Сценарий пьесы Действующие лица: Герой

Приложение №1 к статье учителя математики школы №231 Алексеевой М.М.:

«Аксиома «параллельных» и ее место в истории геометрии».

Сценарий пьесы
Действующие лица:

Герой (ученик 7-го класса)

Ведущие: Книга и Тетрадь.

Гаусс;

Лобачевский;

Учащиеся 7-го класса, которые изображают современников различных этапов изучения геометрии. Количество этих учеников зависит от количества детей, которые хотят участвовать в спектакле. Каждый из этих учеников может иметь по нескольку ролей.

В тексте пьесы они отмечены номерами, например, «1».

- Сумма углов в треугольнике меньше 180 градусов.

- Она изменяется при переходе от одного треугольника к другому.

- Не существует ни одного прямоугольника.

- Что за бред? Нас же учили в школе, что сумма углов треугольника равна 180 градусам! Я могу доказать это за пару минут!

Герой берет лист бумаги и доказывает теорему.

Вот произвольный треугольник АВС. Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4, накрест лежащие при пересечении параллельных прямых а и АС, секущей АВ. Углы 3 и 5, накрест лежащие при пересечении параллельных прямых а и АС, секущей ВС.

Поэтому угол 4 равен углу 1, а угол 5 равен углу3.

Сумма углов 4, 2, 5 равна развернутому углу с вершиной В, значит и сумма углов 1,2,3 или А, В, С равна 180-ти градусам.

Есть еще один и более наглядный способ. Возьмем бумагу, нарисуем на ней треугольник. Теперь отрежем у него углы и приложим к прямой. Видно, что получится развернутый угол.

- Обманывают детей! А еще солидная книжка!

- А ты уверен, что твои построения выполнены точно?

- Что линейка у тебя прямая?

- Что через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой?

-Вот и глюки пошли, голоса слышатся. Говорила же мама, что надо меньше за компьютером сидеть и вовремя спать ложиться! Пора отдыхать!

- Что это с нашим хозяином?

- Сумма углов в треугольнике меньше 180 градусов. Понятно! Получил первую информацию о неэвклидовой геометрии и пришел в ужас!

- Кстати, именно так воспринимали геометрию Лобачевского - Бойяи их современники. Очень многим из них эта геометрия казалась бредом: «Русским языком без глаголов» или «возведением сапог в квадраты»!

- Жаль, если наш хозяин уподобится этим людям! Нужно растолковать ему суть проблемы!

- А давай научим его во сне!

- Ты гений! Пусть он спит и видит историю развития геометрии.

- Калды балды, калды дед! Геометрии привет!

- Зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами.

- Поэтому геометрия и переводится как землемерие. «Гео» по-гречески земля, а «метрио» - мерить.

- Древним вавилонянам, египтянам, китайцам и индийцам приходилось размечать земельные участки, делать дороги, строить здания и сооружения, например, храмы и пирамиды.

- Эти народы умели находить площадь поля прямоугольной, треугольной и трапециевидной формы. Умели вычислять объемы куба, параллелепипеда, призмы и пирамиды.

Прямой угол в Египте строили так:

Брали веревку, разделенную узлами на 12 равных частей. Концы веревки связывали и натягивали на три колышка. Получался прямой угол. Такой треугольник со сторонами, пропорциональными числам 3, 4, 5 стали называть Египетским.

2.:

- А еще египтяне получили хорошее приближение числа .

-  - это отношение длинны окружности к ее диаметру и равно приблизительно 3,141…

- У египтян это число равнялось 3,1605. Правда, похоже!

- А вот древние вавилоняне, индийцы и китайцы знали теорему, которую мы называем именем Пифагора.

- Это та, про которую говорят: Пифагоровы штаны во все стороны равны!

- Можно так, но по - научному: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Или проще:

- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

- Эту теорему все знают, ее проходят в 8 классе.

- Итак, подведем итоги.

- Геометрия была для древних набором правил для решения практических задач.

- И лишь постепенно и очень медленно эти задачи начали обобщаться и принимать абстрактные черты.

- Геометрия как наука появилась в Греции, в 6-м веке до нашей эры.

Именно тогда жил Фалес Милетский, один из основателей греческой науки и культуры.

- Он был первым, кто начал доказывать геометрические предложения.

- Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, доказал признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам и теорему своего имени, но о ней в другой раз.

