктелер, қосымша қима жазықтық – сфераны экватор бойымен, горизонталь проекцияда шар очеркі болатын шеңбер, ал конусты параллель шеңбер бойымен қиятын горизонталь деңгей жазықтығы арқылы табылған.

Қосымша келістіруші бет арқылы табылған нүктелер конус пен шардың қиылысу сызығын анықтайды.

Эксцентрлі сфераларды келістірушілер бет ретінде қолданып Q конусы мен G сфераның қиылысу сызығын табуды мысал ретінде қарастырайық.

Сфералар центрі - А¹,А², А³ нүктелері конус осінде орналасқан. R¹ радиус сферасы А¹ нүктедегі центрімен конус пен сфераны а мен б шеңбер бойымен қияды, олар 1 және 2 ізделінді қиылысу сызығына тиісті 2 нүктелерінде қиылысады. R² сферасы мен А² центрі және R³ сферасы мен А³ центрі арқылы 3,4, және 5,6, нүктелерінің орналасуы табылды. 7,8, нүктелері к және 1 бас фронталь меридиан бойымен конус пен сфераны қиятын а қосымша қима жазықтығы (фронталь меридиан жазықтығы) арқылы табылған.

Горизонталь проекция жазықтығындағы қиылысу сызығының көріну шегін анықтайтын 9 және 10 нүктелері, G сферасын S экватор бойымен, Q конусын р шеңбер бойымен қиятын қосымша в қима жазықтығы (горизонталь денгейлік жазықтық) арқылы табылған. 1…10 нүктелері қосымша келістіруші бет арқылы құрылған, олар шар мен конустың қиылысу сызығын анықтайды.
4.5 Айналу конусы мен айналу цилиндрдің қиылысу сызығын салу

Берілген геометриялық денелердің айналу остері қиылысады және Г жазықтығында, фронталь проекция жазықтығына параллель орналасқан.

Қосымша қима сфераның О (О,О₂₎) центрің берілген беттердің айналу осінің қилысу нүктесінде орналастыру қажет.

Қима сфералар 2 бетті де қию керек.1- қима сфераның радиусы, берілген сфера 1 – бетті қиятындай етіп және басқаны тиіп өтетіндей берілу керек.

1-қима сфера конус бетіне жаналап салынған. Бұл сфераның конусқа жанау фронталь проекция сызығы 1₂ және1₂¹ нүктелері арқылы өтеді. Бұл қима сфера цилиндрді шеңбер бойымен қиып өтеді, оның фронталь проекциясы 2₂ және 2₂¹ нүктелері арқылы өтеді. Берілген нүктелер арқылы өтетін қиылысу сыызығында берілген беттің қиылысу сыызығына тиісті нүктелердің фронталь проекциясы болып келетін В₂ және В₂¹ нүктелері анықталған.

Екі қима сфераның радиусы үлкейтілген. Бұл сфера 2 берілген бетті сызық бойымен қиып өтті, бұлардың фронталь проекциялары 3₂, 3₂¹, 4₂,4₂¹ нүктелері арқылы өтеді. Бұл сызықтардың қиылысуында

Қима жазықтығы берілген 2 бетті де бас меридиан бойымен қияды. Бас меридианның фронталь проекцияның қиылысуында, конус пен цилиндрдің қиылысу сызығына тиісті үстіңгі А және астіңғы Д тіректік нүктелердің фронталь проекциялары болып келетін нүктелер анықталған.

Ізделінді қиылысу сызығының қосымша нүктелерді табу керек болған жағдайда - қима сфераны қолдануға болады. Оның радиусы А мен Д нүктелерінен сфераның центріне дейінгі қашықтықтан үлкен болмау керек.

Конус пен цилиндрдің қиылысу сызығының фронталь проекциясы А₂, В₂, С₂, Д₂ нүктелердің қосылуынан пайда болады.

П₁ жазықтығына ізделінді сызықтың горизонталь проекцияларын анықтау үшін қима сфералар конусты қиятын шеңбердің горизонталь проекциялары салынған. Ал бұлар П₁ жазықтығына параллель жатқандықтан, ол П₁- ге натурал өлшемде проекцияланады.

