Столбцов. Если

жүктеу/скачать 174.12 Kb.

бет	1/6
Дата	22.12.2022
өлшемі	174.12 Kb.
	#467772

1 2 3 4 5 6

ответы

1.1. Основные сведения о матрицах. Действия над матрицами ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m×n называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и n столбцов. Если m ≠ n, то матрицу называют прямоугольной. Если m = n, то матрицу называют квадратной, порядка n. Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. a_ij= b_ij.
Линейные операции над матрицами:
1) Умножение матрицы на число;
2) Сложение матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(a_ij) на число α называется такая матрица B=(b_ij), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число α, т.е. b_ij= α·a_ij. Обозначают: α·A, αA.
Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A, обозначают: –A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) одинакового размера, называется такая матрица C=(c_ij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. c_ij = a_ij + b_ij . Обозначают: A+B
Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B. Обозначают: A–B
Свойства линейных операции над матрицами:
1) A + B = B + A (коммутативность сложения матриц);
2) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц);
3) A + O = A;
4) A + (–A) = O;
5) α ⋅ ( βA) = (α⋅β )A (ассоциативность относительно умножения чисел) ;
6) ( α + β )A = α A + βA (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел);
7) α(A + B) = α A + αB (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц);
8) 1 ⋅ A = A.
Нелинейные операции над матрицами:
1) Умножение двух матриц;
2) Транспонирование матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a_1i) и B=(b_i1) – матрица-строка и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется число c, равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е. c = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁ + a₁₃ · b₃₁ + … + a_1n · b_n1 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a_ij) – матрица размера m × n, B=(b_ij) – матрица размера n × k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(c_ij) размера m × k такая, что каждый ее элемент c_ij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е. c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + a_i3 · b_3j+ … + a_in · b_nj. Обозначают: A ·B, AB. Свойства операции умножения матриц:
1) AE = EA = A , AO = OA = O;
2) (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения матриц) ;
3) (A + B)C = AC + BC ;
4) C(A + B) = CA + CB . – дистрибутивность умножения матриц относительно сложения матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m×n. Матрица размера n×m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается A^Т. Операция нахождения матрицы A^Т называется транспонированием матрицы A. Свойства операции транспонирования матриц 1) (A^Т )^T = A ; 2) (A + B)^T = A^T + B^T ; 3) (αA)^T = αA^T ; 4) (A · B)^T = B^T · A^T

Определители. Основные понятия. Свойства определителей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель – есть числовое выражение матрицы А. Любой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие выражение, которое называется определителем (детерминантом) матрицы А, и обозначается |A| , det А или .
Определитель задается равенством:

n = 1. Определителем матрицы А = (а₁₁) первого порядка называется число:

|A| = а₁₁.
2. n = 2. Определителем матрицы второго порядка называется число:
|A| = a₁₁* a₂₂ - a₁₂* a₂₁.
3. n = 3. Определителем матрицы третьего порядка называется число равное:
|A| = (а₁₁*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*а₃₁+а₁₃*а₂₁*а₃₂)-(а₁₃*а₂₂*а₃₁+а₁₁*а₂₃*а₃₂+а₁₂*а₂₁*а₃₃).
Методы вычисления определителей 3 порядка:
1. Правило «треугольников». Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов, лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов, лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
2. Правило Саррюса. Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия: дописать слева от определителя два первых столбца; перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»; перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
Основные свойства определителей:
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на число k.
3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: |A*B| = |A| * |B|.

Обратная матрица

Матрица B является обратной матрицей к квадратной матрице A, если AB=BA=E. Из определения можно понять, что обратная матрица B будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица A (иначе какое-либо из произведений AB или BA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы A определяется так: A⁻¹. Можно утверждать, что если A⁻¹ существует, то AA⁻¹=A⁻¹A=E. Также легко видеть, что (A⁻¹)⁻¹=A.
Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.
Квадратную матрицу A можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы A равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.
В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.
Формула для вычисления обратной матрицы.
Обратную матрицу A^{− 1} к матрице A можно найти по формуле:
A⁻¹ = 1/ det A ⋅ A^∗ , где
A^∗ - транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.
Данный способ называется способом нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований. Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц: перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы; умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля; прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля. Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований:
1. Из исходной матрицы A и единичной матрицы E того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E).
2. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A⁻¹).
3. Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.

Матричные уравнения.

Матричным уравнением называется уравнение вида:

жүктеу/скачать 174.12 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6