Тақырып Кез келген ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер үшін қойылған Кошидің жалпы есебі және бөлінбеген шеттік есептер

Дифференциалдық теңдеулер туралы ұғым. Жай дифференциалдық теңдеулер. Дифференциалдық теңдеулердің реті. Дифференциалдық теңдеулердің теориясының негізгі есебі. Дифференциалдық теңдеулерді интегралдау. Теңдеулерді элементарлық функциялар түрінде интегралдау. Теңдеулерді квадратурада интегралдау. Теңдеулерді соңына дейін интегралдау.

Жалпы шешім және жалпы интеграл, дербес шешім және дербес интеграл, дифференциалдық теңдеудің ерекше шешімі. Дифференциалдық теңдеулердің интегралдық қисықтары.

Дифференциал бойынша берілген бірінші ретті теңдеулер. Дифференциалдық теңдеудің қалыпты түрі (нормалдық түрі). Туындысы арқылы шешілген бірінші ретті теңдеудің геометриялық кескіні. Бағыттар өрісі. Изоклиналар. Изоклиналар әдісі.

Алғашқы шарт. Коши есебі. Коши есебінің геометриялық мағынасы. Қалыпты түрде берілген бірінші ретті теңдеулер үшін қойылған Коши есебінің шешімінің бар болуы және оның жалғыздығы туралы Пикар теоремасы.

Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін физикалық және қолданбалы есептер. Есептің қойылуы. Шынайы үрдістердің Ддифференциалдық теңдеулер көмегімен математикалық модельдерін құру тууралы.

Қарапайым бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Құрамында белгісіз функция болмайтын теңдеулер. Құрамында тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеу. Дифференциалдық теңдеулердің Коши түріндегі жалпы шешімі. Айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеулер. Айнымалыларды бөлу әдісі. Айнымалылары бөлінетін теңдеулерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер.

х, у айнымалылары бойынша ретті дәрежелі біртекті функциялар. Біртекті функциялардың қасиеттері туралы лемма. Қалыпты түрде және дифференциал арқылы берілген дифференциалдық теңдеулер үшін біртекті теңдеулердің ұғымы.

Біртекті теңдеулерді интегралдау әдісі.

Біртекті теңдеулерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер және оларды интегралдау. Интегралдау әдісінің геометриялық мағынасы. Жалпыланған біртекті теңдеулер және оларды интегралдау әдістері.

Негізгі әдебиеттер: [3], [4], [7].

Қосымша әдебиеттер: [7], [9].

I ретті сызықты Дифференциалдық теңдеулер туралы ұғым. Біртекті және біртекті емес сызықты Дифференциалдық теңдеулер. Регулярлы сызықты теңдеулер. Сингулярлы сызықты теңдеулер. Сызықты сингулярлы теңдеулерді итегралдау әдістері.

I ретті сызықты теңдеу үшін Коши есебінің шешімінің бар болуы және оның жалғыздығы туралы теорема. Біртекті емес сызықты теңдеулердің жалпы шешімі туралы теорема. Біртекті сызықты теңдеулерді интегралдау. Біртекті емес сызықты теңдеулерді интегралдау. Лагранж әдісі. (Тұрақты варияциялау әдісі). Эйлер әдісі. (интегралдық көбейткіш әдісі). Бернулли әдісі (айнымалыны ауыстыру)

Біртекті емес сызықты теңдеулердің бір квадратурада, бір дербес шешімі болғанда, екі квадратурада, екі дербес шешімі белгілі болған жағдайда жалпы шешімін құру туралы теорема.

Сызықты теңдеулерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі. Бернулли теңдеулерінің интегралдау әдістері.

Реккати теңдеуі. Реккатти теңдеуінің бір дербес шешімі, екі дербес шешімдері, үш дербес шешімдері болған жағдайларда жалпы шешімін құру туралы теорема.