- Фалес превратил древнюю и священную ученость в предмет споров и доказательств. Вскоре геометрия стала почетным занятием, как бы национальным видом спорта, наравне с политикой и Олимпийскими играми.

- Современником Фалеса был великий Пифагор. Он основал, так называемый, пифагорейский союз.

- Члены этого союза занимались научными исследованиями, религиозно-философскими исканиями, политикой.

- Пифагорейцы знали понятие аксиомы и использовали их в своих доказательствах. Они первыми из европейцев доказали теорему Пифагора, достигли больших успехов в изучении пространственных фигур.

- А в 3 веке до нашей эры жил Архимед. Он сумел вычислить площади и объемы многих фигур. Но тогда его работы не получили развития и были повторены лишь в 16-17 веках.

- Ух, ты, какой он был умный!

- В Греции жили и другие ученые, опередившие свое время. Так Аполлоний изучал конические сечения, это линии, которые получаются при пересечении конуса с различными плоскостями. Сделанные им выводы в 17 веке нашли широкое применение в механике и астрономии.

- Да…Планеты летают по эллипсам, а многие кометы по гиперболам и параболам!

- Современником Архимеда и Аполлония был Евклид, который написал книгу «Начала»

- Эта книга не устарела за два тысячелетия!

- О самом Евклиде почти ничего не известно. Неизвестно откуда он был родом, где и у кого учился. Осталось лишь несколько высказываний, которые приписывают Евклиду.

- Однажды царь Египта Птолемей спросил Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем штудирование «Начал»?

- А ученый смело ответил: «В геометрии нет царской дороги!»

- Итак, делаем выводы:

В 6-3 веках до нашей эры геометрия из набора правил для решения конкретных задач превратилась в стройную науку.

- Имена творцов античной математики – Пифагора, Евклида, Архимеда знает каждый. Но попробуйте вспомнить хотя бы одного из европейских математиков Средневековья? Никто не помнит?

- А причина в том, что в Средние века в Европе сформировалась иная, отличная от античной, система ценностей. Помыслы людей обращались к Богу, церкви, самосовершенствованию души.

- И все же в средневековой Европе не забыли полностью о значении математики. Основатель одного из христианских монастырей, Флавий Кассиодор в 7 веке дерзнул представить Бога - Творца в образе геометра!

- Но хотя некоторые книги Евклида были переведены монахом Боэцием с древнегреческого, элементы высокой эллинской науки использовали только землемеры.

- Геометрия Евклида потеряла стройность, доказательства теорем исчезли, а их место заняли ссылки на формы полей - круглое, треугольное, квадратное, и формулы для вычисления их площадей.

- Это мне напоминает геометрию древнего Египта!

- Геометры того времени даже прямую представляли как границу участка, а не как геометрическое понятие. Им было трудно даже представить, что прямая может быть бесконечной!

- Только к 12 веку геометрия начала возрождаться. Появились новые переводы древнегреческих рукописей. Методы решения задач стали отвечать принципам Евклида. Среди геометров того времени наибольшую известность получил Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи. О нем мы еще вспомним в 9 классе.

- Все понятно! В Средние века произошел сначала упадок,

- А потом постепенное возрождение геометрии.

- А теперь давайте посмотрим, как геометрия устроена.

- Рассматривая доказательство некоторой теоремы можно увидеть более простые факты, с помощью которых оно построено.

- В свою очередь, эти факты вытекают из более простых фактов и так далее.

- Выполнив такой анализ для всех теорем геометрии, мы получим список простейших фактов, называемых аксиомами. Они обладают рядом свойств: во-первых, они совершенно очевидны, и потому не требуют доказательств, а во-вторых, из них можно вывести все теоремы геометрии.

- Аксиом достаточно много. Кроме аксиом геометры выделяют основные геометрические понятия - плоскость, прямая, точка.

- Евклид кроме этого разделял аксиомы и постулаты.

Аксиомами он называл истины, относящиеся ко всяким величинам, не только геометрическим. Например, две величины, порознь равные третьей, равны между собой; если к равным прибавить равные, то получим равные.

Книга: показывает плакат:

- Постулаты – это требования геометрического характера, которые нужно принять, чтобы на их основе делать дальнейшие выводы. Этих постулатов у Евклида было пять. Вот их оригинальные формулировки.

- Нужно потребовать:

1. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

Книга:

-Нужно потребовать:

2.Чтобы каждую прямую можно было продолжить неограниченно.

