Материя и мышление

Перевод с французского Т. Б. Ворожцовой, А. Р. Логунова

Москва · Ижевск 2004

JEAN-PIERRE CHANGEUX ET ALAIN CONNES

MATIERE A PENSEE

• нефтегазовые технологии

Материя и мышление. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004

Настоящая книга представляет собой фундаментальный труд по основам нелинейной динамики хаотических и стохастических систем. Книга содержит исчерпывающее введение в теорию динамических и стохастических систем и детальный анализ современных результатов, полученных, в основном, авторами. Каждая из глав книги построена таким образом, что может изучаться независимо от других. В частности, каждая глава имеет свой собственный список литературы.

Все это позволяет использовать предлагаемую книгу в качестве учебника для студентов и аспирантов физико-математических специальностей (глава 1), а также специалистам в области нелинейной динамики детерминированных (глава 2) и стохастических (глава 3) систем.

1. Введение...................... ....... 10

2. Пересмотр иерархии наук .................. 13

3. Изобретение или открытие?................. 17

4. Об историческом аспекте математики........... 26

5. Не является ли математика просто языком?....... 30

1. Интеллектуальная аскеза материалиста.......... 33

2. Математический психоанализ................ 38

3. Являются ли математические объекты типичными культурными репрезентациями? ................. 41

4. Математические объекты и дарвинизм .......... 44

5. Вера в математику....................... 47

1. Конструктивистская математика .............. 50

2. Поразительная эффективность математики........ 56

3. Эйнштейн и математика.................... 61

4. Польза от математических моделей в биологии..... 67

5. Квантовая механика: первичный осмотр ......... 74

1. Озарение............................. 85

2. Мозг и многочисленные уровни его организации .... 92

3. Клеточный уровень....................... 99

4. От элементарных систем к мысленным объектам .... 106

5. Нейропсихология математики................ ИЗ

6. Переход с уровня на уровень посредством вариации-селекции ............................. 116

7. Ментальный дарвинизм и математическое творчество . 124

6 ОГЛАВЛЕНИЕ

Дарвин и математики........................ 130

1. Полезность дарвиновской схемы.............. 130

2. Кодирование устойчивых форм............... 134

3. Организация долговременной памяти........... 146

4. Рассуждение по аналогии................... 149

5. Последовательность репрезентаций и рамки мышления 151

6. Естественный отбор среди математических объектов . 154

Мыслящие машины.........................160

1. Разумные машины?.......................160

2. Теорема Гёделя.........................161

3. Мыслящая машина Тьюринга................168

4. Теория 5-матрицы в физике — функционализм в психологии? ..............................171

5. Мозг человека как компьютер................174

6. Машина — страдающая и способная на самооценку . . 177

Вопросы этики............................185

1. В поисках природных обоснований этики.........185

2. Общественная жизнь и лобная доля............190

3. Просоциалъное поведение ребенка и культурный отпечаток ..............................194

4. Функции морали ........................196

5. О морали естественной, рациональной и изменяемой . 198

6. «Распространение сопереживания» и эстетическая функция .................................200

7. Этика и математика ......................207

Математики, в общем, неплохо ладят с биологами. Но они мало говорят друг с другом. Их знания и устремления настолько далеки, что диалог кажется невозможным. И все же игра стоит свеч. Никто не станет отрицать, что математика — продукт мозговой деятельности человека. Однако ни одна из машин, созданных человеком, еще не смогла воспроизвести мыслительные и изобретательные способности нашего мозгового аппарата. Случится ли это когда-нибудь? Возможно ли материальное воплощение искусственного интеллекта? Таков центральный вопрос, поднимаемый в книге.

Прежде чем ответить на этот вопрос, необходимо дать определение математики. Какова природа математических объектов? Существуют ли они независимо от человеческого мозга, который их просто открывает? Или, наоборот, они являются всего лишь продуктом мозговой деятельности и вне мозга не существуют? Благодаря последним достижениям нейронаук — или наук о нервной системе, — заложенные еще «Диалогами» Платона основы пополняются новыми данными.