Толық дифференциалық теңдеулер. Толық Дифференциалдық теңдеуді интегралдау. Толық Дифференциалдық теңдеулердің қажетті және жеткілікті шарты туралы теорема. Толық Дифференциалдық теңдеуді шешудің алгоритмі. Толық Дифференциалдық теңдеуді қисық сызықты интеграл бойынша интеграллау.

Интегралдық көбейткіш. Интегралдық көбейткішті анықтйтын шарттар. Тек қана х-ке немесе тек қана у-ке тәуелді интегралдық көбейткіштердің бар болу шарттары және оларды табу. Интегралдық көбейткіштің бар болу туралы теорема.

Негізгі әдебиеттер: [3], [4], [7]

Қосымша әдебиеттер: [7], [9].

Дифференциалдық теңдеудің ерекше шешімі бар болған жағдайдағы интегралдық қисықтар тобының геометриялық кескіні. Дифференциалдық теңдеуді ерекше шешімге зерттеу. І ретті дифференциалдық деңдеудің ерекше шешімінің бомау шарты. Берілген теңдеудің ерекше шешімінің бар болу шарты. Дифференциалдық теңлеудің ерекше шешімдерін табу әдісі. Липшиц шарты орындалмайтын нүктелердің геометриялық орыны. Ерекше шешімнің берілген интегралдық қисықтар тобының ораушысы болатын жағдайы. Қисықтардың жанасу шарты. Туындысы бойынша n-ші ретті дифференциалдық теңдеулердің ерекше шешімін табу ережесі. Дискриминанттық қисықтар.

Туындысы арқылы шешілмеген теңдеу. Коши есебі. Толымсыз теңдеулер. Толық теңдеулер.

Соңына дейін интегралданатын туындысы арқылы шешілмеген теңдеулер түрі. Параметр енгізу әдісі. Параметр түріндегі жалпы шешім.

Арнаулы теңдеулер. Лагранж теңдеуі. Лагранж теңдеуін интегралдау алгоритмі. Лагранж теңдеуінің ерекше шешімдері және олардың геометриялық мағынасы. Клеро теңдеуі. Клеро теңдеуін интегралдау. Клеро теңдеуінің жалпы шешімдерінің турі. Клеро теңдеулерінің параметр түріндегі ерекше шешімі. Ерекше шешімнің жалпы шешім құрайтын қисықтар тобының ораушысы ретінде қарастырылуы.

Негізгі әдебиеттер: [3], [4], [7]

Қосымша әдебиеттер. [7], [9].

Тақырып 4. Кез келген ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер үшін алғашқы және шеттік есептердің шешімдерінің түрі.

Алғашқы шарт. Коши есебі. Коши есебінің геометриялық мағынасы. Қалыпты түрдегі n–ші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін қойылған Коши есебінің шешімінің бар болуы және оның жалғыздығы туралы Коши-Пикар теоремасы. Шешімнің бар болатын аралығы.

Теңдеудің ретін төмендету әдістері. Ретін төмендетуге болатын дифференциалдық теңдеулер.

Құрамында айқын түрде белгісіз функция мен оның (n-1) –ші ретті туындысына дейін болмайтын n–ші ретті теңдеу. Құрамында белгісіз функция және оның бірінші ретті туындыларының тізбегі болмайтын n-ші ретті теңдеу. Құрамында тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеу. Белгісіз функция және оның туындылары бойынша біртекті дифференциалдық теңдеу. Барлық аргументтер бойынша біртекті дифференциалы арқылы берілген теңдеу. Жалпыланған n–ші ретті біртекті теңдеу. Сол жағы толық туынды болатын дифференциалдық теңдеулер. Коши формуласы. Квадратурада шешілетін n–ші ретті теңдеулердің түрі.

Негізгі әдебиеттер. [3], [4], [7]

Қосымша әдебиеттер. [7], [9].

n–ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер. Біртекті және біртекті емес сызықты теңдеулер. Сызықты теңдеулердің жалпы қасиеттері.

Біртекті сызықты теңдеулердің жалпы теориясы. Сызықты дифференциалдық оператор және оның қасиеттері. Сызықты теңдеулердің дербес шешімдерінің қасиеттері туралы теорема.

n–ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеудің іргелі (фундаменталды) шешімдер жүйесі. Вронский анықтауышы. Вронский анықтауышының қасиеттері (берілген аралықтағы функциялардың сызықты тәуелділігі және сызықты тәуелсіздігі туралы теоремалар). n–ші ретті біртекті сызықты теңдеудің іргелі шешімдер жүйесінің бар болатындығы туралы теорема. n–ші ретті біртекті сызықты теңдеудің іргелі шешімдер жүйесінің саны туралы теорема. Белгілі іргелі шешімдер жүйесі бойынша n–ші ретті біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешіміш құру туралы теорема. n–ші ретті біртекті сызықты теңдеудің дербес шешімдерінің сызықты тәуелділігі және сызықты тәуелсіздігі туралы теорема. Ортақ іргелі шешімдер жүйесі бар болатын n–ші ретті біртекті сызықты теңдеулер туралы теорема. Теореманың салдары.

Берілген іргелі шешімдер жүйесі бойынша дифференциалдық теңдеу құру туралы есеп. Остроградский-Луивилль формуласы. Екінші ретті біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешімін құру.

n–ші ретті біртекті емес сызықты теңдеудің жалпы шешімі туралы теорема. Лагранж әдісі (тұрақтыларды вариациалау әдісі).

Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты теңдеулер. Сипаттамалық теңдеу. Сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің нақты және әр түрлі болған жағдайы. Түбірлерінің еселі емес комплекс сан болған жағдайы. Түбірлерінің нақты және еселі болған жағдайы. Түбірлері еселі комплекс сан болған жағдайы.

Коэффициенттері тұрақты сызықты теңдеулерге келтірілген дифференциалдық теңдеулер. Эйлер теңдеуі. Эйлер теңдеуін интегралдау әдісі. Жалпыланған Эйлер теңдеуі.

Коэффициенттері тұрақты n–ші ретті біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеулер. Оң жағы функциялар қосындысынан тұратын біртекті емес сызықты теңдеудің дербес шешімдері туралы теорема.

Коэффициенттері тұрақты n–ші ретті біртекті емес сызықты теңдеудің оң жағы арнайы түрде берілген жағдайда дербес шешімдерін табу. Теңдеудің оң жақтары көрсеткіштік функция мен көпмүшеліктің көбейтіндісі жіне тригонометриялық көпмүшелік түрінде берілген жағдайлар. Көрсеткіштік функцияның дәрежесінің коэффициенті сипаттамалық теңдеудің түбірі болатын және болмайтын дербес жағдайларын зерттеу.

Негізгі әдебиеттер. [3], [4], [7]

Қосымша әдебиеттер. [7], [9].

Дифференциалдық теңдеулер жүйесі және олардың шешімі туралы ұғым. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдау есебінің жалпы жағдайы.

Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің дербес шешімі және жалпы шешімі туралы ұғым. Коши түріндегі жалпы шешім. Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің интегралдық қисықтары.

Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің канондық түрі. Коши қалыпты түріндегі теңдеулер жүйесі.

Жоғары ретті теңдеулердің канондық жүйесімен бірінші ретті қалыпты жүйенің эквиваленттілігі туралы лемма. Жоғары ретті туындысы арқылы шешілген n–ші ретті теңдеудің дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесінің дербес жағдайы болатындығы.

Қалыпты теңдеулер жүйесін бір ғана дифференциалдық теңдеуге келтіру туралы есеп.

Қалыпты теңдеулер жүйесі үшін қойылған Коши есебі. Қалыпты теңдеулер жүйесінің шешімінің бар болуы және оның жалғыздығы туралы Пикар теоремасы. Қалыпты теңдеулер жүйесі үшін қойылған Коши есебінің шешімінің бар болуы және оның жалғыздығының жеткілікті шарттары. Шешім бар болуы аралығы.

Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Біртекті және біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі. Жүйенің векторлы матрицалық түрде жазылуы. Сызықты теңдеулер жүйесінің дербес шешімдерінің қасиеттері. Дербес шешімдердің сызықты тәуелділігі және сызықты тәуелсіздігі.

Іргелі шешімдер жүйесі. Вронский анықтауышы. Іргелі шешімдер жүйесінің бар болуы туралы лемма. Іргелі шешімдер жүйесі бойынша біртекті теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін құру туралы теорема.

Жай дифференциалдық теңдеулердің біртекті емес сызықты жүйесі. Біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің жалпы шешімінің құрылымы туралы теорема. Сәйкес біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің белгілі іргелі шешімдер жүйесі бойынша біртекті емес теңдеулер жүйесін интегралдау туралы теорема. Лагранж әдісі (тұрақтыларды вариациялау әдісі).

Коэффициенттері тұрақты сызықты теңдеулер жүйесі. Белгісіздерді біртіндеп жою арқылы дифференциалдық теңдеулер жүйесін жоғары ретті бір белгісізді теңдеуге келтіру әдісі. Коэффициенттері тұрақты іртекті сызықты теңдеулер жүйесін интегралдау. Эйлер әдісі. Сипаттамалық теңдеу.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің нақты және әр түрлі болған жағдайы. Сипаттамалық теңдеудің анықтауышының минорларына қарапайым түбірді қойғандағы жағдай туралы лемма. Сипаттамалық теңдеудің жай түбірлеріне сәйкес теңдеулер жүйесінің коэффициенттер матрицасының меншікті векторлары. Сипаттамалық теңдеудің жай түбірлері болған жағдайда дербес шешімдердің сызықты тәуелсіз болуы туралы лемма. Сипаттамалық теңдеудің түбірлері нақтылы жай сандар болғанда коэффициенттері тұрақты сызықты теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін құру.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлері әр түрлі және олардың арасында комплекс түбірлері бар болған жағдай. Біртекті теңдеулер жүйесінің кез келген комплекс шешімінің нақты және жорамал бөліктері туралы лемма. Біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің іргелі шешімдер жүйесін табу. Осы жағдайда жүйенің жалпы шешімін құру.

Сипаттамалық теңдеудің еселі түбірлері болған жағдай. Сипаттамалық теңдеудің анықтауышына еселі түбірді қойған жағдайдағы оның минорлары туралы лемма. Біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің іргелі шешімдер жүйесін табу. Жалпы шешімін құру.

Коэффициенттері тұрақты біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің жалпы шешімінің құрылымы туралы лемма. Коэффициенттері тұрақты біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесінің оң жағы арнайы түрде берілген жағдай. Оң жағы көрсеткіштік функция мен тригонометриялық көпмүшелік түрінде берілген жағдай. Көрсеткіштік функцияның дәрежесінің коэффициенті сипаттамалық теңдеудің түбірі болатын және болмайтын жағдайлар.

Негізгі әдебиеттер. [3], [4], [7]

Қосымша әдебиеттер.[3], [7], [9].

Тақырып 7. Эллипстік, параболалық және гиперболалық типті теңдеулердің жалпы теориясынан кейбір мәліметтер.

Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер. Сызықты дифференциалдық теңдеулер. Жоғарғы ретті туындылар бойыша сызықты теңдеулер. Квазисызықты теңдеулер. Коэффиценті тұрақты теңдеулер. Дифференциалдық теңдеудің сыпаттамалық теңдеуі. Меншікті мәндер. Сипаттамалық беттер мен сызықтар. Екінші ретті дебес туындылы теңдеулерді сыныптау. Дербес туындылы теңдеудің канондық түрі. Екі айнымалының екінші ретті дербес туындылы теңдеулерін канондық түрге келтіру. Екі айнымалының екінші ретті дербес туындылы теңдеулерінің канондык түрлері.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[4], [5], [8], [11].

Коши есебінің қойылуы. Нүктенің маңайында аналитикалық болатын функциялар. Нүктенің маңайында аналитикалық функцияға мажорантты функциялар. Дербес туынды жүйесі үшін С.Ковалевская теормасы. Ковалевская теоремасын дәлелдеу схемасы.

