Линейное пространство

(Ф.И. Тютчев «Silentium!» 1830 г.)

Линейное пространство обобщает понятие векторного пространства, порожденного, в свою очередь, множеством обычных векторов на плоскости или в пространстве (обычном трехмерном) и действия с ними!

1. Векторы на плоскости или в пространстве. Напомним определение и действия с обычными векторами. Вектором является прямолинейный отрезок АB, имеющий определенную величину – длину отрезка |АB| и опреде­ленное направление – от начальной точки A к конечной точке В.

Часто вектор обозначается одной буквой, например, . В литературе буквы, обоз-

начающие вектор, могут быть набраны полужир­ным шрифтом без стрелки сверху: a. На рисунке вектор изображается отрезком, имеющим длину, равную длине вектора, а направление вектора показывается стрелкой, указывающей на конец вектора:

Мы будем обозначать длину вектора так: , . В литературе встречаются и такие виды записи: AB, a.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарность векторов и будем обозначать так: . Если коллинеарные век­торы имеют одно направление, то мы будем называть их сонаправ-ленными и записывать это так: , в противном случае векторы – противонаправлены, что записывается так: .

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

Отсюда вытекает, что если = то параллельный перенос, переводящий точку A в точку А′, переведет точку B в точку B′, и наоборот.

Вектор , у которого начало и конец совпадают, мы будем называть нулевым, обозначать и считать его направление произвольным. Длина его, конечно, равна нулю. Из определения равенства векторов следует, что все нулевые векторы равны между собой, т.е. нулевой вектор один, что оправдывает запись.

Пример. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Можно легко увидеть из построения, что = , = , = , = , = = = = (проверьте).

2. Линейные операции над векторами. Введем, теперь, две линейные операции: умножение вектора на число и сложение (вычитание) векторов.

| | = | α |∙||,

а направление выбирается так:

, если α ≥ 0 и , если α ≤ 0.

В этом случае мы пишем = α или = α ∙.

Из этого определения сразу следует, что 1∙= , 0∙= и почти сразу, что α∙(β)= (α∙β).

Задача. ||=3. Найдите : и ||=2. Для получения нужной длины, вектор надо умножить либо на , либо на . Ответ: , , причем , а .

В общем случае, получаем связь коллинеарности и умножения вектора на число:

Возьмем произвольный вектор . Тогда

,

причем множитель λ однозначно соответствует вектору ( см. задачу).

Если нам дан вектор ≠ , то из него можно получить сонаправленный единичный вектор (отнормировать), разделив его на длину: .

Введем теперь операцию сложения векторов:



Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, который получается из данных так: начало первого вектора помещают в произвольную точку A, затем начало второго вектора помещают в конец первого - точку B и, наконец, проводят суммарный вектор из точки A в конец второго вектора - точку C , замыкая треугольник ∆ABC. Вектор и есть сумма векторов и :

Легко видеть, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору не меняет последнего, т.е. .

Ясно, что определению сложения соответствует, известное в физике, правило параллелограмма: сумма двух неколлинеарных векторов и представляет собой диагональ

параллелограмма, построенного на этих векторах и , как на сторонах:

Самостоятельно проверяются следующие свойства сложения векторов.

опус­кать и писать просто :

Для доказательства достаточно сослаться на подобие треугольников на рисунке (здесь):

Два вектора всегда параллельны какой-либо плоскости, а боль­шее число - не обязательно. Совместное рассмотрение нескольких векторов приводит к выделению следующей ситуации:

Полезна такая наглядная интерпретация сложения трех векторов, как правило параллелепипеда. Сумма трех некомпланарных векторов , и , приведенных к общему началу A, представляется вектором – диагональю параллелепипеда:

И, наконец, вычитание векторов.