Математика одинакова и в Париже, и в Москве, и в Сан-Франциско. Однако может ли она стать тем универсальным инструментом, который позволит нам общаться с гипотетическими обитателями других планет?.. Конечно, эффективность, с которой математика описывает окружающий нас мир, такова, что эффективность эту называют порой непостижимой. Но, может быть, это лишь результат эффекта фасцинации¹, который производит на своего создателя — постфактум — созданный им объект? Математик в роли Пигмалиона?

Ответы на эти вопросы большей частью нужно искать в исследованиях организации мозга и его функционирования. Представляя собой, вне всякого сомнения, систему нейронов необычайной сложности, своими исключительными свойствами мозг обязан

^асцинация (психол.) — очарование, привлекательность, притягательность. — Прим. перев.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ

принципам своего строения и элементарным функциям, которые сейчас активно пытаются анализировать анатомы и физиологи, результаты же этого анализа, в свою очередь, призваны вдохновить инженеров на создание в недалеком будущем подобных мозгу машин. Но упомянутые свойства мозга обусловлены также и тем, что мозг по своей природе является эволюционирующей системой. Каждый знаком с теорией Дарвина об эволюции живых видов. Гораздо менее распространена идея о том, что формирование мозга в период внутриутробного развития и после рождения представляет собой все тот же эволюционный процесс, во время которого происходит естественный отбор среди соединений нервных клеток. И этот отбор продолжается при посредстве других эволюционных процессов на более высоких уровнях организации — процессов, которые могли бы объяснить, как развивается мысль или математическое рассуждение, а может быть, и саму работу воображения...

Наконец, развитие как математики, так и нейронаук приводит к тому, что их результаты приобретают с каждым днем все большее социальное значение. Возникают этические проблемы. Не выяснить ли нам прежде, что же это вообще такое — этика? Может ли мораль базироваться на природных основаниях, которые следует искать в функционировании человеческого мозга в социуме? Может ли этика опираться на универсальные принципы, подобные математическим ?

Книга построена в форме диалога. Поставив перед собой все вышеперечисленные вопросы, мы поняли, что ни один из нас не располагает достаточными познаниями в области специализации собеседника, — по крайней мере, достаточными для того, чтобы самостоятельно предлагать какие-то решения. Однако главная причина заключается в том, что диалог позволил каждому из нас яснее изложить свою точку зрения. По некоторым вопросам наши позиции сходятся, по другим — и довольно существенным — вопросам мы не можем прийти к согласию. Вопросы при этом остаются открытыми, что позволяет третьему лицу, читателю, быть свободным в выборе собственной позиции и следить за мыслью, соглашаясь — или не соглашаясь — с любом из собеседников.

Вопросы этики, которыми заканчивается данная работа, представлены в иной форме, нежели первоначальный диалог. Оказалась, что для их рассмотрения необходима некая отстраненность, присущая письменному тексту. Каждый из нас пожелал изложить

ПРЕДИСЛОВИЕ 9

свои краткие размышления в письменном виде, что, возможно, составит прелюдию к будущей работе.

Мы благодарим Кристофа Гиа за предельную тщательность в расшифровке магнитофонных записей и Жана-Люка Фиделя за редактирование окончательного варианта текста. Наконец, мы глубоко признательны Одиль Жакоб за тот интерес, который она с самого начала проявила к такому обмену идеями, и за те условия и удобства, которые она нам создала.

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Прежде чем мы приступим к обсуждению нашего первого важного вопроса о природе математических объектов, я хотел бы попытаться объяснить, что же заставило нас обратиться друг к другу.

