Рабочая программа учебной дисциплины ен. Р «Функциональный анализ»

1.5.3 Методические указания студентам

По завершении курса «Функциональный анализ» уровень подготовки студентов должен быть таким, чтобы они умели:

• 
  устанавливать сходимость в нормированных пространствах;
  
• 
  разлагать в ряды Фурье по ортонормированным системам функции из гильбертовых пространств;
  
• 
  оценивать норму линейного оператора для подтверждения его непрерывности;
  
• 
  применять теорему Рисса в сопряженных пространствах для доказательства существования обобщенного решения дифференциального уравнения;
  
• 
  обосновывать введение компактных множеств в бесконечномерных функциональных пространствах;
  
• 
  давать оценки спектрального радиуса дифференциального оператора и находить собственные элементы;
  
• 
  аппроксимировать функции в нормированных пространствах полиномами Чебышева.
  

В предлагаемом учебнике основные понятия функционального анализа увязываются с практическими задачами нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений. Рассматриваются основные функциональные пространства, в которых ищутся классические и обобщенные решения. Особое внимание уделяется гильбертовым пространствам, в частности, пространствам Соболева. Рассматриваются примеры дифференциальных и интегральных операторов, а также методы получения априорных оценок для установления их ограниченности. Приводятся примеры приложения теоремы Хана – Банаха и ее следствий для конкретных функционалов. Указываются методы вычисления спектра линейных дифференциальных операторов. Показывается применение теоремы Рисса для доказательства существования единственного обобщенного решения Задачи Дирихле для эллиптического уравнения.

Методические указания по основным темам целесообразно представить в виде следующей таблицы.

N п\п	Тема	На что обратить внимание (типичные ошибки)	Указания
1	2	3	4
1	Линейные нормированные функциональные пространства	Методы определения норм для множества непрерывных или дифференцируемых функций.	Пояснить разницу между метрическим и нормированным пространствами. Показать на примерах, что нормы в функциональных пространствах могут быть не эквивалентны и последовательность одних и тех же функций может не сходиться в различных нормах.
2	Банаховы и гильбертовы пространства	Разложение элементов пространства в ряд Фурье по ортонормированной системе.	Подробно рассмотреть способы введения скалярного произведения в различных функциональных пространствах и доказательство неравенства треугольника с помощью неравенства Минковского.
3	Пространство линейных операторов	Вычислить норму дифференциального и интегрального оператора	На практических занятиях обратить внимание на различие операторов, действующих в конечномерных и бесконечномерных пространствах.
4	Функционалы и сопряженное пространство	Знать построение функционалов в различных линейных пространствах.	Особое внимание обратить на вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
5	Компактные множества вполне непрерывные операторы	Ошибки при формулировке критериев компактности.	Обратить внимание на способы доказательства компактности равномерно ограниченных множеств дифференцируемых функций.
6	Элементы спектральной теории линейных операторов	Множество собственных значений могжет иметь предельную точку.	Внимательно изучить способы нахождения спектра для дифференциальных и интегральных операторов.
7	Теоремы о неподвижных точках операторов	Примеры сжимающих операторов.	Изучить применение теоремы при доказательстве существования и единственности решения дифференциальных уравнений.
8	Дифференциальные уравнения в Банаховых пространствах	Неверное определение обобщенного решения дифференциального уравнения.	Тщательно разобрать применение теоремы Рисса для доказательства существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле.