Решение простейших тригонометрических уравнений

• АЛГЕБРА – 10
• Учитель математики
• МОУ «СОШ № 48»
• Г. Астрахани
• БАКРЕУ Н.Н.

НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

• 1. arccos ½ + arcsin(-√3/2)
• 0
• 2. arccos 0 + arctg 0
• π∕2
• 3. arccos 1 + arcsin 1
• π∕2
• 4. arcctg √3 + arctg (-√3/3)
• 0
• 5. arccos √3/2 + arccos (-√3/2)
• π

Имеют ли смысл выражения?

• 1. arccos (- 5/3)
• нет
• 2. arcsin 1,2
• нет
• 3. arccos √0,2
• да
• 4. arctg 8,3
• да

Найдите значение выражения

• 1. 3arccos (-√3/2) + 3 arcsin (-½) - 6arcctg(-√3/3)
• - 2π
• 2. 2arccos √2/2 + 3 arcsin √3/2 – 4 arctg (-1)
• 5π/2

Проверь себя!

• Найдите значение выражения
• 1. arccos √3/2 + arcsin½
• 2. arccos (-½) + arcsin √3/2
• 3. arcctg (-√3) + arctg(-√3/3)
• 4. 4 arccos(-√2/2) + 6arcsin½ - 6 arcctg (-√3)
• Имеет ли смысл выражение?
• 5. arccos (-1/3)
• 6. arcsin 2,4
• 7. arccos √6
• 8. arcctg 5

• Найдите значение выражения
• 1. arccos 1/2 + arcsin √3/2
• 2. arccos(- √3/2) + arcsin1/2
• 3. arcctg (-√3/3) + arctg(-√3)
• 4. 3 arccos(-1/2) + 6arcsin√3/2 - 3 arcctg (-√3/3)
• Имеет ли смысл выражение?
• 5. arccos (- √5/3)
• 6. arcsin 0,4
• 7. arccos √3
• 8. arctg 2,5

• Предупредительный сигнал об окончании работы

• 15

• Осталось

• секунд!

Проверь себя!

М О Л О Д Ц Ы !

УРАВНЕНИЕ cos t = а

• 1) Если |а| > 1, то уравнение cos t = а не имеет решений, так как | cos t | ≤ 1 для любого t.
• 2) Если |а| ≤ 1, то на отрезке [0;π] существует одно решение уравнения – это число arccos а.
• Косинус четная функция, и, значит, на отрезке [- π;0] уравнение имеет одно решение – число - arccos а.
• Итак, уравнение на отрезке [-π; π] длиной 2π
• имеет два решения: t = ± arccos а. Вследствие периодичности функции имеем:
• t = ± arccos а + 2 πn, n ∊ Z

• t1

• t2

• a

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

• 1. cos t = 1
• t = 2 πn, n ∊ Z
• 2. cos t = - 1
• t = π + 2 πn, n ∊ Z
• 3. cos t = 0
• t = π/2 + πn, n ∊ Z

• (1;0)

• (0;1)

• (-1;1)

• (0;-1)

ПРИМЕРЫ

• 1. cos х = ½
• х = ± arccos 1/2 + 2 πn, n ∊ Z
• х = ± π/3 + 2 πn, n ∊ Z
• 2. cos х = - √3/2
• х = ± arccos (- √3/2 )+ 2 πn, n ∊ Z
• х = ± ( π - arccos √3/2)+ 2πn, n ∊ Z
• х = ± ( π - π/6)+ 2 πn, n ∊ Z
• х = ± 5π/6 + 2πn, n ∊ Z

ПРИМЕРЫ

• 1. cos х = - 0,3
• х = ± arccos (-0,3) + 2 πn, n ∊ Z
• х = ± ( π – arccos0,3) + 2 πn, n ∊ Z
• 2. cos 2х = - 1/2
• 2х = ± arccos (- 1/2 )+ 2 πn, n ∊ Z
• 2х = ± ( π - arccos 1/2)+ 2 πn, n ∊ Z
• 2х = ± ( π - π/3)+ 2 πn, n ∊ Z
• 2х = ± 2π/3 + 2πn, n ∊ Z
• х = ± π/3 + πn, n ∊ Z

Найди правильный ответ!

• cos х = ½ ± π/4 + 2πк
• cos х = 1 ± π/3 + 2πn
• cos х = - √3/2 2πк
• cos х = 0 ± 5π/6 + 2πn
• cos х = √2/2 π/2 + πn
• (сos х - 3)(сos х + 1) = 0 корней нет
• cos х = 2 π + 2πn

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

• 1. cos х = √2/2
• х = ± arccos √2/2 + 2 πn, n ∊ Z
• х = ± π/4 + 2 πn, n ∊ Z
• 2. cos х = - 1/2
• х = ± arccos (- 1/2 )+ 2 πn, n ∊ Z
• х = ± ( π - arccos 1/2)+ 2 πn, n ∊ Z
• х = ± ( π - π/3)+ 2πn, n ∊ Z
• х = ± 2π/3 + 2πn, n ∊ Z

Проверь себя!

• 3. cos х = 3
• Корней нет, так как | cos t | ≤ 1 .
• 4. cos (3х - π/4) = √3/2
• 3х - π/4 = ± arccos √3/2 + 2 πn, n ∊ Z
• 3х - π/4 = ± π/6 + 2 πn, n ∊ Z
• 3х = ± π/6 + π/4 + 2πn, n ∊ Z
• х = ± π/18 + π/12 + 2/3 πn, n ∊ Z

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ

• № 15.14; 15.15 (в)

Домашнее задание

• № 15.5 – 15.14 (а)

• Конец работы!!!

• Спасибо за урок

Литература:

• 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа (1; 2 части)– Москва: Мнемозина, 2008 г.
• Интернет ресурсы:
• http://www.it-n.ru/Attachment.aspx?Id=5305 – Примеры 5-6 класс Савченко Е.М.
• http://www.it-n.ru/Attachment.aspx?Id=13372 – Логунова Л.В. «Прямая пропорциональность», ВиЭкс-М2008.
• http://edu.sochi.ru/ - Учебно-Методический центр г.Сочи.