Тетрадь:

- Эту аксиому в Средние века считали неверной!

-Нужно потребовать:

3.Чтобы из любого центра можно было провести окружность любым радиусом.

Тетрадь:

Нужно потребовать:

4.Чтобы все прямые углы были равны между собой.

Книга: показывает плакат:

И вот теперь внимание!

5.Что если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов оказалась меньше двух прямых, то тогда эти прямые при достаточном их продлении пересекались бы и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Тетрадь:

- Или через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая параллельная данной.

- Вот этот постулат и стал причиной болезни нашего хозяина!

И что до 19 века, до Лобачевского никто не задумывался, что в нем собака зарыта?

- Давай послушаем разговор великих геометров Евклида, Гаусса и Лобачевского, пусть они сами прояснят суть вопроса.

- Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 метр друг от друга и провели через них две прямые а и в, так, что а образует с прямой с, которая проходит через заданные точки, угол в 90 градусов, а угол между прямыми в и с равен 89-ти градусам, 59-ти минутам и 59-ти секундам.

- Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов всего на одну угловую секунду меньше 180 градусов. Продолжим прямые а и в, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник, у которого катет АС равен 206 километрам.

- Многовато!

- Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим, например, в астрономических расчетах. Но проверить, что две указанные прямые пересекутся на расстоянии 206 км совсем не просто.

- А что если использовать оптические приборы?

- Но тогда нужно добавить еще один постулат: свет распространяется по прямой!

- А это уже не геометрия, а физика получается!

- А если сумма углов отличается от 180 градусов менее чем на одну угловую секунду?! Как видите, Ваш пятый постулат не так уж прост и убедителен.

- Я еще 23 века назад подозревал, что с пятым постулатом не все просто. Мои коллеги в последующие века стремились либо заменить эту аксиому более простой, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы моих «Начал». Но до 19 века никто не сомневался ни в истинности пятого постулата, ни в том, что моя, Евклидова, геометрия единственно возможная, ни в том, что она описывает реальный физический мир.

- Я занялся теорией «параллельных» в 1792 году. Сначала я надеялся доказать пятый постулат, но затем пришел к мысли о построении новой геометрии, которую назвал неевклидовой. Но я не решился обнародовать свои выводы, понимая, что даже мой авторитет не спасет моей репутации серьезного ученого.

- А я сделал сообщение об открытии такой геометрии 23 февраля 1826 года в Казани.

- Вы очень смелый человек. Помните, как над вами смеялась вся Казань.

- В 1832 году похожие результаты опубликовал венгерский математик Януш Бойаи. Прочитав эго сочинение, я в письме одному из своих учеников назвал венгерского математика «гением первой величины».

- К сожалению, молодой человек, тяжело заболел и прекратил занятия наукой.

- Я слышал, что Вы уважаемый Гаусс, прочитав книгу Лобачевского на немецком языке, в 60 лет столь хорошо выучили русский язык, что смогли свободно прочитать все остальные его работы.

- Да, это так. Я не мог официально поддержать неэвклидову геометрию, но, по моему предложению в 1842 года Лобачевский был избран членом–корреспондентом Геттингенского королевского научного общества, уже тогда имевшего значение академии наук.

- Я был Вам очень благодарен. После вашей смерти были изданы Ваши письма, в которых Вы излагали свои взгляды на неевклидову геометрию и восторженно отзывались о моих сочинениях. Именно эти письма обратили внимание математиков Западной Европы на новую геометрию.

- Как жаль, что Вы уважаемый Лобачевский не дожили до признания своих взглядов.

- Сначала неевклидова геометрия казалась сказкой, в которой описан фантастический мир. Где применяется эта геометрия? Не содержит ли противоречий?

- А в чем собственно ее суть!

- Мы уже говорили о том, что 5 постулат вызывал много споров у геометров.

- Всем хотелось доказать его, как теорему, используя другие постулаты.

- Так вот, я, Гаусс, Бойаи пришли к убеждению, что 5 постулат не является теоремой. И если его заменить другим, например, что через точку можно провести, по крайней мере, две прямые, не пересекающие данную, то можно получить другую непротиворечивую геометрию.

В 60 годах 18 века немецкий математик Риман предложил новый метод построения всех неевклидовых геометрий. При этом он не ограничился случаем трехмерного пространства, а строил геометрии любого числа измерений.