Екінші ретті сызықты дербес туынды біріші ретті сызықты теңдеулер жүйесіне келтіру. Коши есебін жалпылау. Коши есебінің қисынды қойылуы.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[3],[4], [5], [8], [11].

Тақырып 9. Жүктелген интегралдық және дифференциалдық теңдеулер және оларды шешу әдістері.

Біртекті емес шектің аз шамаға көлденең тербелісінің теңдеуі. Біртекті шектің еріксіз тербелісінің теңдеуі. Біртекті шектің еркін тербелістерінің теңдеуі. Жылдамдыққа пропорционал үйкеліс әсер ететін тербелістер теңдеуі. Мембрананың тербелісінің теңдеуі. Үш өлшемді толқындық теңдеулер. Шекаралық және алғашқы шарттар.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[4], [5], [6], [8], [11].

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[4], [5], [8], [10], [11].

Тақырып 11. Шектеулі элементтер әдісі.

Нүктеде орналасқан массасы бірлік өлшемді (зарядта) өрістің потенциалы. Көлемдік потенциал. Күш өрісінің потенциалы. Жазықтық есебі. Логарифмдік потенцал. Кеңістік потенциалдары. Жай қабаттың потенциалы. Екі қабатты потенциал. Екі қабатты потенциалдың үзілістері. Жай қабатты потенциалдың қасиеттері. Кеңістіктік потенциалдарды шектік есептерді шешуге қолдану: дөңгелек үшін бірінші шектік есеп, жалпы кеңістік үшін бірінші шектік есеп.

Лаплас теңдеуі үшін ағын көзінің функциясы. Оның негізгі қасиеттері. Кеңістіктегі Лаплас теңдеуінің ілгері шешімі. Жахықтықтағы лаплас теңдеуінің ілгері шешімі. Сфера үшін ағын көзінің функциясы. Сфера үшін Пуассон интегралы. Дөңгелек үшін ағын көзінің функциясы.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[4], [5], [8], [11].

Тақырып 12. Математикалық физмканың сызықты есептерін шешу үшін сандық және жуықтап есептеу әдістерін қолдану.

Жылудың таралуы туралы сызықты есеп. Фурье заңы. Жылуөткізгіштік теңдеуін қорыту. Жылу көзі жоқ болғандағы біртекті стерженьде жылудың таралуы. Диффузия теңдеуі. Кеңістікте жылудың таралуы. Шеттік есептердің қойылуы. Ең үлен мән, яғни максимум мәннің принципі. Шешімнің жалғыздығы және орнықтылығы туралы теорема.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1], [2], [3], [4], [5], [8], [11].

Лаплас пен Пуассаның теңдеулері. Гармоникалық функциялар. Стационарлы жылулық өрісі . Шеттік есептердің қийылуы. Дирихле есебі. Нейман есебі. Лаплас теңдеуіне келтірілген физикалық есептер. Кеңістіктегі Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі. Жазықтықтағы Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі. Лаплас теңдеуі үшін Дирихленің ішкі есебінің қойылуы. Шешімнің жалғыздығы туралы теорема. Бірінші шекаралық есептің шешімінің шекералық шартттардан үздіксіз тәуәлділігі. Лаплас теңдеуі үшін Нейманның ішкі есебінің қойылуы. Шешімдердің жалғыз еместігі туралы теорема. Сыртқы шеттік есептер.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[2], [4], [5], [8], [11].

Скалярлық аргументтің векторлық функциясы. Годограф. Скалярлық және векторлық өрістер. скалярлық өрістің деңгейлік беті. Бағыт бойынша туынды. Векторлық өрістің дербес жағдайлары. Стационарлы векторлық өріс.

Функцияның градиенті. Скалярлық өрістің деңгейлік беттерімен функцияның градиентінің арасындағы байланыстар. Градиенттің қасиеттері. Бет арқылы өтетін векторлар ағыны. Ағын көздері мен құйылу нүктелері. Векторлық өрістің дивергенциясы. Дивергецияның қасиеттері. Тұйық контор бойынша вектордың айналымы (циркуляция). Векторлық өрістің роторы немесе набла – вектор. Гамильтон операторы мен жұмыс істеу ережесі . Екінші реттік векторлық Дифференциалдық амалдар.

Қисық сызықты интеграл және оларды есептеу. Тұйық контур бойынша алынған интегралдар. Қисық интегралдардың қасиеттері. Грин формуласы. Интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздігі.

Бірінші текті қисық сызықты интегралдау және оны есептеу ережесі. Бет арқылы өтетін сұйықтар ағыны. Беттің ауданға алынған интегралдар. Беттік интегралдарды есептеу. Стокс формуласы. Остроградский – Гаусс теоремасы.

Қисық сызықты координаталар. Координаталық беттер. Координаталық сызықтар. Цилиндрлік координаталар. Сфералық координаталар. Қисықсызықты координаталардың ортогональ жүйесі. Векторлық сызықтардың дифференциалдық теңдеулері. Ортогоналды координаталарымен берілген градиент. Ортогоналды координаталарымен берілген ротор. Ортогоналды координаталарымен берілген дивергенция. Ортогоналды координаталарымен берілген Лаплас операторы.

Грин формуласы. Шешімнің интегралды түрде берілуі. Гармоникалық функциялардың негізгі қасиеттері.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[4], [5], [8], [11].

Тақырып 15. Гидродинамикалық есептерді сандық әдістермен шешу.

Штурм – Лиувилль есебі. Меншікті мәндер және меншікті функциялар. Штурм – Лиувилль есептерінің спектірі. Меншікті мәндерімен меншікті функциялардың қасиеттері. Фурье әдісінің жалпы схемасы. Интегралдау шектері шектелген интегралдық түрлендіру әдісі (берілген біртекті шекаралық шарттары берілген біртекті емес теңдеулер). Біртекті емес теңдеулерді біртекті емес шекаралық шарттары бойынша интегралдау әдістері.

Негізгі әдебиеттер: [1], [2], [5], [6]

Қосымша әдебиеттер: [1],[4], [5], [8], [11].

Негізгі әдебиеттер

1. 
   Владимиров В.С. Уравнения математической физики – М.: Нука, 1988, - 512с.
   
2. 
   Михмен С.Г. Курс математической физики. – СПб.: Питер, изд-во «Лань», 2002, - 576с.
   
3. 
   Петровскмй И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: изд-во МГУ, 1984, - 296с.
   
4. 
   Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974, - 332с.
   
5. 
   Положий Г.Н. Уравнения математической физики. – М.:Высшая школа, 1964, - 560с.
   
6. 
   Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: изд-во МГУ, 1999, - 798с.
   
7. 
   Эльцгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1969, - 424с.
   

Қосымша әдебиеттер

1. 
   Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в Maple. – СПб.: Питер, 2004, - 539с.
   
2. 
   Демидович Д.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М: изд-во Физ.-Мат. Лит., 1962, - 367с.
   
3. 
   Демидович Д.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М: Наука, 1967,-472с.
   
4. 
   Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М: Наука,1967
   
5. 
   Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения элиптического типа. – М: Наука,1967
   
6. 
   Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. –М: Высшая школа, 1995. -301с.
   
7. 
   Самойленко А.Н. и другие. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. –М.: Высшая школа, 1989, -383с.
   
8. 
   Соболев С.Л. Некоторые прменеия функциональнога анализа в математической физике. – М.: Наука, 1928,-334с.
   
9. 
   Мұхтаров М., Дифференциалдық теңдеулер бойынша дәрістер. – Павлодар, Кереку, 2010, -394б.
   
10. 
    Мұхтаров М. Вариациялық есептеу. - Павлодар, Кереку, 2012, -174б.
    
11. 
    Рамазанов М.И., Мұхтаров М., Әділбек Н. Математикалық физиканың негізгі теңдеулері. – Қарағанды, ҚарМУ баспасы, 2009, -324б.