Лабораторная работа №11. Изучение затухающих механических колебаний
жүктеу/скачать 389 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, РЕЗОНАНС
- ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
- ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ
- КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Лабораторная работа № 11.ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Экспериментальное изучение механических колебаний, в том числе затухающих, является трудоемкой задачей, требующей высокой точности постановки эксперимента. В условиях учебной лаборатории весьма перспективным является использование методов моделирования. При помощи моделирования наглядные и достаточно точные количественные характеристики затухающих механических колебаний могут быть получены значительно проще. Условимся называть моделированием процесс замены изучения какого-либо явления в реальных условиях изучением его при помощи тех или иных моделей, в условиях, специально подобранных для удобства экспериментирования. При этом, кроме измерения размеров тел, участвующих в явлении, и материалов, из которых они изготовлены, очень часто исследуемый процесс может быть заменен другим, который либо зависит от наиболее важных для данного явления величин, либо имеет совсем другую природу, но сходное математическое описание. Моделирование является продолжением эксперимента новыми средствами. Данная лабораторная работа посвящена физическому и математическому моделированию, основанному на математических аналогиях между механическими колебаниями и электрическими колебаниями в
Колебательными называются процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, обладают определенной повторяемостью во времени. Такими процессами, например, являются суточные и годовые колебания температуры поверхности Земли, колебания маятников и т. п. Если промежутки времени, через которые состояния системы повторяется, равны между собой, то колебания называются периодическими, а промежуток времени между двумя последовательными одинаковыми состояниями системы – периодом колебаний  . Среди периодических колебаний особое место занимают колебания гармонические, т. е. колебания, при которых характеристики движения системы изменяются по гармоническому закону, например:
где а) Свободные колебания при отсутствии трения (собственные колебания)Свободными называются колебания системы, выведенной из положения равновесия и представленной затем самой себе. Предположим, что на тело, выведенное из положения равновесия, действуют силы, пропорциональные смещению и противоположно ему направленные:  , где  - коэффициент пропорциональности. Силы, изменяющиеся подобным образом, как упругие силы, независимо от их природы называются «квазиупругими». Если пренебречь силами трения, уравнение движения по второму закону Ньютона можно записать в виде
или Последнее уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, решением которого будет гармоническая функция В том, что (4) действительно является решение уравнения (3) , легко убедиться путем подстановки (4) в (2): Очевидно, что (5) будет выполняться для любого произвольного момента времени в том случае, если б) Свободные колебания при наличии трения (затухающие колебания)Предположим теперь, что на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению, пропорциональны скорости тел и противоположно направленные, например, силы вязкого трения при малых скоростях движения тела:  .
Дифференциальное уравнение движения с учетом квазиупругих сил можно записать в виде: Введем обозначения: Наличие квазиупругих сил позволяет сделать заключение о том, что тело будет совершать колебательное движение. Но, в отличие от собственных колебаний, энергия колебаний будет уменьшаться, расходуясь на преодоление трения. Следовательно, амплитуда колебаний должна зависеть от времени, постоянно уменьшаясь. Кроме того, силы трения тормозят движение, что должно приводить к уменьшению частоты колебаний. С учетом сказанного решение уравнения (8) можно искать в виде: При таком законе движения скорость тела и ускорение равны: Если (9) является решением уравнения (8), то после подстановки в (8) смещения (9), скорости (10) и ускорения (11) должно получиться тождество:
Очевидно, что тождество будет выполняться для любого произвольного момента времени, если  (13)
и
Из условия (14) следует, что
Интегрируя это выражение, получим  (16)
Постоянную интегрирования можно определить, если известно значение  (17)
Подставив значение постоянной интегрирования в общее решение (16), получим зависимость амплитуды колебаний от времени:  (18)
Если теперь подставить (18) в условие (13), получим  (19)
т. е. в любой момент времени 
откуда значение круговой частоты колебаний определяется выражением:  . (20)
Таким образом, закон колебаний, определяемых уравнением (8), имеет вид  . (21)