Мне видится много точек пересечения биологии и математики. Мои первые встречи с математикой — в лицее и на подготовительных курсах в высшую школу — не были легкими. Биологию же преподаватели систематически обесценивали, подобное отношение мы находим и в работах именитых математиков. Например, Рене Том однажды писал: «развитие биологии не привнесло каких-либо радикальных изменений в то, что касается здоровья и продолжительности жизни» [100, с. 50] и «биологи не нуждаются в теории» [там же, с. 46]. В этом я вижу желание принизить значение биологии, каковое желание можно объяснить естественной склонностью математиков отдавать приоритет быстрому пониманию в ущерб неторопливому размышлению — более обобщающему, более изобретательному, а порой и более глубокому. Моя первая реакция на это была довольно враждебной. Но за ней, несомненно, скрывалось желание внести свой вклад в математику и принять более активное участие в математической жизни.

И только начав исследовательскую работу в области молекулярной биологии, а затем и в нейробиологии, я пришел к достаточно конкретному использованию математического инструментария. В этом отношении потрясающим учителем для меня был Жак Моно. Вместе с ним я смог разработать несколько моделей в молекулярной биологии, связанных, в„ частности, с аллостерическими протеинами [82, с. 88-118], молекулами, отвечающими за регуляцию. В данном конкретном случае математика помогла нам оформить наши идеи и сформулировать количественные предсказания. Сегодня в моей работе нейробиолога математический инструмен-

1. ВВЕДЕНИЕ 11

тарий представляется мне необходимым при построении рациональных моделей функций мозга. Впрочем, сейчас на пересечении науки о нервной системе, психологии и математики начинает развиваться новая область исследований — когнитивные науки или науки о мышлении. Теперь дальнейший прогресс будет зависеть от тесного сотрудничества теоретиков и практиков.

Говоря в общем, интерес к математике пробудила во мне необходимость понять процессы формирования мозга и способы использования им математических объектов, т.е. разобраться в отношениях между математикой и мозгом. Один только этот вопрос служит достаточным обоснованием нашей встречи.

Однако математика играет центральную роль в жизни социума. Для западной культуры характерно в некотором роде мифическое представление о математике: практически трансцендентная вера в ее объяснительную силу, восходящая, возможно, еще к Пифагору. Для многих вполне достаточным «объяснением» может служить описанная в математических терминах синтаксическая структура или отношения родства. Все чаще на практике компьютеры и их приложения отдают математике единую все возрастающую власть. А не вызван ли недавний крах на Уолл-стрит «запрограммированным поведением» компьютеров, которые действовали в интересах по возможности наибольшей «прибыли» своих клиентов? Похоже, компьютер норовит заменить мозг... не обладая при этом его качествами! Эта проблема, второстепенная по отношению к нашей научной деятельности, должна заставить нас задуматься над отношениями математики и этики, задав себе вопрос, возможно ли создать такую универсальную этику человеческих обществ, которая опиралась бы на строгие математические основы. Дополняет ли этот подход исследования нейронных основ этики или кардинально противоположен им? Таковы мои мотивы как биолога. Что скажешь ты?

АЛЕН Конн: Скажу, что к вопросу об отношениях между математикой и мозгом и о природе математических объектов я отношусь с большим энтузиазмом.

Говоря об извечной оппозиции математики и биологии, ты процитировал Рене Тома. Несомненно, это оригинальный ученый. Но, мне кажется, не следует относиться к нему как к выразителю общего мнения всех математиков. Вспомним лучше об Израиле Гельфанде. Его влияние на математику очень велико. А ведь большая часть его научной деятельности связана с биологией.

12 МАТЕМАТИКА и мозг

Больше половины его статей посвящены этой дисциплине, кроме того, он ведет два семинара, один по математике, другой по биологии.