В, С және тағы басқа нүктелердің горизонталь проекциялары, берілген нүктелер тиісті нүктелердің фронталь проекциясы мен шеңберлердің горизонталь проекциясы жүргізілген вертикаль байланыс сызығының қиылысуында анықталған. А мен Д нүктелердің горизонталь проекциялары жазықтығының горизонталь ізінде жатыр.

Ізделінді сызықтың горизонталь проекциясы көрінбейді, сондықтан штрих сызықпен көрсетілген.
5 Көпқырлылардың өзара қиылысу сызығы
Жалпы жағдайдағы екі көпқырлы беттер кеңістіктік сынық сызық арқылы қиылысады. Геометриялық денелер өзара бір - бірінен кеңістікте әртүрлі орналасқандықтан, олардың қиылысу сынық сызығы әртүрлі болуы мүмкін.

Сынықтың төбесі ретінде бір көпқырдың қырымен басқа көпқырдың қырларымен қиылысу нүктесі болып келеді. Сынықтың қабырғалары екі – геометриялық дененің қырларының қиылысу сызығы болып келеді.

Екі көпқырдың қиылысу сызығын салу үшін әртүрлі әдістер қолданылады. Қабырғалар, қырлар жіне тағы басқа әдістер сияқты.

Қабырғалар әдісін қолданылған кезде, бір көпқырдың қырлары мен басқа көпқырдың қырымен қиылысу нүктелерін анықтайы. Табылған нүктелер бір бірімен белгілі алгоритмде қосылады, бұл жағдайда бір қырда жатқан нүктелердің проекциялары түзу болып қосылады.

Қырлар әдісі көпқырлы қырлардың пар - пар кесінді сызықтарын салуға болады. Әдістерді немесе комдинацияларын, сонымен қатар қосымша қима жазықтықтарды таңдау қиылысқан геометриялық дененің форматтарына және олардың өзара орналасуына байланысты болады.


5.1 Екі призманың қиылысу сызығын проекциясын салу

Геометриялық денелердің өзара қиылысу сызығын анықтауда қабырғалар әдісін қолданған (22 сурет).

Қосымша қима жазықтықтар ретінде үшқырлы призма қабырғалары арқылы өтетін Г, Г¹,Г¹¹ фронталь жазықтықтар және ДД¹, GG¹ алтықырлы призманың қабырғалары арқылы өтетін бұрыш фронталь жазықтығы қолданылған.

Алтықырлы қырларымен үшқырлы призманың қабырғалардың қиылысу нүктелерінің горизонталь проекциялары (1₁ …6₁ нүктелер) қосымша толықтыруларсыз орындалған, өйткені алтықырлы призманың қырлары, П₁ проекциялаушы жазықтыққа перпендикуляр орналасқан. Нүктелердің фронталь проекциялары 1₁…6₁ нүктелерден жүргізілген вертикаль байланыс сызықтармен және үшқырлы призманың қабырғаларының фронталь проекциясымен қиылысуында орналасқан.

Алтықырлы призманың ДД¹, GG¹ қабырғаларының үшқырлының қырларымен ( 7, 8, 9, 10) нүктелерінің горизонталь проекциялары. Бұл қабырғаларының горизонталь проекцияларымен сәйкес келеді.

Қосымша қима жазықтығы үшқырлы призманың қырларын KL және MN сызықтарымен қияды.

Бұл сызықтардың фронталь проекцияларының мен алтықырлы призманың қабырғаларының фронтал проекцияларының (k₂L₂, D₂D₂¹, K₂L₂, G₂G₂¹, M₂N₂ , D₂D₂ , M₂N ₂, G₂G₂) қиылысуында 7₂, 8₂, 9₂, 10₂ нүктелері анықталған. 2 призманың қиылысуының сынық сызық фронталь проекциясы 8₂, 1₂, 7₂, 2₂, 3₂, 8₂ және 10₂, 4₂, 9₂, 5₂, 6₂, 10₂ нүктелердің фронталь проекцияларымен қосылуымен пайда болды.

Қиылысу сызығы 2 кеңістіктің сыныққа бөлініп кетті.

Берілген есепте толық беттер қиылысқан (үшқырлы призма алтықырлыны тесіп өтеді)

Проекция жазықтықта көріну учаскелерін анықтағанда келесі ережелерді еске алу керек: көрінетін сызықтар геометриялық дененің көрінетін шегінің қиылысуында ғана шығады.

Егер қиылысқан қырдың біреуі көрінбесе, онда олардың қиылысу сызығы да – көрінбейді.