Это так называемые затухающие колебания. При затухающих колебаниях амплитуда с течением времени убывает по экспоненциальному закону. В то же время отношение двух последовательных амплитуд, отстоящих друг от друга на один период колебаний, от времени не зависит и остается постоянным:  (22)
Величина  (23)
Для практических расчетов берут обычно абсолютное значение логарифмического декремента: Как видно из (23), показатель затухания Если Как это следует из (20), круговая частота колебаний равна:
В зависимости от величины затухания (коэффициента трения а) В случае сильного затухания б) В случае критического затухания в) Если
При наличии трения в колебательной системе энергия колебаний со временем убывает. Для того, чтобы в системе поддерживались незатухающие колебания, необходимо периодически восполнять потери энергии, т.е. осуществлять периодическое внешнее воздействие на систему. Предположим, что на тело действуют квазиупругая сила  , сила трения  и периодическая внешняя сила  . По второму закону динамики
Вводя прежние обозначения  (25)
Уравнение (25) является линейным неоднородным уравнением (или уравнением с правой частью). Как это следует из теории дифференциальных уравнений, решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений:
Решением однородного уравнения, как было показано выше, является монотонно убывающая со временем функция. Поэтому через достаточно большой промежуток времени первой частью решения по сравнению со второй можно пренебречь и рассматривать только вторую часть решения. Это так называемые установившиеся колебания. Для линейных систем характерно, что если на систему действует внешняя периодическая сила, изменяющаяся с частотой  (26)
Подставив искомое решение  (27)
Равенство (27) будет выполняться для любого произвольного момента времени в том случае, если равны коэффициенты при  (28)
и
Таким образом, Из этих условий можно получить выражения для амплитуды установившихся колебаний и начальной фазы:  (30)
 , (31)
Как видно, и амплитуда, и начальная фаза установившихся колебаний зависят от частоты внешней вынуждающей силы. Из (31) можно заметить, что с ростом частоты Очевидно, что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражение в (31) будет минимальным. Обозначив Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:  (33)
и
Минимальным подкоренное выражение (или максимальной амплитуда) будет в том случае, если производная Вторая производная от подкоренного выражения равна  (35)
Значение этой производной при Учитывая, что в колебательных системах, как правило, Таким образом, резонансная частота равна  (36)
Учитывая это значение, по (30) и (31) находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:  (37)
 (38)
Из (37) и (38) видно, что при отсутствии трения ( Графически зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (амплитудо-частотные характеристики) и сдвига фаз (фазово-частотные характеристики) при различных значениях Важной характеристикой колебательной системы является ее добротность. Добротность системы пропорциональна отношению средней энергии за период колебаний к потерям энергии за тот же период. 
Рис. 2. Фазово-частотные характеристики Для механической колебательной системы ее добротность проще подсчитать как отношение резонансной амплитуды колебаний к смещению под действием постоянной силы, равной амплитудному значению вынуждающей силы  :
 .
Это выражение можно упростить, учитывая, что для колебательных систем  (39)
где
В этом разделе пойдет речь об электрической цепи, состоящей из последовательно соединенного активного сопротивления  , конденсатора  , катушки индуктивности  (рис. 3). Рассматриваемая цепь представляет собой типичную колебательную систему, вследствие чего ее часто называют колебательным контуром.
Рис. 3 Пусть  . (40)
В момент, когда конденсатор полностью разрядится (  .
Несмотря на то, что В результате этого конденсатор Дифференцируя это выражение по времени  (42)
получаем дифференциальное уравнение:  (43)
И если обозначить:  (44)
Это позволяет сделать вывод: в контуре возникают гармонические колебания заряда и силы тока:  (45)
где  (46)
Сравнивая (45) с (7), можно провести аналогию:  (47)
При введении потерь ( Напряжения на отдельных элементах контура равны: Поэтому: т.е.
или:
 (51)
Если сравнивать (51) и (7), то получаем:  (52)
Так как уравнения (51) и (7) с математической точки зрения эквивалентны, отличаются физическим смыслом неизвестных функций, то можно по аналогии с решением уравнения (7) записать решение уравнения (51) (см. табл. 1, рис. 3).  (53)
Таблица 1 Аналогия механических и электрических колебаний и их решений
В соответствии с результатами (21), (53) можно определить критическое сопротивление  :
при котором колебания в контуре становятся апериодическими (рис. 4).
