Структура корневого подпространства. Жорданова нормальная форма матрицы
жүктеу/скачать 313.5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лемма 1. (О начальном векторе цепочки).
- Доказательство.
- Нахождение начальных векторов цепочки.
- Лемма 2. (О вложенных подпространствах).
- Лемма 3.(О линейной независимости системы (**)).
- Теорема (Жордана) о приведении матрицы оператора к жордановой форме
Структура корневого подпространства. Жорданова нормальная форма матрицы.Ранее была доказано разложении пространства на прямую сумму корневых подпространств: Каков бы ни был линейный оператор  комплексного пространства V, это пространство раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно оператора корневых подпространств.
Выделим одно корневое подпространство Таким образом имеется линейный оператор Пусть для некоторого Def. Пусть  - собственный вектор нильпотентного оператора  , а векторы  удовлетворяют условиям:
 . Тогда они называются 1-ым, 2-ым, …, к-ым присоединёнными к векторами. Векторы  образуют жорданову цепочку с началом .
Замечание. Любой циклический базис состоит из собственного вектора и присоединённых к нему. И обратно – жорданова цепочка образует циклический базис. Лемма 1. (О начальном векторе цепочки). Собственный вектор имеет ровно k присоединённых (т.е. является началом цепочки из k+1 вектора) тогда и только тогда когда  и  .
Доказательство. Необходимость. Пусть - собственный вектор тогда:  и выполняются равенства:
 ⇒  . Кроме того , так как иначе существовал бы (k+1) присоединённый вектор.
Достаточность.  ⇒ - собственный вектор. Так как , то  ,  . Тогда циклический базис  даёт нужную цепочку. #
Нахождение начальных векторов цепочки. Из леммы 1 следует, что подпространства  при i=1,…,(l-1) (l-показатель нильпотентности оператора ) должны играть существенную роль в построении цепочки Жордана. Очевидно, что  - подпространство  .
Лемма 2. (О вложенных подпространствах). Справедливы вложения:
2)  , (*)
l-показатель нильпотентности оператора
Доказательство. Так как  то  . Если l-показатель нильпотентности оператора, то очевидно  т.е.  , поэтому  .
Пояснение: пусть Строим базис в подпространстве  , связанный с (*) :
Затем также из  и т.д. до  включительно. Таким образом, вектор из  может быть включён в базис только если в базис уже дополнен на предыдущем шаге. Получим  вектор  раскладывается по векторам базиса лежащим в .
Тогда получим :  - базис в  (из собственных векторов ) построенный по алгоритму 1-3.
Каждому вектору базиса добавим цепочку присоединенных векторов. Получим в систему векторов:
 (**)
Лемма 3.(О линейной независимости системы (**)). Система (**) линейно независима если собственные векторы линейно независимы.
Доказательство. Индукцией по числу векторов в системе.
Составим линейную комбинацию из векторов (**) и приравняем её нулевому вектору. Подействуем на неё оператором . При этом 
Получаем линейную комбинацию из меньшего числа векторов, по предположению индукции она тривиальная, тогда Таким образом, построен базис в корневом пространстве как объединение циклических базисов. Def. Базис, построенный в лемме 3 называется жордановым базисом корневого подпространства  .
Def. Объединение жордановых базисов всех корневых подпространств называется жордановым базисом в V. Лемма 4. Если - нильпотентный оператор пространства , то распадается в прямую сумму = Ц1  … Цd циклических относительно подпространств. Их число равно размерности d собственного подпространства  .
Доказательство. Жорданов базис корневого подпространства – объединение базисов циклических подпространств.# Лемма 5. Если в комплексном пространстве V задан линейный оператор , то V - прямая сумма инвариантных относительно циклических подпространств. Их число равно общему числу всех цепочек в жордановом базисе пространства V , т.е.  , где  .
Доказательство. Следует из Лемм 1,2,3,4.# Def. Жордановой (верхней) клеткой размера mxm (или порядка m), соответствующей собственному значению  называется квадратная матрица вида   .
Def. Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из диагональных блоков  и нулей вне этих блоков:
Теорема (Жордана) о приведении матрицы оператора к жордановой форме. Для любого линейного оператора комплексного линейного пространства существует базис (жорданов базис) , в котором его матрица имеет жорданову нормальную форму. Теорема Жордана.(Эквивалентная формулировка) Каждая квадратная матрица А порядка n над алгебраически замкнутом поле (в частности над комплексном поле С) приводится к жордановой нормальной форме. Именно, существует невырожденная матрица S, для которой  - матрица, состоящая из диагональных блоков , представляющих собой жордановы клетки.
Доказательство. Жорданов базис пространства V - объединение базисов инвариантных относительно оператора подпространств, дающих в качестве прямой суммы само пространство V. Матрица оператора в таком базисе клеточно-диагональная. Диагональные клетки этой матрицы – матрицы сужений оператора на соответствующих подпространствах. Вид матриц ограничений оператора на циклических подпространствах определяется базисом выбранном в каждом из этих циклических подпространств. Если циклическое подпространство принадлежит корневому подпространству с собственным значением  и натянуто на векторы жордановой цепочки  , то  и по формулам (***) имеем:  .
Столбцы матрицы оператора – это координатные столбцы образов базисных векторов, поэтому матрица сужения оператора Замечание. Жорданов базис не единственен: базис в каждом корневом пространстве выбирается с некоторым произволом, и присоединенные векторы определены не однозначно. Жорданова нормальная форма матрицы оператора определена единственным образом с точностью до порядка расположения клеток на главной диагонали.Утверждение. Размерность корневого подпространства равна кратности его собственного значения в характеристическом многочлене.Доказательство. Все жордановы клетки с одним и тем же собственным значением объединяются в одну большую клетку, соответствующую корневому подпространству. Поэтому кратность собственного значения равна  , если встречается на диагонали раз. #жүктеу/скачать 313.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
и рассмотрим на нём ограничения операторов 
и 
. В дальнейшее индексы опустим.
, причём 
. Разложим 
, где 
- циклические относительно оператора 
и построем циклические базисы, объединение которых даёт базис пространства 
и 
. Обозначим 
. Совокупность векторов 
- циклический базис, причём 
.
и
- некоторые множества, тогда 
#
выбираем какой-нибудь базис.
.
и 
, так кА собственные векторы линейно независимы.#
- жордановой кл. порядка (h+1)#