8₂ - 1₂ – 7₂ және 10₂ - 4₂ - 9₂ сынықтардың учаскелері көрінеді де, ал қалғаны көрінбейді.

18. 
    сурет – Үшқырлы призманың мен алтықырлы призманың қырларының қиылысу нүктелері
    

23 - суретте геометриялық денелердің қиылысу проекциялары көрсетілген. Олардың қиылысу сызығы шектелген сынық түрінде, яғни 1 геометриялық дене басқаға тіреледі.

Берілген жағдайда толық емес қиылысу орын алады. 1, 2, 3, 4 нүктелердің горизонталь проекциялары пирамида қабырғалары мен призманың қырларымен қиылысуы қосымша салусыз орындалған, өйткені призманың қырлары П₁ горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр. Бұл нүктелердің фронталь проекциялары пирамида қабырғаларының фронталь проекцияларына тиісті (1₂, 2₂, 3₂, 4₂ нүктелер)

18. 
    сурет – Призма мен пирамиданың өзара қиылысу сызығы
    

Призманың ЕЕ¹ қабырғасымен пирамида қырларымен қиылысу нүктелерінің проекцияларын анықтау үшін, горизонталь проекциялаушы енгізілген ал пирамиданың S төбесі мен ЕЕ¹ призманың қабырғасынан өтеді. ЕЕ¹ қабырға мен пирамида бетімен қиылысу нүктенің фронталь проекциялары Е₂Е₂¹ фронталь проекциялары мен К₂ S₂ және L₂ S₂ бұрыш қосымша жазықтықтың

қиылысу сызықтың пирамида қырларымен қиылысу нүктелері ретінде анықталды.

Геометриялық дененің қиылысу сынықтың фронталь проекциясы 1₂, 5₂, 2₂, 4₂, 6₂, 3₂, 1₂ нүктелерді қосқаннан шыққан 1₂ - 5₂ - 2₂ және 3₂ - 6₂ - 4₂ учаскелер көрінетін өйткені өйткені көрінетін қырларының қиылысу сызықтың проекция болып келетіндіктен, ал қалған сызықтың бөлшектері – көрінбейтін.

24 суреттегі есепте геометриялық денелердің толық өзара қиылысуы бар, кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан.

Пирамида қабырғалары мен призма қырларының қиылысу нүктелерін анықтау үшін, берілген есепте қосымша Г, E бұрыш фронталь проекциялаушы жазықтық, қолданылған, олар пирамида қабырғалары арқылы өтеді.

Призманың АА¹ қабырғасы мен пирамиданың қырларымен қиылысу нүктелерін анықтау үшін АА¹ қабырғасы арқылы өтетін Ө горизонталь проекциялаушы қолданылған. Пирамида қабырғалары мен призма қырларының қиылысу нүктелердің қиылысуы қосымша қима жазықтық пен призма қырларының қиылысу сызығының сәйкес проекцияларында орналасқан.

Бұл сызықтың горизонталь проекциялары 2₁, 1₁, 3, және 6₁, 8₁, 7₁ нүктелері арқылы фронталь проекциялары - 1₂, 2_2, 3₂, және 7₂, 4₂, 5₂ нүктелері арқылы өтеді.

Пирамида қабырғалары мен призма қырларының қиылысу нүктелерін анықтау үшін, берілген есепте қосымша Г, E бұрыш фронталь проекциялаушы жазықтық, қолданылған, олар пирамида қабырғалары арқылы өтеді.

Призманың АА¹ қабырғасы мен пирамиданың қырларымен қиылысу нүктелерін анықтау үшін АА¹ қабырғасы арқылы өтетін Ө горизонталь проекциялаушы қолданылған. Пирамида қабырғалары мен призма қырларының қиылысу нүктелердің қиылысуы қосымша қима жазықтық пен призма қырларының қиылысу сызығының сәйкес проекцияларында орналасқан.

Бұл сызықтың горизонталь проекциялары 2₁, 1₁, 3, және 6₁, 8₁, 7₁ нүктелері арқылы фронталь проекциялары - 1₂, 2_2, 3₂, және 7₂, 4₂, 5₂ нүктелері арқылы өтеді.



24 сурет – Призма мен пирамиданың өзара қиылысу сызығы
6 Беттердің жазбасы
Беттердің жазбасын салған кезде майысқан, созылмайтын пленка ретінде қарастырады.

