Лекция 1 первое знакомство с maple

Главным достоинством системы Maple является ее способность выполнять арифметические действия. При работе с дробями и корнями они не приводятся в процессе вычисления к десятичному виду, что позволяет избежать ошибок при округлении. При необходимости работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, числовые значения элементарных функций, а также многих специальных функций и констант.

Разработчики других известных математических пакетов, таких как MathCad и MathLab используют символьный процессор Maple в своих программах.

Maple – типичная интегрированная программная система. Она объединяет в себе:

• мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

• современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

• мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

• словарь математических понятий и терминов с алфавитной организацией;

• ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

• численный и символьный программные процессоры;

• систему диагностики;

• библиотеки встроенных и дополнительных функций;

• пакеты расширения как встроенные, так и сторонних производителей;

• средства поддержки некоторых языков программирования и интеграции с широко распространенными программами.

Центральное место в структуре Maple занимает ядро системы, которое состоит из множества заранее откомпилированных функций и процедур, представленных в машинных кодах и обеспечивающих достаточно представительный набор встроенных функций и операторов системы. Спецификой СКА является наличие в ядре множества правил преобразований математических выражений и функций и их определений в символьном виде.

Ядро СКМ тщательно оптимизируется, поскольку от этого зависит скорость вычислений, обеспечиваемых той или иной системой компьютерной математики. Этому способствует и компиляция ядра. Доступ в ядро пользователя для его модификации, как правило, исключен. Объем ядра достигает нескольких мегабайт. Пишется ядро на языке реализации системы – в Maple это язык С.

Основной режим работы в пакете – режим командной строки или интерактивный режим. При загрузке программы автоматически загружается новый рабочий лист (worksheet), на котором есть приглашение для ввода команды >. В командную строку можно записать любое алгебраическое выражение. Если в конце выражения поставить знак ; , то при нажатии клавиши Enter выражение будет обработано программой, а результат выведен на дисплей, например:

>2*3^5-x^2*sin(y-Pi);

486+x²sin(y)

Таким образом, можно получать вычисленные значения выражений, введенных в командную строку, то есть работать с программой, как с калькулятором. Также можно присваивать имена вводимым выражениям при помощи оператора присваивания

>r:=5*sin(y);

Теперь можно вывести предыдущее выражение, записав

>r;

5sin(y)

Определение языка можно разбить на 4 части: символы (characters), высказывания (tokens), синтаксис (syntax) и семантика (semantics) – толкование.

• 
  арифметические операторы +, –, *, /;
  
• 
  знак возведения в степень ^;
  
• 
  5 пар альтернативных символов: ^ – **, [ – (|, ] – |), { – (*, } – *);
  
• 
  : – фиксатор выражения, предотвращающий вывод результата вычисления в ячейку вывода;
  
• 
  ; – фиксатор выражения, дающий вывод результата вычисления в ячейку вывода;
  
• 
  # – указатель программного комментария;
  
• 
  ‘ – ограничитель строки;
  
• 
  := – оператор присваивания;
  
• 
  ;; – пустой оператор;
  
• 
  :: – указатель типа переменной (n::integer или z::complex).
  

Операторы программного языка. Имеются 3 типа операторов (binary, unary, nullary): двуместные (бинарные), одноместные (унарные), и нульарные – не имеющие операндов. Последних всего 3 (ditto–операторы) обращения к предыдущему вычислению (%,%%,%%%)

Высказывания можно разделять пустыми операторами или знаками препинания.

>a*x+x*y; # комментарий

Перейти на новую строку с продолжением записи команды можно, нажав клавиши Shift–Enter.

Функция в выражениях задается вводом ее имени и списка параметров функции (одного или нескольких), заключенного в круглые скобки: например, sqrt(2) задает функцию вычисления квадратного корня с параметром 2 (численной константой). Основным признаком функции является возврат значения в ответ на обращение к ней по имени (идентификатору) с указанием списка параметров функции. Например:

> 2*sin(1.);

1.682941970

> 2*sin(1);

2 sin(1)

Помимо функций, для записи математических выражений используется специальные знаки – операторы. К примеру, вычисление квадратного корня часто записывается с помощью его специального знака — √. Достаточно хорошо известны операторы сложения +, вычитания -, умножения деления / и некоторые другие. Операторы обычно используются с операндами в виде констант или переменных, например в записи 2*(3+4) числа 2, 3 и 4 — это операнды, а знаки * и + — операторы. Скобки используются для изменения порядка выполнения операций. Так, без них 2*3+4=10, тогда как 2*(3+4)=14, поскольку вначале вычисляется выражение в скобках.

Пожалуй, самым распространенным оператором является оператор присваивания :=. Он используется для задания переменным конкретных значений, например:

> х:=у;

> у:=z;

> z:=2;

> х;

> у;

В этом примере переменные х, у и z взаимосвязаны с помощью операций присваивания. Поэтому задание значения 2 переменной z приводит к тому, что и переменные у и х принимают то же значение.

