Уроки н. И. Лобачевского, или Размышления о взаимосвязях математики и философии, о проблемах образования и преимуществах провинциальной науки Владимир курашов

профессор, доктор филос. наук, канд. хим. наук¹

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) всю сознательную жизнь от учащегося Казанской гимназии до ректора Казанского императорского университета прожил в Казани, вдалеке от государственных и научных столиц и сложившихся научных школ. Заслуга Лобачевского заключается главным образом в том, что до него не было найдено строгих и убедительных обоснований статуса пятого постулата геометрии Евклида, т.е. постулата о параллельных линиях.

Оставалось неясным, является ли постулат независимой аксиомой, необходимой для полноты геометрии Евклида, или он есть следствие первых четырех постулатов геометрии Евклида.

Созданием новой, неевклидовой, геометрии Лобачевский показал, что пятый постулат необходим для полноты геометрии, а вместе с этим и то, что непротиворечивая теоретическая система, в данном случае геометрия, может быть дедуктивно построена на одних только аксиомах без дополнительных положений с нестрогим статусом.

В этом принципиальный прорыв в методологии математики, который был явно обозначен неевклидовой геометрией Лобачевского. Как оказалось, возможно построение многих непротиворечивых геометрий, которые истинны с математической точки зрения.

Примечание. В данном контексте «аксиома» – это не истина, не требующая доказательств в силу своей очевидности, а просто положение, бездоказательно и условно принимаемое как истинное в данной формальной системе. В математике под аксиоматико-дедуктивным методом понимается именно этот смысл слова «аксиома», т.е. слова «аксиома» и «постулат» здесь синонимы.

Хочу высказаться об интересном феномене выдающихся в научном и образовательном отношениях провинциальных университетов и школ. Для меня этот вопрос имеет и личное звучание, так как я учился в Казанском университете.

Почти в каждой стране есть провинциальные университеты, которые по своему научно-образовательному уровню имеют по ряду направлений мировое значение. В России это, например, Казанский университет, в США – Чикагский. В Древней Греции центрами философской мысли стали провинциальные регионы – Милетская школа в Малой Азии (Ионии) и Элейская школа и Школа Пифагора в Южной Италии. Феномен центров провинциальной науки не исследован. Думаю, одна из причин прорывов к новому знанию в провинциях кроется в малом числе (по сравнению со столицами) авторитетов «местного значения». Здесь «авторитеты местного значения» – люди именитые для своего времени и места и незначительные для вечности.

В связи с этим весьма интересно обратить внимание на одного из наиболее выдающихся ученых Казанского университета – Н.И.Лобачевского.

Я выделил семь уроков, которые дает нам жизнь этого гениального мыслителя.

С философско-методологической точки зрения открытие Лобачевского показало возможность построения не одного какого-то действительного (таковым принималась геометрия Евклида), а многих возможных миров. Эта ситуация в новом свете показала нам старый союз математики и философии.

Математика – это большей частью метафизика: мы не найдем в пределах нашего возможного опыта ни бесконечности, ни треугольников с суммой углов меньше 2d (существование которых постулируется в геометрии Лобачевского), ни комплексных чисел.

Метафизические учения и системы Парменида, Пифагора, Платона, Декарта, Лейбница, Канта (хотя Кант считал свою систему критической, в ней немало метафизики, например в его априоризме и моральном доказательстве бытия Бога), Гегеля, Шопенгауэра – это не что иное, как многие возможные миры, построенные на нескольких онтологических и гносеологических постулатах, или, если говорить философским языком, на основоположениях.

Различие с воображаемой геометрией Лобачевского и другими системами математики здесь только в степени общности. Если, например, геометрии Лобачевского или Римана относятся только к теории топологических характеристик возможных миров, то философские системы претендуют на охват всего мира во всех его ипостасях. Такая претензия обусловливает меньшую строгость философских теорий, по сравнению с математическими (что наглядно видно при сравнении формальной математической и философской диалектической логик), но генетическое и типологическое сходство математического и философского теоретизирования при этом вполне явно.

К вышесказанному надо присовокупить методологические следствия теоремы Геделя о неполноте. Гедель доказал, что во всякой дедуктивной системе с конечным числом аксиом можно сформулировать высказывания, истинность или ложность которых может быть определена только введением нового постулата, и так далее до бесконечности. Открытие Геделя смягчает строгость любых аксиоматико-дедуктивных, в том числе и математических, систем. В итоге обнаруживается еще большая близость математики и философии.

На основании сказанного можно посмотреть на философские системы с точки зрения их теоретической и практической значимости. Эта значимость совершенно такая же, как и родственной ей математики: некоторые разделы математики не находят никакого приложения где-либо, а некоторые ее разделы приложимы к отдельным фрагментам действительности как варианты их интерпретации.

В итоге можно утверждать, что в области человеческого познания мира философия и математика – это один род специфической теоретической (созерцательной, умозрительной, спекулятивной) науки, а физика, химия, биология, социология и другие позитивные науки – это другой род науки. Вместе с этим можно констатировать: тезисы позитивизма, или продолжающей дело позитивизма аналитической философии, о том, что «метафизика умерла», «метафизика бессмысленна», если справедливы для философии, то справедливы и для математики.

Скорее же всего, на самом деле, умирает аналитическая философия, в которой многообразие идеального и материального, живого и неживого, субъективного и объективного миров сводится к логическим формам. Чего можно ждать от псевдофилософских учений, сводящих философию к логике и голому эмпиризму, в которых высказывания о высших жизнеполагающих и жизнеутверждающих смыслах называются бессмысленными, в которых содержание понятий, или их смысл, редуцируется в угоду логическим конструктам к их объему, т.е. к их значению?
Урок 2. Преимущества провинциальной науки
Без давления столичных авторитетов и цепей сложившихся научных школ расцветает свободное критическое мышление, которое есть необходимая предпосылка открытия принципиально нового.

На открытие Лобачевского академический Санкт-Петербург откликнулся неодобрительным отзывом академика Остроградского, а Москва – публицистическим фельетоном о чудаках-провинциалах, который был опубликован в 1834 г. в журнале «Северный архив» под названием «О началах геометрии, соч. г. Лобачевского», где его открытие называлось «сатирой на геометрию».

Можно предполагать, что в отношении к «технической» стороне дела – публикации приоритетного материала в 1829 г. в журнале «Казанский вестник», Лобачевский вряд ли бы получил одобрение для публикации в столичных научных изданиях.

Общественное и научное признание наступило заметно позднее, когда великий математик Гаусс в 1842 году предложил избрать Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук и Лобачевский был избран. В 1868 году итальянский математик Бельтрами строго обосновал истинность неевклидовой геометрии Лобачевского.