Беттердің жазбасы бұл беттің шексіз кіші элементтердің жазықтықпен қосылуынан шығатын қорытынды.

Әртүрлі жазықтықтағы арналған беттердегі нақты, дәлденген немесе шартты жазбаларды салуға болады. Қисық жазбалы беттерге, дәлденген жазбаларды аппроксимирлау әдісімен салады, мысалы цилиндрлік бет көпқырлы және тағы басқа.

Жазылынбайтын беттерге тек қана шартты жазбаларды, берілген беттерді бөліктерге бөле отырып салуға болады. Әрбір бөлікті цилиндрлік немесе коникалық беттермен аппроксимирлайды, олардың жазбаларын салады.

Жазбаларды салу практикада үлкен маңызы бар, өйткені материалды диформациялап, одан әртүрлі бұйымдар жасауға ыңғай береді.
6.1 Көпқырлы беттердің жазбалары

Мына құралда көпқырлы беттердің жазбаларын салу үш әдісі көрсетілген:

1) үшбұрыштар әдісі (триангуляция);

2) нормаль қима әдісі;

3) жаю әдісі.

Берілген әдістерді қолдана отырып салынған мысал 25, 26 - суретте көрсетілген.

Ал 26 суретте берілген геометриялық дененің жазбасын салу мысалы берілген.

Берілген беттің жазбасы жанжақтағы қырлары – үшбұрыш немесе пирамида табаны төртбұрыштан тұратын жазық фигура .

Жазбаны салу үшін үшбұрыштар әдісі қолданылған.

S төбесі арқылы өтетін және П₁ проекциялаушы жазықтыққа перпендикуляр і өсінің айналасымен айналу әдісімен шынайы пирамида қабырғаларының ұзындығының шамасы анықталған.

Бұл кесінділер S₂A₂¹, S₂B₂¹, S₂C₂¹, S₂D₂¹ болып келеді (25-сурет)

Пирамида табанының нақты өлшемі оның горизонталь проекциясы болып келеді, өйткені табаны П₁ проекциялаушы жазықтыққа тиісті.

25 сурет – Төртқырлы пирамиданың проекциялары

26 суреттегі пирамиданың жазбасы келесі әдіспен салынған: S₀ нүктесі арқылы а түзуі жүргізілген, және сол түзуде S₀A₀ = S₂A₂¹ кесіндісі салынған. А₀ нүктеден R=A₁B₁ радиусы бар доға жүргізілген, ал S₀ нүктеден – R₁=S₁B₂¹ радиусты доға жүргізілген.

Бұл 2 доғаның қиылысуы B₀ нүктенің орнын анықтайды.

26 сурет – Төртқырлы пирамиданың жазбасы

Пирамида бетінің SCD қабырғасында M нүктесі берілген. Жазбада бұл нүктенің орнын табу үшін, берілген нүкте арқылы және S төбесі арқылы пирамида табанына дейін түзу салу керек және M нүктесінен төбеге дейін шын өлшемді табу керек.

26-суретте SN кесіндісі і осінің айналасына дейін бұрылған, П₂ проекциялаушы жазықтыққа параллель. Бұл кесіндісінің нақты өлшемі S₂N₂¹ кесіндісі болып келеді. M₂ нүктеден х осіне параллель түзу жүргізілген. S₂N₂¹ дейін және M₂ нүктесі анықталған. S₂M₂¹ кесіндісі бұл М нүктеден пирамида төбесіне дейін нақты өлшем.

26-суреттегі жазбада С₀ нүктеден С₀В₀ кесіндіде С₀N₀ = C₁N₁ кесіндісі салынған. N₀ нүктесі S₀ нүктеден S₀M₀ = S₂M₂¹ кесіндісі салынған.

27 суретте жанамалары П₁ горизонталь проекциялаушы жазықтыққа параллель цилиндрлік бет салынған. Бұндай бетке оның жазбасын салу үшін нормаль қима әдісін қолдануға болады.

28 суретте берілген геометриялық дененің қырлы беттің жазбасы салынған.

Жазбаны салу үшін қосымша цилиндрлік беттердің жанамаларына перпендикуляр Г жазықтығы енгізілген. Бұл жазықтық нормаль , ал бұндағы қима – нормаль қима деп аталады.