Другой распространенный оператор – оператор равенства = используется для задания равенств и логических условий (например, а=b), указания областей изменения переменных (например, i=1..5 означает формирование диапазона изменения i от 1 до 5) и определения значений параметров в функциях и командах (например, color=black для задания черного цвета у линий графиков).

Операторы сами по себе результат не возвращают. Но они, наряду с функциями и своими параметрами (операндами), позволяют конструировать математические выражения, которые при их вычислении также возвращают результат.

Для оценивания выражений применяются следующие функции:

• 
  eval(array) – возвращает содержимое массива array;
  
• 
  evalf(выражение, n) – вычисляет выражение и возвращает вычисленное значение в форме числа с плавающей точкой, имеющего n цифр после десятичной точки;
  
• 
  evalhf(выражение) – вычисляет выражение и возвращает вычисленное значение с точностью, присущей данной компьютерной системе;
  
• 
  evalm(матричное выражение) – вычисляет значение матричного выражения и возвращает его;
  
• 
  evalb(логическое условие) – вычисляет значение логических условий;
  
• 
  evalc(комплексное выражение) – вычисляет значение комплексного выражения;
  
• 
  shake(выражение, амплитуда) – вычисляет интервальное выражение.
  

> evalf(sin(1));

0.8414709848

> evalb(1<3);

>1,2+3,a-b,sin(1.0);

1, 5, a–b, 0.8414709848

Для автоматического формирования последовательности выражений применим специальный оператор $, после которого можно указывать число выражений или задавать диапазон формирования выражений:

>$1..6;

>(i^2+1)$i=1..5;

2, 5, 10, 17, 26

>V[i]$i=1..5;

0, 0.1997, 0.3973, 0.5910, 0.7788, 0.9589

>seq(f(1),f=[sin,cos,tan]);

sin(1), cos(1), tan(1)

>seq(f(1.0),f=[sin,cos,tan]);

0.8415, 0.5403, 1.5574

• 
  целыми десятичными (0, 1, –123);
  
• 
  рациональными в виде отношений целых чисел (7/9, –123/27);
  
• 
  вещественными с мантиссой и порядком (1.23E5);
  
• 
  комплексными (2+3I). Мнимая единица обозначается I.
  

Десятичная точка в числах имеет особый статус: указание её в любом месте числа, а также в конце, делает число вещественным и ведет к переводу вычислений в режим вычислений с вещественными числами. При этом количеством выводимых после десятичной точки цифр можно управлять с помощью значения системной переменной Digits:

>restart;

>2+3/4;

>2+3*4;

>1.0/3;

>Digits:=3;

>1.0/3;

.333;

>Re(x);

>Im(x);

• 
  false, true – ложно, истинно;
  
• 
  gamma – константа Эйлера, равная 0.5772156649…;
  
• 
  infinity – положительная бесконечность (отрицательная задается как –infinity);
  
• 
  Catalan – константа Каталана, равная 0.915965594…;
  
• 
  I – мнимая единица;
  
• 
  Pi – 3.141….
  

В список не входит основание натурального логарифма – число e. В качестве этой константы можно использовать exp(1). Оно отображается как жирная прямая буква e. А exp(1.0) выводит 2.71828….

type(x,numeric)

позволяет выяснить, является ли x числовой константой. Если да, то функция возвращает логическое значение true, если нет – false.

>type(10,numeric);

>type(Pi,numeric);

>type(x^3,numeric);

Функции

type(x,integer)

type(x,racional)

type(x,fraction)

можно использовать для оценки того, имеет ли x значение целого, рационального числа или простой дроби.

Функции

type(x,constant)

type(x,realcons)

возвращают значение true, если x представляет целочисленную или вещественную константу, и false в противном случае.

>x:=12345;

>b:=convert(x,binary);

>o:=convert(x,octal);

>h:=convert(x,hex);

>`2+2 не всегда ``четыре```;

2+2 не всегда ‘четыре’

Вектора и матрицы. Для создания векторов и матрицы служит функция array:

• 
  array[i1..i2,s1] – возвращает вектор с индексами от i1 до i2 и значениями в одномерном списке s1;
  
• 
  array[i1..i2,j1..j2,s2] – возвращает матрицу с номерами строк от i1 до i2, столбцов от j1 до j2 и значениями в двумерном списке s2.
  

>array(1..3,[x,y,x+y]);

[x, y, x+y]

>array(1..2,1..2,[[a,b],[c,d]]);

Таблицы задают множественные данные с произвольной индексацией. Для создания таблиц служит функция table, которая в простейшем виде table() создает шаблон пустой таблицы:

>table();

table([]);

имя_переменной::тип

Типы переменных:

• 
  integer – целочисленные;
  
• 
  racional – рациональные;
  
• 
  real – вещественные;
  
• 
  complex – комплексные;
  
• 
  float – вещественные с плавающей точкой;
  
• 
  string – строчные;
  
• 
  nonneg – значение >=0.
  

