О. В. Ардисламова м. В. Ландарь деньги. Кредит. Банки
Простые и сложные проценты
жүктеу/скачать 2.57 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 13. Дифференцированные и аннуитетные методы начисления платежей
12. Простые и сложные проценты Давая деньги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до момента возврата, поэтому заемщик выплачивает компенсацию за упущенную возможность альтернативного вложения денежных средств, которая обычно выражается в форме процента. Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по установленной процентной ставке с определенной периодичностью, например, раз в месяц, квартал, раз полугодие или ежегодно. Существует два способа начисления процентных выплат: начисление по схеме простого процента и начисление по схеме сложного процента. Рассмотрим вложение 1 000 рублей на банковский вклад сроком на 3 года при ставке 10 % годовых. По прошествии каждого года вкладчик получает процентный доход по вкладу в размере 10 % от суммы вклада. Результаты вложения приведены в таблице 12.1. Таблица 12.1 Начисление простых процентов
За 3 года инвестор получил 100 рублей по окончании первого года, 100 рублей по окончании второго года и 100 рублей по окончании третьего года. В результате в течение всего срока вклада получено 300 рублей процентных платежей. С учетом первоначальной суммы 1000 рублей сумма по вкладу составит 1 300 рублей по окончании 3-х лет. Таким образом простой процент начисляется на одну и ту же первоначальную сумму вклада, т. е. процентные платежи, периодически начисляемые заемщиком, тут же изымаются кредитором, т. е. не реинвестируются Рассмотрим вложение 1000 рублей на банковский депозит сроком на 3 года при ставке 10 % годовых при условии, что владелец НЕ снимает в конце каждого года полученные в качестве процентного дохода 100 руб., а оставляет их на счете. Таблица 12.2 Начисление сложных процентов
Сумма процентных платежей составит в данном случае 331 рубль. По окончании трех лет сумма вклада с учетом процентных платежей составит 1 331 рубль. Таким образом, результаты инвестирования по схеме сложного процента превосходят результаты инвестирования по схеме простого процента на 31 рубль. Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы на счете на начало очередного периода, включающей накопленный доход. Поскольку доход от вклада, периодически начисляемый заемщиком, не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая сумму займа, естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, поэтому кредитор получает большее вознаграждение. При инвестировании свободных средств в различные ценные бумаги инвестор стремится получить максимальную выгоду от своих вложений. Исходя из предположения абсолютной надежности всех способов инвестирования для того, чтобы выбрать наиболее выгодный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы. Однако доходы могут поступать в разное время, таким образом, разные способы инвестирования приводят к разным графикам получения денег. Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение их к одному и тому же моменту времени. Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала инвестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем. Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием или вычислением настоящей (present value) стоимости (текущей, современной стоимости). Вычисление будущей стоимости (future value), т. е. стоимости к фиксированному моменту в будущем называется наращением. Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процента при начислении процентных платежей по схеме простого процента При начислении простого процента мы находим будущую стоимость следующим образом:  , где (12.1)
FV — будущая стоимость, PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения), г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n— число периодов начисления. Выражение (1 + rn) носит название коэффициента наращения. Формула (12.1) используется в том случае, если процентные ставки в течении n лет остаются неизменными. Если ставки меняются, то используется следующая формула:  . (12.2)
Вычисление настоящей стоимости или дисконтирование осуществляется по следующей формуле:  , где (12.3)
FV — будущая стоимость, PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения), г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n — число периодов начисления. Выражение Зная настоящую и будущую стоимость, нетрудно вычислить процентную ставку в периоде начисления.  (12.4)
Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процента при начислении процентных платежей по схеме сложного процента Вернемся к начислению сложного процента, в большей степени присущего природе банковских операций по начислению процентов по депозитным вкладам. При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость по следующей формуле:
PV — текущая стоимость, г —. ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n — число периодов начисления. Выражение (1 + г)" называется коэффициентом наращения. В случае одного периода (n = 1) формулы расчета будущей стоимости по схеме простого и сложного процента совпадают, т. к. в случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и условия заимствования фактически совпадают. Формула (12.5) используется в том случае, если процентные ставки в течении n лет остаются неизменными. Если ставки меняются, то используется следующая формула:
FV — будущая стоимость, PV — текущая стоимость, г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n — число периодов начисления. Выражение Зная настоящую и будущую стоимость можно найти процентную ставку, используя следующую формулу:
Многообразие форм кредитования и инвестирования обуславливает необходимость нахождения критерия наиболее выгодного помещения капитала. Предположим, банк А предлагает 15,5 % ежеквартально, а банк Б 15,2 % ежемесячно. Что выгоднее? Для того чтобы ответить на этот и подобные вопросы, вводится вспомогательное понятие – эффективная процентная ставка. Эффективная годовая процентная ставка – это процент, начисляемый за год лишь один раз и дающий тот же результат, что и сложные проценты с начислением m раз в году.