- Интересно отметить, что он построил геометрию, в которой не было параллельных прямых. Эта геометрия похожа на сферическую и ее называют эллиптической.

- В этой геометрии сумма углов треугольника не меньше 180 градусов, как у меня, а больше, а длины прямых ограничены.

Ну и ну!

- Но в связи с новыми геометриями встали и новые вопросы.

Что произойдет если заменить не 5-ый постулат, а другие аксиомы?

Всегда ли при этом будут получаться новые системы геометрии?

И всегда ли они будут непротиворечивы. То есть - в них нельзя будет доказать некоторую теорему и одновременно доказать, что эта теорема не верна?

Евклид:

- Для ответа на эти вопросы ученые вновь обратились к исследованию моей геометрии с тем, чтобы найти все аксиомы, изучить связи между ними, посмотреть, что будет, если отбросить одну или несколько из них или заменить другими.

- Многие математики занимались этой проблемой, но впервые ее удалось решить в 1899 году немецкому математику Давиду Гильберту.

В его книге «Основания геометрии» была изучена первая полная система аксиом геометрии Эвклида, и исследованы вопросы, о которых мы только что говорили.

Лобачевский:

- Это направление исследований привело к созданию современного аксиоматического метода, значение которого трудно переоценить.

- Спасибо многоуважаемым математикам, которые изложили нам историю и суть проблемы, но я не понял, зачем все это нужно, неужели только для развития ума и фантазии.

- Ну, ты даешь! Уже этого достаточно, но если ты настаиваешь, пусть нам покажут некоторые, самые простые применения неевклидовых геометрий.

- Последователь Гаусса, российский математик, немец по происхождению Фердинанд Готлибович Мидинг изучал понятие кривизны.

- Так плоскость имеет нулевую кривизну. Поверхность, кривизна которой постоянна и положительна, может быть наложена на шар. Похожие поверхности изучает геометрия Римана.

- Поверхность с отрицательной кривизной называют псевдосферой. Так вот оказалось, что геометрия Лобачевского справедлива для псевдосферы.

- Тебе ничего не напоминают эти поверхности!

- Конечно, напоминают! Шляпу волшебника, кратеры вулканов, трубы заводов, обтекатели самолетов, да и наша Земля имеет форму, напоминающую сферу.

- Кроме этого геометрия Лобачевского подходит для описания движения лучей света.

- Рассмотрим эксперимент. Представим на земле наблюдателя, который находясь в определенный момент в точке О1, видит звезду А и вблизи от нее Солнце С.

- Наблюдение проводится в небольшой промежуток времени, так что звезду и солнце можно считать неподвижными, а траекторию Земли прямолинейной.

- Если Земля движется по своей орбите с известной скоростью в направлении от О1 к О2, то, пользуясь теоремами евклидовой геометрии, нетрудно определить, в какой момент времени Солнце заслонит от наблюдателя звезду А. Это должно произойти тогда, когда Земля переместится в точку О2.

- Эксперимент, однако, показывает, что звезда А закрывается Солнцем с некоторым опозданием, величина которого хорошо согласуется с предсказаниями теории относительности Эйнштейна.

- Как объяснить это явление? Оказывается, сильное поле тяготения, созданное Солнцем, заставляет лучи света, проходящие вблизи Солнца, вести себя так, как того требует геометрия Лобачевского.

- Лучи как бы искривляются, и наблюдатель видит картину, изображенную на другом рисунке. Находясь в точке О2, наблюдатель видит звезду. И лишь когда наблюдатель переместится в точку О3, солнце закроет звезду А.

- Да, теория относительности Эйнштейна объединила в одно целое изучение физических и геометрических свойств реального мира!

- Смотри, хозяин просыпается!

- Интересно, сработал ли наш метод?

- Сейчас увидим, брось-ка ему книгу!

-Сумма углов в треугольнике меньше 180 градусов.

-Она изменяется при переходе от одного треугольника к другому.

-Не существует ни одного прямоугольника.

-Все понятно речь идет о геометрии Лобачевского.

-Правда, откуда я об этом знаю, ведь в школе мы ее не проходили.

- Ура! Заработало!

- Теперь он знает, что возникновение геометрии как науки далеко не закончилось построением системы евклидовой геометрии. Это было только начало, блестящее продолжение которого осуществилось в 19 веке.

- В настоящее время геометрия представляет большую, широко разветвленную науку, тесно связанную со всеми остальными разделами математики.