Курсовая работа "Моделирование развития аденокарциномы-755 " Дисциплина: "Моделирование в медицине"
жүктеу/скачать 119.29 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2. Аппроксимация экспериментальных данных 2.1. Выбор функции
- 2.2. Аппроксимация в MathCAD
- 2.3. Выбор оптимальной функции
- 2.4. Метод наименьших квадратов
- 2.5 Расчёт коэффициентов МНК
- 2.6. Итерационный расчёт коэффициентов функции
- 3. Расчёт биологических параметров. 3.1. Время жизни организма без лечения и запас жизненных сил.
- 3.2. Дозовая зависимость.
- 3.3. Расчёт времени жизни организма после курса лечения.
|
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТУ) Факультет: Кибернетики Кафедра: Биомедицинская Электроника КУРСОВАЯ РАБОТА “Моделирование развития аденокарциномы-755 ”
Работу выполнил студент группы КМ-1-хх: ФИО____________________ Проверила преподаватель: Бабушкина Нина Александровна ______________________ МОСКВА 200х Содержание Титульный лист…………………………………………………………….………1 Содержание………………………………………………………………….……...2 Введение…………………………………………………………………….………3 1. Описание опухоли…………………………………………………………….…3 2. Аппроксимация экспериментальных данных……………………..……….….3 2.1. Выбор функции………………………………………………………..3 2.2. Аппроксимация в MathCAD…………………………………………..3 2.3. Выбор оптимальной функции………………………………………...5 2.4. Метод наименьших квадратов…………….………………………….5 2.5 Расчёт коэффициентов МНК………………………………………….7 2.6. Итерационный расчёт коэффициентов функции……………………8 2.7. Результаты…………………………………………………………….13 3. Расчёт биологических параметров…………………………………………….13 3.1. Время жизни организма без лечения и запас жизненных сил……..13 3.2. Дозовая зависимость………………………………………………….13 3.3. Расчёт времени жизни организма после курса лечения…………....14 Заключение……………………………………………………………………..….17 Список литературы………………………………………………………………..18 ВВЕДЕНИЕ Необходимо смоделировать развитие аденокарциномы-755. Рассчитать время жизни при воздействии химиотерапии. Экспериментальные данные: N(t) – объём опухоли, t – дни измерения размера опухоли. 
Количество введения доз препарата: 5 раз Вводимая доза: D=0.1 МПД Интервал введения дозы: Логистическая: 2.2. Аппроксимация в MathCAD Подбор коэффициентов производился в пакете Mathcad 2001 Professional с помощью функций lgsfit(vx, vy, vg) и genfit(vx, vy, vg, F). Функция lgsfit(vx, vy, vg) осуществляет расчёт логистической регрессии по данным времени vx и размера опухоли vy методом градиентного спуска. За начальное приближение берётся произвольный вектор vg. Функция genfit(vx, vy, vg, F) позволяет рассчитывать аппроксимирующую функцию любого вида. Для это вводится дополнительный параметр F, который является вектором частных производных по параметрам аппроксимирующей функции. Расчёты в MathCAD дали следующие результаты: Функция Гомперца:  (2.3)
Логистическая функция:  (2.4)
Рис. 2.1. Аппроксимация исходных данных логистической и функцией Гомперца. 2.3. Выбор оптимальной функции Чтобы выбрать функцию с большей корреляцией с исходными данными, необходимо просчитать сумму квадратов отклонений (СКО) между исходными точками и аппроксимированными аналитической функцией.  (2.5)
Функция Гомперца:  (2.6)
при 
Логистическая функция:  (2.7)
при 
Т.к. СКО2 > СКО1, функция Гомперца лучше аппроксимирует исходные данные. 
2.4. Метод наименьших квадратов Рассмотрим задачу оценки коэффициентов парной линейной регрессии. Предположим, что связь между х и у линейна: у = +х. Здесь имеется в виду связь между всеми возможными значениями величин х и у, то есть для генеральной совокупности. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменную у множества других, неучтенных в нашем уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величин xi и yi приобретет вид уi=+хi+єi,. Здесь єi. - случайные ошибки (отклонения, возмущения). Задача состоит в следующем: по имеющимся данным наблюдений {xi}, {уi} оценить значения параметров и , обеспечивающие минимум величины  . Если бы были известны точные значения отклонений єi, то можно было бы (в случае правильности предполагаемой линейной формулы) рассчитать значения параметров и . Однако значения случайных отклонений в выборке неизвестны, и по наблюдениям xi и уi можно получить оценки параметров a и b, которые сами являются случайными величинами, поскольку соответствуют случайной выборке. Пусть а - оценка параметра , b - оценка параметра . Тогда оцененное уравнение регрессии будет иметь вид:
yi=а+bxi+еi, (2.8) где еi - наблюдаемые значения ошибок єi. Для оценки параметров и воспользуемся МНК, который минимизирует СКО фактических значений уi от расчетных. Минимум ищется по переменным а и b. Для того, чтобы полученные МНК оценки а и b обладали желательными свойствами, сделаем следующие предпосылки об отклонениях єi:
 (2.9)
Известно, что, если условия (1 - 4) выполняются, то оценки, сделанные с помощью МНК, обладают следующими свойствами:
Перечисленные свойства не зависят от конкретного вида распределения величин єi, тем не менее обычно предполагается, что они распределены нормально N(0;y2). Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделанных оценок и определения для них доверительных интервалов. При ее выполнении оценки МНК имеют наименьшую дисперсию не только среди линейных, но среди всех несмещенных оценок. Если предположения (3 - 4) нарушены, то есть дисперсия возмущений непостоянна и/или значения є. связаны друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности - нет. Рассмотрим теперь процедуру оценивания параметров парной линейной регрессии а и b. Для того, чтобы функция СКО (2.5) достигала минимума, необходимо равенство нулю ее частных производных: 
Откуда
2.5 Расчёт коэффициентов МНК Функцию Гомперца, нелинейную по параметрам, нужно привести к линейному виду: 
Т.к.  стоит в y(t), которое для метода МНК должно быть определено, возьмём первое приближение = 26.95 исходя из рассчитанного в п.2.2.
Преобразуем экспериментальные данные: 
Из 2.13 и 2.14 находим  :
Следовательно, аппроксимирующая функция будет иметь вид: 
2.6. Итерационный расчёт коэффициентов функции Рассмотрим метод наискорейшего спуска с шагом, длина которого зависит от свойств минимизируемой функции, или метод Ньютона. Он основан на квадратической аппроксимации минимизируемой функции в окрестности точки x(k), где (k) – номер итерации Минимум квадратической функции легко найти, приравнивая ее градиент нулю. Можно сразу же вычислить положение экстремума и выбрать его в качестве следующего приближения к точке минимума. Новая итерация вычисляется по формуле:  (2.15)
Пусть f(x) - минимизируемая фукнция с векторным аргументом  . Алгоритм наискорейшего спуска реализует итерационную процедуру движения к минимуму из произвольно выбранной точки начального приближения в направлении наиболее сильного уменьшения функции, определенном в окрестности текущего значения аргумента минимизируемой функции. Такое направление противоположно направлению, задаваемому вектором градиента  минимизируемой функции f(x):
 (2.16)
Вычисляя точку нового приближения по формуле (2.15) и разлагая f(x(k+1)) в ряд Тейлора, получим формулу квадратической аппроксимации fкв(x(k+1)):  , где
 (2.16)
 - матрица вторых производных:
 (2.17)
Условие минимума fкв(x(k+1)) по   . Вычислим градиент  из (2.20):
 (2.18)
Для учета фактических особенностей минимизируемой функции будем использовать в (2.19) значения градиента и матрицы вторых производных, вычисленных не по аппроксимирующей fкв(x), а непосредственно по минимизируемой функции f(x). Заменяя fкв(x) в (2.19), найдем длину шага
  (2.20)
Итак, последовательность вычислений для реализации алгоритма метода Ньютона:
За минимизируемую функцию возьмём сумму квадратов отклонений (СКО) между экспериментальными точками и аппроксимированными аналитической функцией:  (2.21)
За начальные приближения выберем: 
Для случая сфункцией Гомперца формулы (2.16) и (2.18) имеют следующий вид: 
Программа в MathCAD в таком случае выглядит следующим образом: 
Итерации, рассчитанные в MathCAD:
Итерационный цикл закончен, т.к. результат вычисления коэффициентов совпал с рассчитанными на ПК (п.2.2) с точностью
2.7. Результаты Коэффициенты аппроксимирующей функции Гомперца были рассчитаны тремя способами: на ПК, безытерационным методом наименьших квадратов (МНК) и методом наискорейшего спуска (метод Ньютона). Все они дали одинаковые результаты с точностью  .
3. Расчёт биологических параметров. 3.1. Время жизни организма без лечения и запас жизненных сил. Время жизни организма без лечения (Tж(до)) рассчитывается как последний день в исходных данных плюс трое суток. Tж(до) = 21+3 = 24 суток Запас жизненных сил определяют как площадь под аналитической кривой от начала заболевания до летального исхода.  (3.1)
3.2. Дозовая зависимость. 
Рис. 3.2. График дозовой зависимости Задержку роста опухоли определяют по данным дозовой зависимости. Вводимая доза: D=0.1 МПД Интервал введения доз: Количество введения доз препарата: 5 раз
Необходимо проверить, не умрёт ли организм до окончания цикла лечения. Для этого просчитаем расход запаса жизненных сил до последнего введения:  , следовательно, организм не умрёт до окончания цикла лечения.
Соответственно, время жизни организма после курса лечения можно получить из следующего уравнения запаса жизненных сил:  (3.3)
Рис. 3.3. Пунктирная линия: график роста опухоли до лечения. Жирная линия: график роста опухоли после лечения. 
Рис. 3.4. Увеличенный фрагмент. Пунктирная линия: график роста опухоли до лечения. Жирная линия: кусочный график роста опухоли после лечения. По формуле (3.3) рассчитываем время жизни после цикла лечения: 
 113.972 – 0.080 = 113.890 (3.4)
Расчёт интеграла (3.4) производился в системе MathCAD: 
Заключение Развитие опухоли лучше всего аппроксимирует функция Гомперца. Организм выдержит полный цикл лечения из 5 введений доз уровня 0.1 МПД с промежутком в 1 день дня и умрёт через 29 суток, что на 5 суток больше, чем в отсутствии лечения. Таким образом, продолжая вводить эти дозы, можно практически полностью нивелировать воздействие опухоли. 
Рис. 4.1. Смоделированный график развития опухоли до летального исхода. Пунктиром отмечен график развития опухоли до лечения. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
жүктеу/скачать 119.29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
день
(2.1)
(2.2)
; 
. Иначе говоря, если п достаточно велико, то практически наверняка а 
(2.12) 
по формуле (2.16)
по формуле (2.20)
(3.2)
