Материалы к экзамену по дисциплине
«Устойчивость механических систем»
Ч.2: Устойчивость движения механических систем
(5-ый курс специальностей 07.11.00, 07.11.02, 2009-весна/2009-осень уч. год)
Вопросы к экзамену (с выводом)
-
Определение устойчивости движения по Ляпунову. Первый и второй методы Ляпунова.
-
Определение устойчивости по Пуассону и Лагранжу. Орбитальная устойчивость (устойчивость по Пуанкаре – самостоятельно!)
-
Первый метод Ляпунова, уравнения в вариациях. Примеры.
-
Теорема Лагранжа-Дирихле и её применение к исследованию устойчивости положений равновесия консервативных механических систем. Примеры.
-
Классификация сил в механике. Влияние структуры сил на устойчивость движения. Основные теоремы механики о влиянии диссипативных и гироскопических сил на устойчивость движений потенциальных систем. Основные теоремы (самостоятельно!).
-
Статическая бифуркация положений равновесия (бифуркация Эйлера). Условие трансверсальности. Закритическое поведение. Примеры.
-
Динамическая бифуркация (бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа). Закритическое поведение. Примеры. Условие трансверсальности
-
Неустойчивость стойки под действием следящей силы. (Задача Циглера). Парадокс Циглера.
-
Определение периодических движений в области основного резонанса и исследование их устойчивости при моногармоническом возбуждении динамических систем, описываемых уравнениями Ван дер Поля, Релея, Дуффинга. Применение метода многомасштабных разложений.
-
Неустойчивость крыла в стационарном дозвуковом потоке воздуха. (Теория классического флаттера с учётом сил аэродинамического демпфирования – последняя лекция).
-
Динамическая бифуркация в задаче о неустойчивости вращающегося вала (механизм дестабилизации, связанный с внутренним трением).
-
Эффект самоцентрирования вала с дисбалансом, анализ устойчивости.
-
Влияние гироскопических моментов на устойчивость вала с внутренним трением.
-
Динамическая бифуркация в задаче о неустойчивости плохообтекаемой конструкции в дозвуковом потоке газа. Закритическое поведение.
-
Неустойчивость механической системы под действием циркуляционных сил (самостоятельно!).
-
Матрица монодромии, мультипликаторы, нормальные решения в линейных параметрических системах. Критерий устойчивости.
-
Типы бифуркаций в линейных параметрических системах. Теорема Флоке – Ляпунова об общем виде решения и приводимости (самостоятельно!).
-
Критические частоты для уравнения Хилла.
-
Построение границ областей динамической неустойчивости для уравнения Матьё методом возмущений.
-
Приближенное определение Т – периодических и Т – антипериодических границ областей динамической неустойчивости методом Галеркина.
-
Аналитическое определение матрицы монодромии и мультипликаторов для уравнения Мейсснера, уравнения Дирака.
-
Теория параметрической стабилизации на примере обратного маятника.
Вопросы к экзамену (без вывода)
-
Типы динамических систем. Уравнения движения в возмущениях. Примеры.
-
Критерий Рауса – Гурвица и его применение.
-
Примеры динамических систем, теряющих устойчивость положений равновесия через динамическую бифуркацию.
-
Примеры динамических систем, теряющих устойчивость положений равновесия через статическую бифуркацию.
-
Суть парадокса Циглера.
-
Примеры динамических параметрически возбуждаемых систем. Определение параметрического резонанса.
-
Групповое свойство матрицы Коши линейных систем.
-
Алгоритмы определения матрицы монодромии и мультипликаторов.
-
Вычисление матрицы монодромии для уравнения Мейсснера.
-
Спектр критических частот для уравнения Хилла, главный параметрический резонанс.
-
Применение метода Релея – Галёркина для определения границ зон неустойчивости в линейных параметрических системах.
-
Понятие о пороге параметрического возбуждения.
-
Объяснить суть теории параметрической стабилизации.
-
Критерий устойчивости решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Связь с первым методом Ляпунова. Понятие критического случая.
-
Критерий устойчивости решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодически меняющимися коэффициентами. Связь с первым методом Ляпунова.
Типы задач
-
Применение теоремы Лагранжа-Дирихле к исследованию устойчивости положений равновесия консервативных механических систем.
-
Применение критерия Рауса- Гурвица к исследованию устойчивости положений равновесия стационарных динамических систем по первому методу Ляпунова.
-
Применение второго метода Ляпунова к исследованию устойчивости положений равновесия в случае, когда функция Ляпунова задана.
-
Определение типа бифуркации: динамическая, статическая.
-
Нахождение периодических движений в автономных и неавтономных квазилинейных динамических системах (любым асимптотическим методом, например, методом многомасштабных разложений) и исследование их устойчивости (например, для уравнений типа Ван дер Поля, Дуффинга, Релея или их комбинации).
-
Для заданной механической системы уметь проводить классификацию действующих сил.
-
Определение границ зон динамической неустойчивости в параметрически возбуждаемых линейных системах методом Галёркина.
-
Для нулевой зоны динамической неустойчивости (уравнение Матье) уметь рассчитывать эффект параметрической стабилизации (маятник Капицы, задача Беляева).
Основная литература
-
Н.А. Алфутов. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. Библиотека расчётчика. - М.: Машиностроение, 1991.
-
В.В. Болотин. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. - М.: Физматгиз, 1961.
-
А.С. Вольмир. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967.
-
П.С. Ланда. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. - М.: Наука, 1980.
-
Д.Р. Меркин. Введение в устойчивость движения. – М.: Наука, 1987. 304 с.
-
Д.Р. Меркин, С.М. Бауэр, А.Л. Смирнов. Задачи по теории устойчивости.– Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 128 с.
-
Ю.И. Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы. - М.: Наука, 1978.
-
Я.Г. Пановко, И.И. Губанова. Устойчивость и колебания упругих систем. - М.: Наука, 1979.
-
В.Н. Рубановский, В.А. Самсонов. Устойчивость стационарных движений. В примерах и задачах. - М.: Наука, 1988.
-
В.А. Светлицкий, И.В. Стасенко. Сборник задач по теории колебаний. - М.: Высшая школа, 1979.
-
В.А. Якубович, В.М. Старжинский. Параметрический резонанс в линейных системах. - М.: Наука, 1987.
Дополнительная литература
-
Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.
-
Вибрации в технике. Справочник. В 6-ти т./ Ред. Совет: В.Н. Челомей (пред.) - М.: Машиностроение, 1979-Т.2 Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И.И. Блехмана
-
Б.П. Демидович. Лекции по математической устойчивости. - М.: Наука, 1967.
-
В.Ф. Журавлёв. Основы теоретической механики. - М.: Наука - Физматлит, 1997.
-
П.С. Ланда. Нелинейные колебания и волны. - М.: Наука – Физматлит, 1997.
-
А.М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. - М.: Гостехиздат, 1950.
-
И.Г. Малкин. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966.
-
Ф. Мун. Хаотические колебания. - М.: Мир, 1990.
-
М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. – М. – Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.
-
Y. A. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcation Theory. Springer-Verlag New-York, Berlin. 1995.
-
Ali H. Nayfeh, Balakumar Balachandran. Applied Nonlinear Dynamics. John Wiley & Sons, Inc.1995.
А.М. Гуськов, декабрь 2009
/III
Достарыңызбен бөлісу: |