Г₁- Г жазықтықтың горизонталь ізі.

Цилиндрдің табаның П₂ проекциялаушы жазықтыққа параллель фронталь проекциясы, 12 бөлікке бөлінген; бөліну нүктелерінің фронталь және горизонталь проекциялары (0₁ - 6₁ және 0₂ - 6₂ нүктелері) және әр нүкте арқылы жанаманың фронталь және горизонталь проекциялары жүргізілген.

7₂ - 13₂ нүктелері жанаманың Г жазықтығымен қиылысу фронталь проекциялары болып келеді. Бұл нүктелердің горизонталь проекциялары Г жазықтықтың горизонталь ізінде Г₁-де жатыр.

Проекциялаушы жазықтықты ауыстыру әдісімен цилиндрлік беттің үстіңгі жартысының нақты өлшемі анықталған. Бұл қиманың контуры ретінде, 7₄ - 13₄ нүктелері арқылы өтетін қисық болып келеді.

27 сурет – Цилиндрлік бет

Бұл нүктелерден астына қарай Г₁ ізден оң жағында, жанама кесіндінің натурал шамасына тең кесінділер салынған (27-сурет)

0₀¹ - 6₀¹ және 0₀¹¹ - 6₀¹¹ нүктелері қисықтармен қосылған.

29 - суреттегі жазық фигура цилиндр беттің қырлы жазбасын құрайды.

Толық жазбаны салу үшін берілген фигураға беттің табанын салу керек, бұл үшін олардың нақты өлшемін анықтау керек. Берілген беттің табаны П₂ проекциялаушы жазықтыққа нақты өлшемде проекцияланады. (28 сурет)

Басқа табанның нақты өлшемін кез - келген әдіспен анықтауға болады.

29 сурет – Берілген геометриялық дененің қырлыбетінін жазбасы

Эллипстік цилиндрдің табаны дөңгелек болу келетін қиғаш беті берілген, ал П₁ проекциялаушы жазықтыққа параллель. Берілген беттің жанамалары П₂ проекциялық жазықтыққа параллель.Берілген беттің жазбасын салу үшін көп қырлы призманың бетімен апроксиметриялау керек. Егер призмалық бетті ойша П₂ проекциялаушы жазықтыққа параллель 00₁ қабырғасы арқылы бұрыш жазықтыққа қиса, онда ішкі призмалық беттің әрбір қырын 00₁ қырларды П₂ проекциялаушы жазықтықпен қосуға болады.

30 сурет – Цилиндрлік беттің жазбасын салу

Келесі салулары да сондай. Салу қорытындысы берілген геометриялық дененің қырлы беттің ½ бөлігі жазбасы алынған, ол бұрыш қима жазықтықтың қаралағында орналасқан. Еңіс цилиндрдің қырлы беттің толық жазбасын салу үшін, астыңғы табанның горизонталь проекциясын 12 бөлікке бөліп, жоғарыда жазылған салуларды орындау керек. Беттің толық жазбасын алу үшін, қырлы беттің жазбасына үстіңгі немесе астыңғы табанын олардың горизонталь проекциялары нақты өлшемдес болатынын салу керек.

Жазылынбайтын беттер деп аталатын жазықтықпен қосуға болмайтын беттерді, практикада шартты жазбалармен салады.

Бұндай беттерді салу келесі әдіспен орындалады; берілген беттердің қималарына жазылатын беттерге - қырлы, цилиндрлі, коникалы, аппроксиметрияланады. Әрбір қималарға дәлденген жазбаларды салады.
6.5. Сфераның жазбасын салу

Сфераның жазбасын салу үшін берілген бетті қосымша бұл беттің айналу өсінен өтетін қима жазықтықтармен қию керек. 31 - суретте Г, Г¹ қима жазықтықтардың арасында жатқан беттің бөлігі көрсетілген. 31 суретте сфераның екі проекциясы көрсетілген.

Бет Г, Г¹ жазықтықтармен 6 тең бөлікке бөлінген және т.б. перпендикуляр горизонталь проекциялаушы жазықтығымен Г₁, Г₁¹ және тағы басқа – бұл жазықтықтардың горизонталь іздері.

Әрбір бөліктің ортасынан және тағы басқа горизонталь проекциялаушы жазықтықтар өткізілген.