Блок-схема установки представлена на рис. 5: опять рисунок Генератор импульсов (ГИ) позволяет получить имульсы прямоугольной формы, которые возбуждают исследуемый  мГн,  пФ (680 пФ)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Литература
жүктеу/скачать 389 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||
- цепях. Физической моделью для изучения характеристик затухающих колебаний является колебательный контур, в котором периодически возбуждаются колебания.
, (1)
- отклонение материальной точки от положения равновесия (смещение); 
- амплитуда колебаний (максимальное отклонение от положения равновесия); 
- фаза колебаний; 
- начальная фаза (значение фазы для колебаний в момент времени 
); 
- круговая или циклическая частота колебаний.
(2)
(3)
(4)
(5)
. Следовательно, решением уравнения (3) действительно является гармоническая функция (4) с циклической частотой:
(6)
(7)
и 
. С учетом этих обозначений дифференциальное уравнение движения принимает форму:
(9)
(10)
. (11)
(12)
(14)
(15)
:
, определяющая быстроту убывания амплитуды, называется показателем затухания. Натуральный логарифм отношения амплитуд (22) называется логарифмическим декрементом затухания. 
.
, а логарифмический декремент тогда равен: 
. Величина, обратная логарифмическому декременту затухания 
, показывает, какое число полных колебаний совершит тело, пока амплитуда его колебаний уменьшится в 
раз. Действительно, через 
периодов после начала колебаний, т. е. к моменту времени 
амплитуда уменьшится в 
раз:
, амплитуда уменьшается в 
(24)
) возможны различные типы движения.
колебательное движение отсутствует. Тело, выведенное из положения равновесия, лишь постепенно возвращается в это положение. Такое движение обычно называют апериодическими колебаниями.
, т.е. 
.
, т.е. в случае слабого затухания, имеют место затухающие колебания.
, 
, дифференциальное уравнение движения можно записать в виде
, то в системе возникают колебания той же частоты, т.е. вторую часть решения можно искать в виде
и ускорение 
в уравнение (25), получим
и 
в левой и правой частях. Разлагая в правой части (27) 
и приравнивая коэффициенты при 
(29)
будет являться решением дифференциального уравнения движения (25) при выполнении условий (28) и (29).
обращается в нуль. Это 
, амплитуды 
и сдвига фаз между смещением и вынуждающей силой 
.
, запишем условие экстремума подкоренного выражения:
(32)
(34)
, при подстановке корня а) и б) будет положительна.
а при 
, равно 
.
, видим, что максимуму амплитуды соответствует частота вынуждающей силы 
) амплитуда колебаний при резонансе обращается в бесконечность, а сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой равен 
.
. В этом случае добротность равна
- логарифмический декремент затухания.
и конденсатор 
. При этом конденсатор имеет энергию: 
, где 
- заряд конденсатора. Далее конденсатор разряжается и в цепи появляется электрический ток. Вследствие явления самоиндукции ток в 
-цепи достигает максимального значения 
не сразу, а постепенно. При появлении тока возникает переменное магнитное поле, которое порождает вихревое электрическое поле в проводнике. Вихревое электрическое поле порождает индукционный ток, направленный против тока, и препятствует его мгновенному увеличению. По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но возрастает энергия магнитного, которая определяется формулой:
),
, электрический ток не прекращается сразу, опять же вследствие явления самоиндукции. 
.
, т. е. 
. При этом энергия конденсатора равна 
. Затем конденсатор 
. (41)
, учитывая, что:
, то уравнение (43) полностью эквивалентно дифференциальному уравнению гармонического осциллятора:
- собственная частота гармонических колебаний (или период 
) определяется параметрами контура:
) закон сохранения уже не будет выполняться, так как часть энергии будет выделяться в виде джоулева тепла. Для описания такой 
(48)
(49)
(50)
определяются начальными условиями, т.е. выражаются через:
(54)
определить логарифмический декремент затухания, где 
- амплитуды колебаний, отстоящих друг от друга на период 
с другими характеристиками колебаний.