Теорема о сумме внутренних углов треугольника

1. 
   Геометрия. Планиметрия. Основные понятия планиметрии (точка, прямая, плоскость). Обозначение и начертание основных понятий планиметрии. Что такое определение.
   
2. 
   Теорема о сумме внутренних углов треугольника (с доказательством).
   

Билет 2.

1. 
   Определение треугольника, обозначение треугольника. Элементы треугольника и их обозначение (вершины, стороны). Виды треугольников по сторонам, по углам (равнобедр., равносторонний, разносторонний, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный).
   
2. 
   Теорема о величине вписанного в окружность угла (с доказательством).
   

Билет 3.

1. 
   Линии в треугольнике (медиана, биссектриса, высота). Определение, чертежи.
   
2. 
   Признаки параллельности прямых. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
   

Билет 4.

1. 
   Угол. Биссектриса угла. Равные углы. Виды углов (острый, тупой, прямой, развёрнутый). Определение, обозначение, чертежи.
   
2. 
   Признаки параллельности прямых. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.
   

Билет 5.

1. 
   Аксиомы и теоремы в геометрии (что такое аксиома, что такое теорема). Аксиомы принадлежности (первая группа аксиом).
   
2. 
   Прямоугольный треугольник. Катеты и гипотенуза. Теорема о величине катета, лежащего напротив угла в 30º (с доказательством).
   

Билет 6.

1. 
   Отрезок. Равные отрезки. Луч. Дополнительные лучи. Полуплоскость. Определения, обозначения, чертежи.
   
2. 
   Признаки равенства треугольников. Перечислить все признаки. Доказать третий признак.
   

Билет 7.

1. 
   Аксиомы и теоремы в геометрии (что такое аксиома, что такое теорема). Аксиомы порядка (вторая группа аксиом).
   
2. 
   Определение равнобедренного треугольника. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию (с доказательством).
   

Билет 8.

1. 
   Равенство фигур. Определение равных отрезков. Нахождение длины отрезка. Аксиомы измерения отрезков (третья группа аксиом).
   
2. 
   Центральный угол (определение). Доказать, что если равны два центральных угла окружности, то равны и соответствующие им дуги.
   

Билет 9.

1. 
   Угол. Определение и обозначение. Аксиомы третьей и четвёртой групп.
   
2. 
   Теорема о диаметре окружности, разделяющем хорду пополам (с доказательством).
   

Билет 10.

1. 
   Окружность и её элементы. Определение окружности. Центр. Радиус. Дуга. Хорда. Диаметр. Полуокружность. Чертежи.
   
2. 
   Внешний угол треугольника, определение. Доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
   

1. 
   Параллельные прямые: определение, обозначение, чертёж. Аксиома параллельности. Признаки параллельности прямых (без доказательства).
   
2. 
   Вертикальные углы (определение, чертеж). Свойство вертикальных углов (с доказательством).
   

Билет 12.

1. 
   Треугольник (определение). Внутренние и внешние углы треугольника. Свойства внутренних и внешних углов треугольника (без доказательства).
   
2. 
   Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
   

Билет 13.

1. 
   Взаимное расположение двух окружностей. Чертежи, объяснение. Внутреннее и внешнее касание, концентрические окружности.
   
2. 
   Определение параллельных прямых. Доказать, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то пересекает и вторую.
   

Билет 14.

1. 
   Построение треугольника по трём сторонам при помощи циркуля и линейки.
   
2. 
   Теорема о касательной к окружности и радиусе, проведённом в точку касания (с доказательством).
   

Билет 15.

1. 
   Секущая прямая - определение. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей: внутренние и внешние односторонние, соответственные, накрест лежащие.
   
2. 
   Теорема о хордах окружности, равноудалённых от центра (с доказательством).
   

Билет 16.

1. 
   Центральный угол. Вписанный угол. Определения. Чертежи. Величина центрального угла. Величина вписанного угла (без доказательства).
   
2. 
   Доказать, что если каждая из двух параллельных прямых параллельна третьей прямой, то они взаимно параллельны.
   

Билет 17.

1. 
   Построение прямой, перпендикулярной данной, при помощи циркуля и линейки.
   
2. 
   Смежные углы (определение, чертеж). Свойство смежных углов (с доказательством).
   

Билет 18.

1. 
   Окружность, вписанная в треугольник. Определение. Чертёж. Центр вписанной окружности.
   
2. 
   Следствия из теоремы о внутренних углах треугольника (5 следствий, стр. 48). Доказательство любого из них.
   

Билет 19.

1. 
   Построение угла, равного данному при помощи циркуля и линейки.
   
2. 
   Признаки равенства треугольников. Доказательство первого признака.
   

Билет 20.

1. 
   Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними при помощи циркуля и линейки.
   
2. 
   Признаки равенства треугольников. Доказательство второго признака.
   

Билет 21.

1. 
   Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам при помощи циркуля и линейки.
   
2. 
   Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.
   

Билет 22.

1. 
   Построение серединного перпендикуляра к отрезку при помощи циркуля и линейки.
   
2. 
   Неравенство треугольника (с доказательством).
   

Билет 23.

1. 
   Построение середины отрезка при помощи циркуля и линейки.
   
2. 
   Соотношение между углами и сторонами треугольника: доказать, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Сформулировать обратную теорему.
   

Билет 24.

1. 
   Взаимное расположение двух окружностей. Чертежи, объяснение. Внутреннее и внешнее касание, концентрические окружности.
   
2. 
   Доказать, что в треугольнике не может быть больше одного тупого (прямого) угла.
   

Билет 25.

1. 
   Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности. Секущая. Определения. Чертежи.
   
2. 
   Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Доказать признак равнобедренного треугольника: если два угла треугольника равны, то он является равнобедренным.
   

Билет 26.

1. 
   Перпендикуляр и наклонная. Проекция. Расстояние между точкой и прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Определения и чертежи.
   
2. 
   Вписанный в окружность угол. Теорема о величине вписанного угла, опирающегося на полуокружность (с доказательством).
   

Билет 27.

1. 
   Построение биссектрисы угла при помощи циркуля и линейки
   
2. 
   Доказать, что если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй прямой.
   

Билет 28.

1. 
   Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников (без доказательства).
   
2. 
   Доказать, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной из точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе образовавшегося угла.
   

Билет 29.

1. 
   Окружность, описанная около треугольника. Чертёж. Центр описанной окружности.
   
2. 
   Доказать, что через любую точку прямой можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную к данной (стр. 60, теорема 3).
   

Билет 30.

1. 
   Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза. Свойства прямоугольных треугольников (без доказательства).
   
2. 
   Доказать, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную к данной, причём только одну (стр. 60, теорема 4).