Ж.б. – бұл жазықтықтырдың горизонталь іздері. Қиылған сфераның әрбір бөлігі оның айналасындағы цилиндрлік бетпен алмастырылған Жазбаны салу Г және Г¹ қима жазықтықтардың арасында жатқан бет бөлігінің келтірілген жазбаны салудан басталады.

Берілген сфера бөлігінің айналасында жатқан цилиндрлік беттің жанамалары, жазықтыққа 1 және бұл бөліктің орташа меридианға жаналап өтеді. Орташа меридиан берілген беттін бас меридианы болып келеді, өйткені фронталь прекциаялаушы жазықтыққа параллель жатқан бұрыш қима жазықтықта жатыр.

Орташа меридиан 6 тең бөлікке бөлінген (32 сурет) О₁.О₂ нүктелер – бөлінү нүктелердің фронталь проекциялары

О₁-О₁ нүктелер – бұл нүктелердің гаризонталь проекциялары.1₁-3₁ нүктелерде Г және Г¹ қима жазықтықпен шектелген түзулердің кесінділері жүргізілген. Бүл кесінділер беттің жазба бөлігінің жанамаларының горизонталь проекциялары болып келеді. (А,А₁¹, В,В₁¹, С₁С₁¹ кесінділері) Жанамалардың фронталь проекциялары 1,2,3, нүктелердің фронталь проекцияларымен сәйкес, өйткені жанамалар П₂ проекция жазықтыққа перпендикуляр.А вертикаль сызығы жүргізілетін және онда 6 бірдей кесінді салынған, сфераның жазба бөлігіне тиісті 1/6 бас меридианға тең (0₂1₂ кесіндісі) 1₀-5₀ нүктелері алынды. Бұл нүктелерден а түзуіне перпендикуляр сызықтар жүргізілген.

32 сурет – Берілген сфера бетті 6 тең бөлікке бөлген.

1₀-3₀ нүктелерден 1₀А₀ = 1₁А₁; 2₀В₀ =2₁В₁; 3₀С₀ =3₁С₁ кесінділері а түзуден солға қарай, және 1₀A₀¹ = 1₁A¹, 2₀B₀¹=2₁B₀¹, 3₀C₀=3₁C₁¹кесінділері а түзуінен оңға қарай салынған. Ал A₀B₀C₀ және A₀¹B₀¹C₀¹ кесінділері қисықпен қосылған D₀E₀D₀¹E₀¹ нүктелері B₀A₀ және B₀¹A₀¹ нүктелерге симметрия салынып қисықтармен қосылған.Салынған фигура сфера беттің дәлденген 1/6 бөлігінің жазбасы болып келеді. Берілген беттің толық жазбасын алу үшін, тағы сондай 5 фигура салу керек, 33 – суретте көрсетілгендей бірінің артынан біріне қатарлап қоямыз.

Берілген әдісті жабық тордың дәлденген жазбасын салу үшін қолдануға болады.

33 сурет – Сфералық беттің жазбасын салу

34 суретте ашық тор (сақинаның) бетінің 2 ¼ бөлігінің проекциясы көрсетілген.

Бұндай беттің шарттты жазбасын салу үшін, бұл бетті берілген айналу бет өсі арқылы өтетін қима жазықтық арқылы бірнеше тең бөлікке болу керек. Бет 3 тең бөлікке (бұл жазықтықтардың фронталь ізі) жазықтық арқылы бөлінген - әрбір бөлік цилиндрлік бетпен аппроксимметрияланған.

Дәлденген жазба аппроксимметрияланып беттің әрбір бөлікке бөлек салынады.

35 суретте екі Δ, Δ′ жазықтықтың арасында орналасқан, берілген беттің 1/3 бөлігінің шартты жазбаны салу суреті көрсетілген. Бұл бет бөлігінің ортасы арқылы орта меридианда бетті қиып өткен нормаль Г жазықтығы өткен. Бұл меридианды 12 тең бөлікке бөлу керек. 35 - суретте меридианның жартысын 6 бөлікке бөлуі көрсетілген. 1₂ - 6₂ бөліну нүктелері арқылы 0₂¹¹ центрінен және 7₂ нүктесі арқылы.

34 сурет – Ашық тор

Егер орта меридианды түзу кезіндегі түзсек және оған перпендикуляр нүктелерден өтетіндей етіп цилиндрлік бет жанамаларын салсақ, онда шеткі нүктелерді қосып берілген беттің 1/3 бөлігінің шартты жазбасын салуға болады (35 сурет).