Таким образом, 15,5 % ежеквартально дает больший годовой доход, чем 15,2 % ежемесячно. 12А. Решите задачи. Задача 1
Вкладчик положил в банк 1 500 000 руб. Банк выплачивает простые проценты по ставке 14 % годовых. Проценты начисляются раз в год. Какая сумма будет на счете у вкладчика через полтора года? Задача 2
По окончании 2-го года на счете клиента банка находится сумма 13 500 200 руб. Начисление процентов в банке происходило по схеме простого процента в конце каждого квартала по ставке 16% годовых. Рассчитайте первоначальную сумму вклада. Задача 3
Вкладчик положил в банк 200 000 руб. в начале 2005 г. Банк начислял простые проценты. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите процентную ставку банка, если в начале 2007 г. на счете вкладчика было 500 000 руб. Задача 4
Вкладчик положил в банк 100 000 руб. в начале 2007 г. Банк выплачивал следующие простые процентные ставки: 2007г. — 16 % годовых; 2008г. — 15 % годовых; 2009 г. — 17 % годовых. В предположении, что вкладчик не снимал процентные платежи со своего счета, определите, какая сумма будет на его счете в начале 2009 г. Задача 5
Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале 2007 г. Банк начислял с периодичностью раз в полгода следующие простые процентные ставки: 2007 г. — 18 % годовых; 2008 г. — 14 % годовых; 2009 г. — 16 % годовых. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите, какую сумму он положил в банк, если на его счете в середине 2009 г. было 550 000 руб. Задача 6
Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале года. Банк начисляя простые проценты, причем за второй год в полтора раза выше, чем за первый, а за третий — в размере 80% от второго. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите процентную ставку за первый год, если в начале четвертого года на счете вкладчика была сумма, в 3 раза превышающая первоначальную. Задача 7
Вкладчик положил в банк 200 000 руб. в начале года. Банк начислял простые проценты в размере 140 % от ставки рефинансирования ЦБ РФ в течение следующего года, 110% от этой ставки в течение второго года и 90% в течение третьего года. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета и ставка рефинансирования не менялась в течение трех лет, определите ставку рефинансирования ЦБ РФ, если в начале третьего года на счете вкладчика было 225 300руб. Задача 8
Вкладчик положил в банк 250 000 руб. Банк выплачивает 12 % годовых. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года. Задача 9
Банк выплачивает 12% годовых. Проценты сложные. Какую сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года у него было не менее 1 600 000 руб. Задача 10 Вкладчик положил в банк 105 300 руб. Банк выплачивает сложные проценты за первый год в размере 15 %, а за второй год — в размере 17 % годовых. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года? Задача 11 Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год на 20% выше, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года его вклад был не менее 800 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 14% годовых. Задача 12 Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 109 580 руб. Какую минимальную процентную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы вкладчик через два года имел на счете 150 000 руб. Задача 13 Банк выплачивает сложные проценты. Какую процентную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы вкладчик утроил свои средства за 4 года. Задача 14 Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 15 000 руб. Сколько лет потребуется вкладчику для того, чтобы его вклад достиг 21 600 руб., если банк выплачивает 20 % годовых. Задача 15 Инвестор разместил на депозит в банке 1 000 000 руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 15% годовых раз в год. По истечении 1-го и 2-го годов инвестор снимал проценты по вкладу наличными, а потом уехал за границу в командировку на 3 года и оставшиеся проценты получил только при закрытии банковского счета. Какую сумму процентных платежей получил инвестор суммарно. Задача 16 Инвестор имеет 1 000 000 руб. вначале 2008 г. Он хочет разместить их с целью получения дохода, так чтобы в начале 2014 г. у него было не менее 2 500 000 руб. для покупки квартиры. Банк А предлагает вклад с начислением 15% раз в полгода. Банк Б предлагает вклад под 18% годовых с начислением процентов раз в год. Проценты сложные. В каком из банков следует разместить свои средства инвестору при прочих равных условиях. Задача 17 По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммы вклада. Найти годовую процентную ставку с учетом реинвестирования полученного дохода. Задача 18 Вам встречается два рекламных объявления. Один банк предлагает 18 % ежеквартально, а другой 17,5 % ежемесячно. Что выгоднее?
Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются по фактическому остатку. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего. Досрочное погашение не ограничено ни по времени, ни по сумме и позволяет существенно сэкономить на выплачиваемых процентах.  , где (13.1)
 - сумма процентов к уплате в периоде i;
 - сумма кредита на начало периода i;
r – годовая процентная ставка по кредиту в долях единицы. Размер дифференцированного платежа рассчитывается по формуле:
n – срок кредитования, лет, m – число периодов начисления в году, t – число периодов начисления, прошедших с даты выдачи кредита. Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но значительно увеличивает общую сумму начисляемых процентов. Наиболее распространенные примеры аннуитетов: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам. Размер ежемесячного аннуитетного платежа рассчитывается по формуле:  , (13.3)
 , где (13.4)
i – месячная процентная ставка (годовая ставка, деленная на 12 месяцев). Можно использовать следующую формулу:  . (13.5)
Величина остатка невыплаченного основного долга на какой-либо период рассчитывается по формуле:  . (13.6)
Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, мы приводим графики погашения кредита в размере 18 000 000 руб., взятого на 25 лет при 16 % годовых. 
Рисунок 13.1 График погашения кредита дифференцированными платежами. 
Рисунок 13.2 График погашения кредита аннуитетными платежами. 
Рисунок 13.3 Сравнительный анализ методов начисления По мнению большинства банкиров, более широкое распространение аннуитета оправданно. При нем суммы выплат равномерно распределяются в течение всего срока кредитования. Таким образом, при том же доходе и размере собственных средств заемщик может получить большую сумму кредита. Это объясняется тем, что при одинаковой сумме кредита размер первого платежа по аннуитету меньше, чем у дифференцированного. А так как банки позволяют заемщику направлять на погашение долга 40-60% от размера их ежемесячного дохода, то и общая сумма кредита, выданного банком по аннуитету, получается большей. Поэтому когда клиент стоит перед выбором: либо получать меньший кредит, но при этом воспользоваться дифференцированным платежом, либо получить большую сумму кредита, то он чаще выбирает второй вариант. Этот вид платежа удобен и с точки зрения планирования расходов заемщика. Выплачивая ежемесячно одинаковые по сумме платежи, клиент может планировать свои расходы на более длительное время, осуществлять финансовое заимствование без увеличения нагрузки на семейный бюджет. При дифференцируемых платежах размер тела кредита распределен равномерно. В результате самые большие выплаты заемщик вносит в начале срока, а дальше сумма снижается, а вместе с ней и сумма выплаты по процентной ставке. Получается, что общая сумма выплат с помощью дифференцированных платежей меньше, чем по аннуитетным, примерно на 7 – 8 %, но, с другой стороны, клиентам сложнее планировать выплаты неравномерных по сумме платежей. Нужно учитывать и высокий уровень инфляции. При дифференцированном платеже заемщик вынужден оплачивать его «дорогими» деньгами, которые с каждым годом обесцениваются. Выплачивая большие суммы сегодня, он теряет возможность использовать эти средства на другие цели, которые оставались бы у него в случае использования аннуитета. Правда, как отмечают многие аналитики, банки больше пекутся не о клиентах, а о собственной прибыли. Им удобнее и выгоднее работать с равными платежами, клиент