Что же касается меня, то, прочтя твою книгу «Нейронный человек», я понял, что сегодня ученые располагают весьма точными сведениями о функционировании мозга. Особенно меня поразили перцептивные карты, которых у человека гораздо больше, чем у других животных. Эти карты устанавливают связь между сетчаткой и отделами мозга, заведующими разными функциями. Также на меня произвели огромное впечатление опыты Шепарда [93, с. 701-703]. Если попросить испытуемого определить, переходит ли один объект в другой путем вращения в трехмерном пространстве, то время ответа, как показывает эксперимент, пропорционально величине угла необходимого поворота. То есть функционирование мозга подчиняется и законам физики. Однако более важным мне кажется то, что для изучения мозга необходимо выйти за рамки непосредственно биологии. И математика предоставляет для этого самую благоприятную почву из всех возможных. Потому что она абсолютна, универсальна, а значит, независима от всяческих культурных влияний.

Ж.-П. Ш.: То есть ты принимаешь точку зрения...

А. К.: Мне кажется, что способ выражения того или иного понятия на разных языках зависит от весьма неопределенных параметров, поскольку они находятся под влиянием культуры. И напротив, математические объекты — что я и хотел подчеркнуть — обладают гораздо большей определенностью. Они очищены от этой культурной оболочки и должны, таким образом, оказаться более подходящими в смысле понимания функционирования мозга.

Впрочем, мой подход, естественно, небескорыстен. Мне бы хотелось побольше узнать о биологии, чтобы сделать из этого некоторые выводы. Твоя книга заставила меня задуматься о том, каким образом мозг принимает новую теорию или осваивает новый род деятельности, — например, игру в шахматы или на фортепиано. Мне пришлось пересмотреть некоторые из своих вполне оформленных идей об обучении и исправить некоторые неточности. Например, когда математик работает в области, которая не является ни сложной, ни обширной, он вполне может попутно освоить соответствующую технику. Математика очень абстрактна. Математик может решить, что нужную ему технику он уже освоил раз и навсегда, может в любой момент ей воспользоваться, поэтому рабо-

2. ПЕРЕСМОТР ИЕРАРХИИ НАУК 13

тать больше не обязательно. Твоя же книга помогла мне понять, что умения могут локализоваться в каких-то определенных зонах мозга: если система нейронов время от времени не возбуждается употреблением соответствующей техники, она отмирает.

Ж.-П.Ш.: То есть существуют некие материальные следы, образуемые прежним математическим опытом.

А. К.: Точно так. Необходимо время от времени открывать ящички, закрытые давным-давно. Иначе явная бесполезность их содержимого приведет к постепенному разрушению этого самого содержимого.

Ж.-П.Ш.: Я бы хотел, чтобы в нашей дискуссии мы затронули три темы: прежде всего отношения математики с другими науками, далее вопрос о реализме и конструктивизме и, наконец, отношение чисел и опыта.

Что касается статуса математики по отношению к другим наукам, то здесь противопоставляются два положения: Декарта-Лейбница и Дидро. Для первых математика представляет мир в истинном свете и позволяет объединить между собой все науки. Каким бы ни был изучаемый объект, он всегда приведет к математике! Дидро же, несмотря на то, что был близок к таким выдающимся математикам, как д'Аламбер, отвергает это положение. Он утверждает, что математика не дополняет опыт, она лишь «создает завесу между природой и людьми»! Фрэнсис Бэкон еще в 1623 году писал: «... я не знаю, как получается так, что логика и математика, которые должны быть не более чем служанками физики, пусть и гордыми порой своею точностью, непременно желают физикой управлять» [1, с. 103].

А. К.: Многие сейчас склонны — и не без оснований — воспринимать математику как некий язык, необходимый для формализации практически всех остальных наук. Неважно, количественная это формализация или качественная, она всегда должна происходить при помощи математики.

Ж.-П. Ш: Примерно об этом и говорят Декарт и Лейбниц.

