Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба графика функции
жүктеу/скачать 83.39 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1. Исследование функции на выпуклость и вогнутость
- О пределение
- Точки перегиба графика функции. Определение
- Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
- Асимптоты графика функции.
- О пределение 1.
- 4. Схема полного исследования функции и построение графика.
Общая схема исследования функции и построение графика. 1. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.
4. Схема полного исследования функции и построение графика. Введение. В школьном курсе математики вы уже встречались с необходимостью построения графиков функций. В основном, вы использовали способ построения по точкам. Следует отметить, что он прост по идее и сравнительно быстро приводит к цели. В случаях, когда функция непрерывна и изменяется довольно плавно, такой способ может обеспечить и необходимую степень точности графического представления. Для этого нужно брать побольше точек, чтобы достичь определённой густоты их размещения. Предположим теперь, что функция в отдельных местах имеет особенности в своём «поведении»: либо её значения где-то на малом участке резко меняются, либо имеют место разрывы. Наиболее существенные части графика таким способом могут и не быть обнаружены. Это обстоятельство и снижает ценность способа построения графика «по точкам». Существует второй способ построения графиков, основанный на аналитическом исследовании функций. Он выгодно отличается от способа, рассмотренного в школьном курсе математики.
П О  пределение Будем говорить, что график функции  на (а, в) имеет выпускать, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, в).
а) вогнутая кривая б) выпуклая кривая Теорема 1 (необходимое условие выпуклости (вогнутости) кривой). Если график дважды дифференцируемой функции выпуклая (вогнутая) кривая, то вторая производная на интервале (а, в) отрицательна (положительна) на этом интервале. Теорема 2 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой). Если функция
Определение Точка  называется точкой перегиба графика функции  , если в точке  график имеет касательную, и существует такая окрестность точки  , в пределах которой график функции слева и справа точки имеет разные направления выпуклости.
О Теорема 3 ( необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке  непрерывную вторую производную. Тогда  .
Не всякая точка , для которой , является точкой перегиба. Например, график функции  не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя  при  . Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба.
Точки Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности  имеет разные знаки слева и справа от точки , то график имеет перегиб в точке .
Замечание. Теорема остается верной, если  имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , и существует касательная к графику функции в точке  . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график к функции имеет перегиб в точке .
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Пример. Исследовать функцию  на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
1. 
2. 3.
При исследовании поведения функции при О  пределение 1. Прямая  называется асимптотой кривой L, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки по кривой к бесконечности. Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Определение 2. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен  , т. е. или 
Например, график функции Определение 3. Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции при  если  .
Например, график функции Определение 4. Прямая  ( ) называется наклонной асимптотой графика функции при  если  ; 
Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая асимптот не имеет. Если, то следует искать эти пределы отдельно, при Например. Найти асимптоты графика функции 
 ; х=0 – вертикальная асимптота
;  .
 ;
 - наклонная асимптота.
4. Схема полного исследования функции и построение графика. Рассмотрим примерную схему по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.
Пример. Исследовать функцию  и построить ее график.
1. 2. 3. ; 
Следовательно 4. 5.  ;  критических точек второго рода нет.
 
Заключение. Важной особенностью рассмотренного способа является то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изучение характерных особенностей в поведении кривой. Места, где функция изменяется плавно, не изучаются особенно подробно, да и нет надобности в таком изучении. Зато те места, где функция имеет какие-либо особенности в поведении, подлежат полному исследованию и максимально точному графическому изображению. Этими особенностями являются точки максимума, минимума, точки разрыва функции и др. Определение направления вогнутости и перегибов, а также указанный способ нахождения асимптот дают возможность провести исследование функций ещё более детально и получить более точное представление об их графиках. жүктеу/скачать 83.39 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
усть функция 
этого графика (
), причем касательная не параллельна оси OY , так как ее угловой коэффициент, равный 
, конечен.
(
) во всех точках этого интервала, то кривая, являющаяся графиком функции 
чевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит над касательной, а с другой – под нею, т. е. в окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и произошло название «точки перегиба».
в каждом интервале и определить характер функции на каждом их них.
, 
=
)
)
или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют. 
имеет вертикальную асимптоту 
, т. к. 
, а 
.
. 
.
функция ни четная ни нечетная
; 
; х=-1 точка разрыва функции 2 – го рода, а прямая х=-1 – вертикальная асимптота.
наклонная асимптота
; 
; 
; 
; 
- критические точки I-го рода
=
;
(
)