А түзуінде 1₀ нүктеден үстіне және астына қарай 6 тең кесінді салынған. Әрбір нүкте арқылы а түзуіне перпендикуляр түзулер жүргізілген және оларды а түзуінен солға қарай 1₀А₀=1₂A₂, 2₀B₀=2₂B₂ж.т.б. тағы басқа, ал а түзуінен оңға қарай 1₀A₀¹=1₂A₂¹, 2₀B₀¹=2₂B₂¹ және тағы басқа кесінділер салынған. Берілген нүктелер қисықтармен қосылған. Жазбаның астыңғы бөлігі солай салынады. Толық жазбаны салу үшін, салынған фигураға тағы сондай екі фигура салу керек.



35 сурет – Ашық тордың жазбасы

6.7 Қисықсызықты жанамамен айналу беттің шартты жазбасын салу

Бет меридиан жазықтығымен 6 тең бөлікке бөлінген Г, Г¹ қима жазықтықтықтардың арасындағы беттің 1/6 бөлігі ерекшеленген. Геометриялық дененің фронталь проекциясында А₂ және В₂ нүктелерін қосатын хорда жүргізілген.

Бұл кесіндінің ортасынан берілген беттің жанамасының проекциясына дейін перпендикуляр салынған. Алынған кесінді 2-ге бөлінген, бөліну нүктесінен хордаға параллель түзу жүргізілген.

1₂7₂ кесіндісі 6 тең бөлікке бөлінген және әрбір бөліну нүктесі арқылы шеңберді қиятын беттің горизонталь қима жазықтығының фронталь іздері жүргізілген. Горизонталь проекциялаушы жазықтық арқылы бұл параллельдердің Г, Г¹ қима жазықтықтардың арасындағы горизонталь проекциялары салынған.

Жазбаны салу беттің жазбалы бөліктің орта сызығы етіп алынған S₂ нүктеден жүргізілген түзуді жүргізуден басталады. 1₂, 2₂, 3₂ және тағы басқа нүктеден бұл түзумен қиылысқанға дейін 1₀ - 7₀ нүктеге дейін доғалар жүргізілген. Алынған нүктелерден сәйкес доғаларда беттің жазбалы бөліктегі параллельдердің горизонталь проекциясы бөлігінің ұзындығы салынған.

Геометриялық дененің барлық шеткі беттің жазбасын салу үшін сондай тағы бес фигура салу керек, ол толық жазбалы алу үшін шеткі беттің жазбасына диометрі үстіңгі және астыңғы берілген беттің табан диаметріне тең екі шеңбер қосу керек.

36 сурет – Қисықсызық жанамасы бар айналу беттің жазбасын салу

3. 
   малардын вариантары,
   

R115

5-ші вариант 6-ші вариант

7-вариант 8 вариант

15-ші вариант 16-ші вариант

17-ші вариант 18-ші вариант

19-ші вариант 20-ші вариант

2.Беттердің ерекшелену әдістерін сипаттаңдар және классификацияландар?

3. Беттердің каркасы деген не?

4. Беттердің анықталуы деген не?

5. 
   Айналу беттің ерекшеленуін сипаттаңдар?
   
6. 
   Параллельдер деген не?
   
7. 
   Парақ деген не?
   
8. 
   Меридиан деген не?
   
9. 
   Бас фронталь меридиан жазықтығы деген жазықтық не?
   
10. 
    Айналу бетке мысал келтір?
    

12. Сызықты бет пен параллель жазықтықты сипатта және тыс келтір?

13. Параллель көшіру бет ерекшеленуін сипатта?

14. Бетке тиісті сызықты сал?

15. Сызық пен беттің қиылысу нүктелерін салу принципін айт?

16. Бетке тиісті бір проекция нүктесі арқылы беттегі нүктені тап?

17. Жазба деген не?

18. Көпқырлар жазбасын салу әдісін көрсет?

19. Пирамида жазбасын үшбұрыштар әдісін қолданып салуы?

20. Призма жазбасын нормаль қимасы әдісі арқылы салуы?

21. Жою әдісі?

22. Цилиндрлік беттің жазбасын салу?

23. Коникалық бет жазбасын салу?