По умолчанию любые переменные рассматриваются как объекты символьного типа. Не требуется предварительное описание переменных. Для присваивания переменным конкретных значений используется оператор присваивания (:=).

Для отмены присваивания значений всем переменным используется команда restart;

>x:=10;

>2*x^2;

>x;

>2*x^2;

Переменные могут иметь определенные признаки, например принимать только положительные значения и т.д. Для придания переменным статуса предполагаемых используется оператор assume:

assume(переменная или выражение, свойство)

>assume(x,positive);

>x;

x

Переменная помечена как положительная и при выводе сопровождается знаком тильды. Для того, чтобы к имеющимся признакам добавить новые, используется функция additionally:

>additionally(a<=0);

Для получения информации о статусе переменной используется функция about:

about(переменная)
1.4. Операторы и операнды
Имеется 5 типов операторов:

• 
  binary – бинарные операторы (с двумя операндами),
  
• 
  unary – унарные операторы (с одним операндом),
  
• 
  nullary – нульарные операторы (без операнда, знаки %),
  
• 
  precedence – операторы старшинства (включая логические операторы),
  
• 
  functional – функциональные операторы.
  

>?operators[тип оператора]

Оператор композиции @@ может использоваться для создания сложных функций, содержащих цепные дроби:

>f:=a->1/(1+a);(f@@3)(a);

Операторы объединения, пересечения и исключения для множеств:

• 
  union – объединение множеств,
  
• 
  intersect – пересечение множеств,
  
• 
  minus – разность множеств.
  

{a, b, c, d, e, f, g}

>{a,a,b,c,c,d}union{e,e,a,d,f,g}

{a, d}

>{a,a,b,c,c,g}minus{c,c,f,g}

{a, b}

Унарные арифметические операторы:

+ – унарный плюс,

! – факториал,

$ – последовательность (префикс),

% – метка (префикс),

– – унарный минус,

. – десятичная точка,

not – логическое отрицание.

evalb(условие)

>evalb(2=2 and 3>1);

true

Специальные типы операторов: неопределенные (f), нейтральные (&), процедурные, функциональные, композиционные (@).

Оператор относится к неопределенным, если он не был заранее определен. Такой оператор не выполняет никаких действий и просто повторяется в строке вывода:

>f(1,2,a);

f(1,2,a)

Функциональные операторы являются альтернативами функций и записываются в форме:

переменная –> результат

Они могут использоваться для реализации подстановок. Например, запись x->x^2 означает подстановку x^2 на место переменной x.

Для создания нейтральных операторов, определенных пользователем, служит знак амперсанда &. Формат задания нейтрального оператора:

&name

Математические функции:

• 
  целочисленные функции и факториал:
  

iquo(a,b) – частное a/b

irem(a,b) – остаток для a/b

Icm(a,b) – наименьшее общее кратное,

igcd(a,b) – наибольший общий делитель;

• 
  тригонометрические функции:
  

csc(x) – косеканс, tan(x) – тангенс, cot(x) – котангенс;

• 
  обратные тригонометрические функции:
  

arcsec(x) – арксеканс, arccsc(x) – арккосеканс,

arctan(x) – арктангенс, arccot(x) – арккотангенс;

• 
  гиперболические функции:
  

cosh(x) – гиперболический косинус,

sech(x) – гиперболический секанс,

csch(x) – гиперболический косеканс,

tanh(x) – гиперболический тангенс,

coth(x) – гиперболический котангенс;

• 
  обратные гиперболические функции:
  

asrcosh(x) – гиперболический арккосинус,

asrsech(x) – гиперболический арксеканс,

asrcsch(x) – гиперболический арккосеканс,

asrtanh(x) – гиперболический арктангенс,

asrcoth(x) – гиперболический арккотангенс;

• 
  алгебраические функции:
  

ilog10(x) – целочисленный десятичный логарифм,

ilog(x) – целочисленный логарифм,

ln(x) –натуральный логарифм,

log[основание](x) – логарифм по заданному основанию,

log10(x) – десятичный логарифм,

sqrt(x) – квадратный корень;

• 
  функции с элементами сравнения:
  

floor(x) – наибольшее целое, меньшее или равное x,

frac(x) – дробная часть числа,

trunc(x) – меньшее целое, округленное в направлении x=0,

round(x) – округленное значение числа,

signum(x) – функция знака;

• 
  функции комплексного аргумента:
  

argument(x) – аргумент комплексного числа,

conjugate(x) – комплексно-сопряженное число,

Im(x) – мнимая часть комплексного числа,

Re(x) – действительная часть комплексного числа,

polar(x) – полярное представление комплексного числа,