А. К.: Да, но они добавляют, что все, в конце концов, приходит к математике. Есть одна история, которую очень хорошо знают физики и которая заставляет задуматься об обратном. У од-

14 МАТЕМАТИКА и мозг

ного физика, приехавшего на конференцию, за неделю накопилось много грязного белья. Он отправился на поиски прачечной. В конце концов, прогуливаясь по центральной улице города, он заметил лавку, на вывеске которой было написано «Бакалея — Булочная — Прачечная». Неся в руке пакет с грязным бельем, физик зашел в лавку и спросил, к какому сроку они смогут выстирать его белье. Хозяин лавки, математик, ответил ему: «Мне очень жаль, но мы не стираем белье». «Как же так, удивился физик, на вашей вывеске написано "прачечная"!» Математик ответил ему: «Мы не стираем... мы вывески продаем!» Физик ушел и выстирал свое белье сам. Как показывает эта история, слова — это еще не все! Физики используют математику как язык, но фактическое содержание их науки не ограничивается одной лишь математикой.

Ж.-П. Ш.: Математика — это язык. Очень строгий, но все же язык, ни больше, ни меньше.

А. К.: Однако физические статьи не ограничиваются одними лишь математическими выражениями. Физические гипотезы часто не имеют четкой формулировки и происходят от так называемой «физической интуиции». Такие гипотезы позволяют физикам, в частности, не учитывать некоторые величины или делать приближения, о которых математику сложно было бы догадаться. К примеру, понадобилось всего лишь двадцать лет (1930-1950), чтобы физики смогли разработать метод перенормировки в теории поля. Суть его заключается в вычислении возмущения, все члены которого, начиная со второго порядка, дают расходящиеся интегралы. Физики [4, с. 339], вдохновленные необычайной точностью экспериментальных результатов, полученных в спектроскопии в конце 40-х годов (тонкая структура спектра испускания атомов) [69, с. 241], безуспешно пытались получить из этих расходящихся интегралов осмысленный конечный результат. Для этого они свели область интегрирования к энергиям порядка гас², где га — масса электрона, а с — скорость света. Благодаря такому ничем не обоснованному усечению, они получили окончательный результат, очень близкий к результатам эксперимента. Эта методика была постепенно усовершенствована· Томонагой, Швингером, Фейнма-ном и Дайсоном вплоть до достижения практически полного согласия с экспериментальными результатами — соответствующую погрешность можно получить, измерив расстояние между Парижем и Нью-Йорком с точностью до толщины человеческого воло-

2. ПЕРЕСМОТР ИЕРАРХИИ НАУК 15

са. Какова же в этом умозаключении роль физической интуиции? Суть механизма перенормировки заключается в том, что в процессе вычислений масса электрона заменяется величиной, которая зависит от значений рассматриваемых энергий, причем расходится, когда эти значения стремятся к бесконечности. Для сравнения возьмем очень простой пример. Вычисление по закону Архимеда ускорения заполненного гелием шара, отрывающегося от земли в момент Т = О, не даст тех результатов, что мы наблюдаем в действительности. На практике присутствие поля окружающего шар воздуха требует при вычислении замены реальной массы шара его эффективной массой, которая значительно больше. Исходя из этого примера, можно предположить, что помещенный в электромагнитное поле электрон обладает эффективной массой, которая существенно отличается от его «реальной» массы — той, что входит в математические уравнения. На основании этого интуитивного предположения физикам удалось разработать метод перенормировки, который, разумеется, получил впоследствии строгую математическую формулировку. Столкнись с той же самой проблемой математики, вряд ли они пришли бы к такому решению. Физическая интуиция позволяет ученым достаточно свободно обращаться с требованиями математической строгости. К примеру, интеграл Фейнмана на данный момент не соответствует никакому математическому объекту, что ничуть не мешает ему являться хлебом насущным для физиков-теоретиков.

И все же было бы неверно думать, что по отношению к физике математика играет лишь роль средства выражения результата. Когда теория находится в стадии разработки, на зачаточном уровне, математика действительно выполняет эту функцию. Но на более поздних этапах, как в случае квантовой механики, решающую роль начинает играть генеративный характер математики. Разве не замечательно, что периодическую таблицу химических элементов Менделеева можно восстановить при помощи уравнения Шредингера и принципа исключения Паули? Вот почему математик думает, что физику можно свести к определенному количеству уравнений. Однако очень часто прийти к этим уравнениям помогает именно интуиция физика.