Можно сформулировать, кроме того, геометрическое правило: для того, чтобы из вектора вычесть вектор , надо, приведя их к одному началу, из конца вектора-вычитаемого () провести вектор в конец вектора-уменьшаемого ():

3. Координаты вектора. Напомним, как находятся координаты вектора на плоскости (в пространстве аналогично). Введем единичные векторы , , идущие по направлению координатных осей Ox, Oy, соответственно (и вектор в пространстве по направлению оси Oz). Тогда любой вектор на плоскости однозначно получается сложением векторов, коллинеарных векторам и . Множители у векторов и - коэффициенты в этой сумме и дают искомые координаты. Так, на рисунке вектор .

Полученную пару координат (тройку для пространства) можно писать непосредственно после вектора или вместо него. В итоге, получаем: .

Координаты вектора можно также получать по координатам его начала и конца. Возьмем, для примера, вектор с началом в точке A(-1;3) и концом в точке B(2;1). Из рисунка видно, что (OABP - параллелограмм).


Следствие. Координаты вектора получаются вычитанием из координат конца вектора соответствующих координат его начала (2 - (-1) = 3; 1 – 3 = -2).

Операции сложения векторов и умножения их на числа можно выполнять непосредственно через координаты. Действительно, пусть векторы и заданы через координаты: , . Но тогда и . Следовательно, , т.е. при сложении векторов соответствующие координаты складываются. Аналогично, , т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

4. Векторное пространство . Обобщая запись геометрического вектора через координаты, получаем вектор в n-мерном пространстве . Вектор задается упорядоченным набором n координат (“энок”!):

.

Все n-мерное пространство получится, если в множестве всех векторов-энок задать линейные операции сложения и умножения на число:

Для этих векторов также задаются нулевой вектор , вектор противоположный вектору и разность векторов = + ().

Можно проверить, что для действий с этими векторами выполнены все те же свойства, что и для действий с обычными геометрическими векторами от перестановочности слагаемых до раскрытия скобок по обычным правилам.

Аналогом векторов , и будут энки: , , …, , называемые естественным базисом в . Действительно

и мы получаем полную аналогию получения координат на плоскости геометрического вектора !

Ясно, что при сложении любых векторов из V также получается вектор из V, равно как и при умножении на любое число. Все свойства для действий с векторами из V выполняются автоматически, т.к. они выполнены для векторов из , а . Тем самым, множество V, являющееся подмножеством , можно назвать векторным подпространством векторного пространства .

Множество является подпространством, т.к. при сложении (и умножении на число) векторов из сумма координат остается равной нулю и мы получаем опять вектор из . Напротив, множество подпространством не является, т.к. указанные действия изменяют сумму координат и полученные в результате сложения или умножения на число векторы не попадают в .

5. Линейное пространство. Линейное пространство состоит из элементов – объектов, достаточно разнообразной природы, которые допускают линейные операции: сложение (вычитание) и умножение на число. При этом должны выполняться все указанные выше свойства (перестановочность, раскрытие скобок, наличие нулевого и противоположных элементов). Для того, чтобы отличать элементы от чисел, будем выделять их жирным шрифтом (на письме – надчеркиванием). Так, например, 0 – это число, а 0 – это нулевой элемент: 0∙x = 0 и x + 0 = x, где x – произвольный элемент линейного пространства. Элементами линейного пространства могут быть, например, векторы, матрицы и функции, удовлетворяющие условиям, допускающим возможность сложения и умножения на число.

Примеры.

1. 
   Все векторы в пространстве, параллельные заданной прямой;
   
2. 
   Все векторы в пространстве, параллельные заданной плоскости;
   
3. 
   Векторное пространство ;
   
4. 
   Подпространство в ;
   
5. 
   Функции вида ;
   
6. 
   Многочлены вида ;
   
7. 
   Многочлены , удовлетворяющие условию .
   

Если элемент b является линейной комбинацией элементов , то говорят, что b линейно выражается через эти элементы, разлагается по этим элементам.

следует, что . Если же, напротив, существует линейная комбинация этих элементов равная нулю, у которой не все коэффициенты равны нулю (т.е. среди коэффициентов есть ненулевые), то такая система элементов линейно зависима.