же, используя аннуитетный платеж, вынужден переплачивать, особенно если речь идет о долгосрочном кредите. Говоря об удобстве для клиентов аннуитетных платежей, банкиры лукавят. Первые годы заемщик выплачивает в основном проценты по кредиту, а они являются основной прибылью банков. Для банков выгодно получать свою прибыль уже в первые годы после выдачи кредита. В этом случае даже при уходе заемщика к конкурентам в рамках программ перекредитования банк остается в выигрыше. Хотя нагрузка на заемщика при дифференцированном платеже действительно выше, чем при аннуитете, но и экономия значительная: «Если клиент возьмет кредит на $ 120 тыс. на 15 лет по ставке 11,75 % в рублях, то при дифференцируемом платеже он заплатит $ 226 тыс., а при аннуитете — $ 256 тыс.». Как уверяют эксперты Независимого бюро ипотечного кредитования, при схожих параметрах кредита аннуитет дороже дифференцированных платежей на 20 – 25 %. В случае дифференцированного платежа потребитель может сэкономить до 15 % при займе на 15 - 20 лет. При более коротких сроках разница в выплатах будет незначительная. Та же ситуация и при досрочном погашении. Взяв кредит на 15 лет и решив выплатить его досрочно по прошествии 10 лет, заемщик, погашающий его при помощи дифференцированных платежей, должен выплатить банку всего одну треть от всей суммы кредита, в случае же с аннуитетом он останется должен банку еще половину. Это объясняется тем, что в первое время большая часть выплат по долгу состоит из оплаты процентов. 13А. Решите задачи. Задача 1
Банк выдал кредит на сумму 40 млн. руб. сроком на 5 лет под 6 % годовых. Начисление процентов производится раз в году. Представьте в таблице и графически графики выплат аннуитетным и дифференцированным методами. Рассчитайте превышение суммы процентных выплат по аннуитетному методу над дифференцированным. Таблица 13.1 Состав дифференцированного платежа
Таблица 13.2 Состав аннуитетного платежа
Задача 2
Сумма выданного кредита 135 700 руб. Срок кредитного договора 1 год. Процентная ставка 11 % годовых. Проценты начисляются ежемесячно. Представьте в таблице и графически графики выплат аннуитетным и дифференцированным методами. Рассчитайте превышение суммы процентных выплат по аннуитетному методу над дифференцированным. Таблица 13.3 Состав дифференцированного платежа
Таблица 13.4 Состав аннуитетного платежа
Задача 3 Сумма выданного кредита и процентная ставка представлены в таблице 13.5. Срок кредитного договора 1 год. Проценты начисляются ежемесячно. Представьте в таблице и графически графики выплат аннуитетным и дифференцированным методами. Рассчитайте превышение суммы процентных выплат по аннуитетному методу над дифференцированным. Таблица 13.5 Задание по вариантам
Задача 4
Сумма выданного кредита, срок кредитного договора и процентная ставка представлены в таблице 13.6. Проценты начисляются ежемесячно. Представьте в таблице и графически графики выплат аннуитетным и дифференцированным методами. Рассчитайте превышение суммы процентных выплат по аннуитетному методу над дифференцированным. Таблица 13.6 Задание по вариантам
жүктеу/скачать 2.57 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
носит название коэффициента дисконтирования.
, где (12.5)
(12.6)
. (12.7)
, (12.8)
, (12.9)
. (12.10)
называется коэффициентом дисконтирования. Очевидно, он равен величине, обратной величине коэффициента наращения. Рассмотрим конкретные примеры вычислений. 
. (12.11)
. (12.12)
А = 16,4244 %,
, где (13.2)