Ж.-П. Ш.: Ты хочешь сказать, что экспериментальный контекст в физике позволяет создавать математические объекты. Ведь уравнения не падают с ясного неба. Уравнение изначально присутствует в истории отношений физика с объектом исследования.

16 МАТЕМАТИКА и мозг

По мере продвижения физик постепенно разрабатывает математический инструментарий, адаптированный к поставленной задаче.

А. К.: Это еще не все. Математик может преуспеть и в манипуляции объектами, имеющими тот или иной физический смысл. Но если математик не отдает себе полного отчета в том, откуда и как эти объекты взялись, то он может с большой легкостью наделать ошибок, которых физик никогда не совершит. Утверждение о том, что математика предлагает язык, который способен точно описать то, что открывают физики, представляет собой проявление этакого непомерного авторитаризма. Физики неохотно формулируют свои предположения в манере, достаточно точной с математической точки зрения, опасаясь их обеднить. И наоборот, некоторые последние успехи [87] в интерпретации квантовой механики показывают, что попытка математической формализации может помочь избежать парадоксов, часто возникающих вследствие неадекватности используемого физиками языка или недостаточного внимания к собственно логике.

Ж.-П. Ш.: То есть язык математики — язык аутентичный. Но является ли он при этом и единственным?

А. К.: Это единственный универсальный язык. Вне всякого сомнения. Чтобы понять это, вообразим, что нам предстоит вступить в контакт с какой-либо иной разумной формой жизни, обитающей на другой планете и вообще в другой солнечной системе... Что мы должны предпринять? Естественно, те «люди» не говорят ни на одном известном нам языке и, возможно, даже не обитают в кислородно-азотной атмосфере, проводящей звуки нашей речи.

Ж.-П. Ш.: Однако для того, чтобы вступить в общение с ними, необходимо, чтобы их математика была такой же, как наша.

А. К.: В этом я убежден... Я даже думаю, что именно математика и будет в данном случае лучшим средством коммуникации. Мы передадим им последовательность целых чисел, например, от 1 до 1000. Передачу построим следующим образом: сигнал, затем длинная пауза, за ней два сигнала и длинная пауза, потом три сигнала и длинная пауза и т. д. Далее сообщим им правила сложения. Модулировать при этом мы можем только количество сигналов и разделяющий их временной интервал. Например, чтобы передать 3-1-2 = 5, мы должны составить следующее послание: три последовательных сигнала, пауза, два последовательных сигнала, двойная пауза, пять сигналов. Разумеется, очень важно добиться того, чтобы послание не было двусмысленным. Так можно будет

3. ИЗОБРЕТЕНИЕ или ОТКРЫТИЕ? 17

сообщить им таблицу сложения и таблицу умножения в каких-то разумных пределах. Главная сложность заключается в том, чтобы убедиться, что они поняли смысл послания. Для этого можно отправить им, скажем, незаконченный пример на сложение. Вполне может быть, что ответа придется ждать тысячелетиями. И тем не менее, положительный ответ станет неоспоримым доказательством существования иного разума за пределами нашей солнечной системы. Доказательством более основательным, нежели идущие из межзвездного пространства периодические сигналы, — наподобие тех, что очень изумили астрономов, открывших первые пульсары. На более высоком уровне мы могли бы сообщить им начало последовательности, например от 1 до 1000, и попросить их продолжить ряд.

Ж.-П. Ш.: Здесь есть риск очень долго прождать результата. И даже если такая коммуникация состоится, то что это докажет? Ты утверждаешь, что эти «люди» «не говорят ни на одном известном нам языке», и в то же время пользуются той же математикой, что и мы. Боюсь, что с этим я согласиться не могу. По всей видимости, многие фундаментальные процессы в мозге человека не зависят от того, на каком языке он говорит, включая и язык математики. Если наши инопланетяне пользуются «человеческой математикой», то у них должны быть схожие с человеческими мозг и нервная система!