Проблема пятого постулата Евклида и его роль в становлении неевклидовых геометрий

Для построения геометрии достаточно выбрать лишь несколько положений, взяв их непосредственно из практики, и с помощью логических рассуждений получить остальные необходимые рассуждения. Положения следует называть аксиомами, следствия из них теоремами. Древнегреческий геометр Евклид Александрийский является автором труда «Начала», в котором перечисляются аксиомы – положения, которые принимаются без доказательств. Затем в строгом соответствии с правилами формальной логики даются положения, которые следуют из аксиом – теоремы. Некоторые аксиомы Евклид назвал постулатами. Их 5:

• 
  Через две точки можно провести прямую.
  
• 
  Прямую можно продолжить в обе стороны.
  
• 
  Около любой точки произвольным радиусом можно провести окружность.
  
• 
  Все прямые углы равны между собой.
  
• 
  Если две прямые на плоскости в пересечении с третьей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти прямые пересекаются (Другая формулировка: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной).
  

Проблема V постулата была впервые решена профессором Казанского университета, гениальным русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792-1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову геометрию, называемую так же «гиперболической». Независимо от него к тому же открытию пришли Карл Фридрих Гаусс и молодой венгерский математик Я. Бойяи.

Совокупность теорем геометрии, не зависящих от евклидовой аксиомы параллельности, венгерский математик Янош Бойяи назвал «абсолютной» геометрией. Все же остальные теоремы, то есть те, при доказательстве которых мы непосредственно или косвенно основываемся на V постулате, составляет собственно евклидову геометрию.

Два тысячелетия бесплодных усилий и крушений всех попыток (в том числе и своей собственной, основанной на методе доказательства «от противного») доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, то есть из них не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.

Гениальность Лобачевского состояла в том, что в отличие от своих предшественников при получении отрицательных результатов в попытке доказать пятый постулат Евклида не принял его за аксиому, а попытался создать собственную геометрию, такую же непротиворечивую, как и геометрия Евклида. Геометрия Лобачевского как это ни странно наиболее правильно отражает картину мира. Ее связь с геометрией Евклида можно рассматривать как связь теории относительности с классической механикой Ньютона. И механика Ньютона, и геометрия Евклида в полной степени отражают поведение окружающего мира, но не дают ответа на вопрос об устройстве глобального мира, в масштабе Вселенной. Геометрия Евклида является предельным случаем неевклидовой геометрии. С этой точки зрения, аксиомы Евклида и выводимые из них теоремы выражают свойства «идеальных» объектов, которым должны соответствовать предсказуемые экспериментальные факты.

Среди неевклидовых геометрий можно выделить следующие:

• 
  Геометрия Лобачевского, Гаусса, Бойяи. В плоскости через точку А вне прямой а можно провести более 1 прямой, параллельной данной.
  
• 
  Сферическая геометрия. Геометрия на поверхности сферы, основные факты которой были изучены еще в древности, в связи с задачами астрономии. Дело в том, что поверхность Земли представляет собой практически правильную сферу, поэтому необходима была геометрия, обеспечивающая правильность расчетов в условиях искривленных поверхностей.
  
• 
  Геометрия Римана. Основывалась на сферической геометрии. Риман существенно расширил список теорем и аксиом. Геометрия Римана — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана — реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной. В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В частности, в этой геометрии имеется теорема: сумма углов треугольника больше двух прямых. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость.
  
• 
  Модель Пуанкаре. Восходит из плоскости Римана путем стереографической проекции сферы на плоскость.
  

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютизировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства.