1 Бердянськ 2010 (06)

1. Абульханова-Славская К. А. Стратегия жизни / К. А. Абульханова-Славская. – М. : Мысль, 1991. – 299 с.

2. Анисимов С. Ф. Духовные ценности: производство и потребление / С. Ф. Анисимова. – М. : Мысль, 1988. – 178 с.

3. Зинченко В. П. О целях и ценностях образования / В. П. Зинченко // Педагогика. – 1997. – № 5. – С. 3-16.

4. Исаев И. Ф. Профессионально-педагогическая культура преподавателя : учебн. пособие / И. Ф. Исаев. – М. : Издательский центр “Академия”, 2004. – 208 с.

5. Каган М. С. Философская теория ценностей / М. С. Каган. – СПб. : ТОО ТК “Петрополис”, 1997. – 205 с.

6. Лихачев Б. Т. Философия образования / Б. Т. Лихачев. – М. : Прометей, 1995. – 282 с.

7. Митина Л. М. Психология труда и профессионального развития учителя : учебное пособие / Л. М. Митина. – М. : Издательский центр “Академия”, 2004. – 320 с

8. Равкин З. И. Конструктивно-генетическое исследование ценностей образования – одно из направлений развития современной отечественной педагогической теории / З. И. Равкин // Образование: идеалы и ценности (историко-теоретический аспект). – М. : ИТОиП РАО, 1995. – С. 4-12.

9. Семиченко В. А. Пути повышения эффективности изучения психологии / В. А. Семиченко. – К. : Магістр-S, 1997. – 124 с.

Дата надходження статті: 02.02.2009 року.

Дата прийняття статті до друку: 11.02.2010 року.

аспірантка

(Глухівський державний педагогічний

університет імені Олександра Довженка)

Детальніше розглянемо ці фактори та визначимо їх роль у формуванні дослідницької компетентності майбутнього вчителя. Так, нормативно-правовий фактор розглядається як одна з важливих умов, що регулює процес неперервності формування дослідницької компетентності майбутнього педагога в контексті його загальної підготовки, враховуючи принципи науковості та фундаментальності [1, с. 26-27].

До змісту цього фактора слід віднести документи, де розміщено реалії реформування системи освіти: Закони України “Про освіту” (1996), “Про вищу освіту” (2002), Національну доктрину розвитку освіти України (2002), Державну національну програму “Освіта” (“Україна ХХІ століття”) тощо. Цей аспект доповнюється Стандартами вищої освіти, що подають чіткі орієнтири підготовки педагога нового типу, формування його професійної компетентності, зокрема дослідницької компетентності.

Основні принципи та шляхи вдосконалення системи професійної освіти у межах формування дослідницької компетентності майбутнього вчителя вбачаються нами в: 1) підвищенні наукового потенціалу викладацького складу (захист дисертацій, підвищення кваліфікації тощо); 2) створенні єдиного навчального плану, завдяки якому студенти мають змогу навчатися у магістратурі, аспірантурі тощо; 3) вдосконаленні науково-методичної роботи ВНЗ з метою активізації практичної участі студентів у науково-дослідній роботі; 4) співпраці студента та викладача на основі суб’єкт-суб’єктної наукової роботи; 5) пошуках оптимальних педагогічних умов формування дослідницької позиції майбутнього фахівця; 6) індивідуалізації освітнього процесу як засобу дослідницького саморозвитку студентів.

З нормативно-правовим фактором переплітається фактор регіоналізації, однак вважаємо за необхідне зупинитися на ньому окремо, оскільки він є досить важливим фактором інтенсифікації професійної освіти. Зрозуміло, що освітня система будь-якої держави, зокрема України, залежить від загальних законів соціального розвитку, хоча кожен регіон має свої особливості, які необхідно враховувати в організації освітнього процесу. Цей процес регулюється насамперед Законом України “Про освіту” (1996), де передбачено розробку та реалізацію регіональних програм розвитку освіти, враховуючи особливості держави (національні, культурні, екологічні, соціально-економічні тощо). Проблема регіоналізації освіти України спирається на гуманістичний і культурологічний підходи.

Гуманістичний підхід в освіті відображає спрямованість розвитку освіти на гуманні стосунки в суспільстві як загальнолюдську цінність. Це побудова стосунків учасників освітнього процесу на основі демократичного стилю педагогічного спілкування [2, с. 156]. Цей підхід дозволяє кожному студенту усвідомити сенс свого існування, своєї належності до певного народу, його особливостей, формує цілісну картину світу.

Культурологічний підхід передбачає освоєння особистістю культурного досвіду попередніх поколінь, з метою творчої його (досвіду) реалізації у професійній діяльності. Ще в ХІХ столітті видатний німецький педагог Ф. Дістервег зазначав, що необхідно брати до уваги умови місця і часу, в яких народилася людина, наголошуючи цим самим на формуванні особистості відповідно до вимог культури і науки. Сьогодні культурологічний підхід відображає відповідність навчання і виховання особистості специфічній, соціально-культурній матриці народу, що має історію, традиції, науку та є способом долучення до загальнолюдської культури як системи пристосування людського суспільства до різних умов середовища у їх часовому вимірі [2, с .443]. Фактор регіоналізації, з одного боку, забезпечує трансформацію ціннісних уявлень майбутнього спеціаліста в систему цінностей, що є ядром сучасного педагога, з іншого – дозволяє проектувати і конструювати йому свою педагогічну діяльність на компетентнісному науковому рівні. Реалізація фактору регіоналізації, враховуючи схарактеризовані підходи, у межах нашого дослідження набуває вигляду (табл. 2).

Таблиця 2

Реалізація фактору регіоналізації у межах формування дослідницької компетентності майбутнього вчителя

№ з/п	Підхід	Реалізація підходу у межах формування дослідницької компетентності
1.	Гуманістичний	1) студент виступає суб’єктом навчального процесу; 2) студент має змогу реалізувати себе відповідно до своїх інтересів, здібностей, досвіду; 3) студент має можливість реалізувати себе у науково-дослідницькій діяльності як частині своєї професійної культури.
2.	Культурологічний	1) людина перетворюється із біологічної особи у свідому особистість, здатну оволодіти духовним багатством нації, традиціями, розвивати свій творчий потенціал у праці, зокрема в дослідницькій діяльності; 2) особистість має змогу оволодіти рідною мовою з метою освоєння культурних цінностей, здатності бути компетентним у професійній діяльності та особистому плані; 3) формування навичок самовиховання, саморозвитку, самоосвіти та саморегуляції.

Фактор середовища в педагогіці розглядається як зовнішня умова, в якій відбувається соціалізація особистості. Термін “середовище” трактується багатьма дослідниками як комплекс природних і соціальних умов, в яких здійснюється становлення особистості людини (Л. Виготський, Д. Данилов, М. Станкін та інші). Українські дослідники Н. Мойсеюк та І. Зайченко середовище розглядають як реальну дійсність, в умовах якої відбувається розвиток людини [4, с. 32; 6, с. 69]. У певному середовищі особистість, займаючись діяльністю, накопичує соціальний досвід. На думку Л. Виготського, людина як індивід у середовищі розвиває власні здібності і, в цьому випадку, спілкування і діяльність із середовищем, в якому вона знаходиться, стають рушійними силами розвитку людини.

Освітнє середовище (простір) трактується як місце в соціумі, де здійснюється спеціальна діяльність різних систем щодо розвитку індивіду та його соціалізації. Тобто, середовище стає пріоритетним спрямовуючим (педагогічним) фактором. Дослідницькі знання та вміння студента в умовах освітнього закладу можуть бути сформовані лише у спеціальному, продуманому освітньому просторі, де можуть бути використані усі потенційні можливості, як наприклад: формування професійно-значущих цінностей, використання різних стимулюючих засобів, удосконалення інформаційно-технологічних умінь студентів; накопичення практичного досвіду дослідницької діяльності; розвиток індивідуальних можливостей студентів під час оволодіння навичками дослідницької роботи. Організований таким чином освітній простір сприяє активізації творчого розвитку і саморозвитку особистості майбутнього фахівця, формує наукові цінності, інтереси, необхідні для професійної діяльності знання і вміння, що забезпечить, на нашу думку, формування дослідницької компетентності майбутнього вчителя.

Психолого-педагогічні фактори спрямовані на розвиток професійно-особистісних якостей педагога. Про важливість розвитку особистісних якостей педагога висловлював думку ще Й. Гербарт, зазначаючи, що педагога треба вчити не набору технічних операцій у певному випадку, а формувати його особистість. Вивчення робіт вітчизняних і зарубіжних дослідників (Л. Виготський, Д. Ельконін, Е. Геккель, С. Холл, З. Фрейд та інші) дозволяє констатувати, що студент вищого педагогічного закладу є індивідуальністю, що характеризується власною етичною, інтелектуальною та фізичною силою. Подальший шлях його професійного розвитку залежить від самоактуалізації, суттєвою частиною якої стає формування професійної і дослідницької компетентності майбутнього фахівця.

Формування професійної компетентності, зокрема дослідницької, тісно пов’язане з наявністю у студента педагогічних здібностей. Спеціалісти під здібностями розуміють індивідуально-психологічні якості особистості, що є передумовою успішного виконання нею певної діяльності [2, с. 316]. Дослідницькі педагогічні здібності розглядаються у працях Н. Кузьміної, О. Семеног, Г. Кловак, А. Маркової, Л. Мітіної, В. Загвязинського та інших. На думку вчених, в основі дослідницьких здібностей лежить творчість. Зокрема, виокремлено ознаки педагогічної творчості педагога – це професійна кмітливість, орієнтація на позитивні результати та продуктивність вирішення задач. На основі цього, В. Загвязинський розрізняє три рівні педагогічної творчості: 1-й рівень – педагогічні відкриття, пов’язані з висуненням нових ідей і їх втіленням у певних умовах; 2-й рівень – педагогічні винаходи, пов’язані з конструюванням певних елементів педагогічної системи, що підвищують якість освіти; 3-й рівень – удосконалення, пов’язане з модернізацією й адаптацією відомих певних педагогічних систем чи технологій [3, с. 53-54]. Тобто, педагогічна творчість може трактуватися як самостійне, продуктивне й оригінальне вирішення педагогом професійних завдань. У психологічному аспекті творчість – це вищий рівень розвитку інтелекту особистості.

Аналіз праць А. Маркової, Н. Кузьміної, М. Скаткіна, Л. Мітіної, З. Борисової та інших, дозволив нам виокремити якості майбутнього вчителя, що характеризують його дослідницьку компетентність: 1) науково-пізнавальна мотивація та інтереси, науково-ціннісні потреби, педагогічні здібності тощо; 2) інтелектуальні, творчі, емоційно-вольові властивості педагога та рівень їх виявлення; 3) науково-дослідні якості (наукова ерудиція, дослідницькі знання та вміння). У цьому аспекті враховується фактор персоніфікації, що передбачає індивідуальний підхід до студента, який досягається конструюванням особистісного освітнього процесу для його саморозвитку [7, с. 137]. Дослідники підкреслюють необхідність створення у вищому навчальному закладі “певної педагогічної ситуації”, що забезпечить професійний саморозвиток студента, здатність проявити себе як особистість, майбутній професіонал. Пріоритетним напрямком підготовки вчителя у межах формування його дослідницької компетентності, можна виокремити саморозвивальну дослідницьку діяльність студента за допомогою і під керівництвом викладача, внаслідок якої майбутній педагог стає здатним до цілепокладання, проектування, прогнозування та реалізації своєї науково-пізнавальної діяльності [1, с. 51].

Визначаючи фактор саморозвитку, важливо врахувати, що він має дві складові частини – самопізнання і самовиховання. Самопізнання пов’язують із досягненням людиною власного образу “Я”. Спостерігаючи за собою, своїми діями та вчинками, особистість вивчає себе, адекватно оцінює успіхи і недоліки у власному саморозвитку. Згідно з дослідженнями Л. Мітіної [5, с. 95-97], формування дослідницької компетентності майбутнього педагога передбачає три стадії дослідницького саморозвитку (рис. 1).

Нова підвищена самооцінка студента, яка виникає у процесі саморозвитку, свідчить про появу в нього нових науково-пізнавальних мотивів та потреб, що формуються у процесі активної взаємодії з викладачем.

1. Борисова З. Н. Формирование исследовательской компетентности будущих педагогов в условиях педагогического коледжа : дис. ... кандидата пед. наук : 13.00.01 / З. Н. Борисова. – Якутск, 2007. – 220 с.

2. Енциклопедія освіти / Акад. пед. наук України ; головний ред. В. Г. Кремень. – К. : Юрінком Інтер, 2008. – 1040 с.

3. Загвязинский В. И. Методология и методы психолого-педагогического исследования : учеб. пособие / В. Загвязинский, Р. Атаханов. – [2-е изд.]. – М. : ИЦ “Академія”, 2005. – 208 с.

4. Зайченко І. В. Педагогіка : навч. посібник для студентів вищих пед. навч. закладів / І. В. Зайченко. – Чернігів, 2003. – 528 с.

5. Митина Л. М. Психология труда и профессионального развития учителя : учеб. пособие / Л. М. Митина. – М. : ИЦ “Академія”, 2004. – 320 с.

6. Мойсеюк Н. Є. Педагогіка : навч. посібник / Н. Є. Мойсеюк. – [3-є вид., доп.]. – К., 2001. – 608 с.

7. Никитина Е. С. Региональные проблемы подготовки педагогических кадров : организационно-педагогические основы / Е. С. Никитина, Д. А. Данилов. – Новосибирск : Сиб. унив. изд-во, 2003. – 160 с.

Дата надходження статті: 22.05.2009 року.

Дата прийняття статті до друку: 11.02.2010 року.

кандидат фізико-математичних наук, доцент

(Донецький національний

технічний університет)

Запровадження діяльнісного навчання у практику вимагає розробки спеціальних технологій навчання, що дозволяють проектувати навчальну діяльність, яка моделює майбутню професійну діяльність. Основні принципи побудови та використання технологій навчання у вищій школі розроблено у працях В. Андреєва, М. Бурди, В. Безпалька, С. Гончаренка, Т. Дмитренко, В. Євдокимова, М. Жалдака, В. Клочка, Т. Крилової, В. Монахова, Л. Нічуговської, Н. Ничкало, О. Падалки, О. Пєхоти, О. Скафи, З. Слєпкань, С. Сисоєвої, А. Хуторського та інших. Питання розробки технології діяльнісного навчання математики розглядаються у працях О. Єпішевої [6], але вони відносяться до середньої школи і потребують подальшого розвитку та розповсюдження на навчання у вищій школі. Таким чином, питання проектування діяльнісних технологій навчання з математики у вищій технічній школі є актуальними і зумовленими потребами суспільства, одночасно вони не розроблені та потребують теоретико-методичного обґрунтування.

Однією з важливих властивостей предметних знань є їх здатність структуруватися, і першочерговим завданням під час побудови предметної моделі має бути встановлення загальної структури предметних знань. На цю структуру можна дивитися по-різному, отримуючи певні компоненти предметної моделі студента. У дидактичному аспекті, у змісті будь-якого підручника прийнято виокремлювати дві частини [2, с. 2]. До першої відносяться знання, що безпосередньо становлять зміст навчального предмета, його семантику. Це предметні знання. Друга частина – це знання, що обслуговують предметні знання. До них відносяться, наприклад, викладання, тлумачення, пояснення тощо. Це фонові знання, а також знання про застосування і використання предметних знань в інших дисциплінах, у техніці, в житті тощо. Предметні знання, структуровано певним чином, породжують семантичну компоненту предметної моделі студента.

В аспекті інженерії знань розрізняють знання декларативні та процедурні. Перші – твердження, або декларації про об’єкти предметної області, їх властивості та відносини між ними. Загальноприйнятна думка, що декларативні знання – це факти з предметної області, або фактичні знання. Процедурні знання – це правила перетворення об’єктів предметної області. Процедурні знання становлять процедурну компоненту предметної моделі студента. Спосіб дій реалізовується у практичній діяльності через уміння. Знання виступають як засоби, за допомогою яких формуються вміння. В інженерії знань вміння трактуються як поведінкові, або операційні знання. Механізмом формування вмінь є оперування знаннями (як декларативними, так і процедурними), що виявляється в поведінці людини. Таким чином, предметна модель студента передбачає вміння, які мають бути сформовані у процесі навчання. Перелік цих вмінь називають операційною компонентою предметної моделі студента.

Предметна модель повинна дати більш-менш укрупнене уявлення, про що знання. Це звичайно здійснюється через перелік тем, тобто тематично. Перелік тем, передбачених для вивчення, називають тематичною компонентою предметної моделі студента. З огляду дидактики, дуже важливо визначити, яку роль відіграють ті або інші знання, які функції вони виконують, тобто здійснити функціональне структурування. Це можна зробити, уклавши перелік функціональних рубрик, визначивши таким чином функціональні знання, що породжують функціональну компоненту предметної моделі студента. Таким чином, йдеться про п’ятикомпонентну предметну модель студента, що складається із семантичної, процедурної, операційної, тематичної і функціональної частин. На базі предметної моделі студента з дисципліни “Вища математика”, що викладається на факультетах інженерних спеціальностей здійснюється проектування технології та організація діяльнісного навчання математики. Для її розробки було проведено аналіз робочих навчальних програм всіх напрямків підготовки Донецького національного технічного університету та виокремлено загальну для всіх спеціальностей компоненту змісту навчання з таких тем: лінійна та векторна алгебра; аналітична геометрія; теорія граней; неперервність функції однієї змінної; диференціювання функції однієї змінної; дослідження функції однієї змінної; невизначений інтеграл; визначений інтеграл; функції багатьох змінних; диференційні рівняння; числові та функціональні ряди; кратні інтеграли; теорія ймовірності.

Розглянемо розробку предметної моделі студента з вищої математики на прикладі розділу “Векторна алгебра”.

По-перше, виокремлюється тематична компонента предметних знань, тобто перелік тем і розділів, що підлягають вивченню. Тематична модель призначена для тестування студентів денної форми навчання всіх спеціальностей університету, тому вона містить тільки ті теми і розділи, що є необхідними для всіх напрямків підготовки. Так, наприклад, в робочих програмах для галузей знань “Економіка і підприємництво” і “Менеджмент” передбачено вивчення теми “Векторні простори”, одночасно як для напрямків підготовки з інженерних галузей знань, розгляд цього розділу не передбачається. Тому до тематичної компоненти предметної моделі розділ “Векторні простори” введено не було. Таким чином, тематична модель розділу “Векторна алгебра” містить такі теми: 1) означення вектора, види векторів; 2) лінійні операції над векторами; 3) способи завдання векторів; 4) скалярний добуток двох векторів; 5) векторний добуток двох векторів; 6) мішаний добуток трьох векторів.

По-друге, виокремлюється операційна компонента предметних знань, тобто вміння, формування яких є цілями навчання певного розділу дисципліни. Наприклад, з векторної алгебри було виокремлено такі вміння: 1) за поданими координатами вектора на площині, чи у просторі: визначати модуль вектора; визначати напрямні косинуси вектора; записувати розвинення вектора за декартовим базисом; знаходити добуток вектора на число; знаходити орт вектора; визначати, чи є вектор одиничним; 2) визначати координати вектора на площині чи у просторі: за поданими координатами початку і кінця вектора; за поданими напрямними косинусами та модулем; за поданим розвиненням вектора за декартовим базисом; за поданими координатами орта вектора та модулем; 3) за поданими координатами двох векторів на площині чи у просторі: визначати, чи є вектори рівними; знаходити суму та різницю векторів; визначати, чи є вектори колінеарними; знаходити скалярний добуток векторів; визначати, чи є вектори перпендикулярними; знаходити проекцію одного вектора на інший; визначати косинус кута між векторами; знаходити векторний добуток векторів; знаходити площу паралелограма, побудованого на цих векторах; 4) за поданими координатами трьох векторів у просторі: знаходити мішаний добуток векторів; знаходити об’єм піраміди та паралелепіпеду, що побудовані на цих векторах; визначати, чи є вектори компланарними; визначати, чи можуть три вектори утворювати базис у просторі; переходити до нового базису у просторі.

По-третє, виокремлюється функціональна компонента предметних знань. Це перелік знань, які необхідні для формування вмінь операційної моделі. Знання, що складають функціональну модель, розподілено на рубрики. Ці знання студент повинен пам’ятати. Так, з векторної алгебри було виокремлено знання за такими рубриками: 1) визначення: видів векторів (нульового вектора, одиничного вектора, орта вектора, колінеарних, перпендикулярних і компланарних векторів); проекції вектора на вісь; декартового базису; лінійних операцій з векторами (суми та різниці двох векторів, добутку вектора на число); скалярного добутку двох векторів; векторного добутку двох векторів; мішаного добутку трьох векторів; 2) властивості: лінійних операцій з векторами; напрямних косинусів вектора; скалярного добутку двох векторів; векторного добутку двох векторів; мішаного добутку трьох векторів; 3) алгоритми та формули: знаходження модуля вектора; знаходження напрямних косинусів вектора; координат орта вектора; визначення, чи є два вектори колінеарними, перпендикулярними; визначення, чи є три вектори компланарними; знаходження косинуса кута між векторами; знаходження проекції одного вектора на інший; знаходження скалярного добутку двох векторів; знаходження векторного добутку двох векторів; знаходження мішаного добутку трьох векторів; переходу до нового базису у просторі.

Четвертий крок складання предметної моделі полягає у виокремленні процедурної компоненти предметних знань, яка описує принципи і порядок перетворення об’єктів предметної області. Це безпосередньо є опис тих алгоритмів, якими повинен оволодіти студент. З векторної алгебри виокремлено такі алгоритми: 1) знаходження: координат вектора; модуля вектора; напрямних косинусів вектора, координат орта вектора; косинуса кута між векторами; проекції одного вектора на інший; лінійної комбінації декількох векторів; скалярного добутку двох векторів; векторного добутку двох векторів; мішаного добутку трьох векторів; площі трикутника, що побудовано на двох векторах; площі паралелограма, що побудовано на двох векторах; об’єму паралелепіпеда, що побудовано на трьох векторах; об’єму піраміди, що побудовано на трьох векторах; 2) визначення: чи є три вектори компланарними; чи є два вектори колінеарними; чи є два вектори перпендикулярними; чи можуть три вектори утворювати базис у просторі; 3) переходу: від одного способу завдання вектора до іншого; до нового базису у просторі. Наприклад, алгоритм знаходження мішаного добутку трьох векторів передбачає: визначення координати векторів, що перемножуються; складання визначника з координат векторів; обчислення визначника, що складений.

Останній п’ятий крок складання предметної моделі полягає у виокремленні семантичної компоненти, яка є безпосередньо предметними знаннями, структурованими у вигляді окремих висловлювань, що виражають одну закінчену думку, і розташовані у послідовності їх вивчення. Як правило, семантична модель подається у вигляді семантичного конспекту. Семантичний конспект – це повний набір лаконічно поданих думок предметної області. Виданий окремо, він є дуже тонкою брошурою, тому, що в ній немає викладень, доведень і пояснень. Проте, вона містить усі положення курсу, що вивчається. Дидактичну сутність семантичного конспекту передає його інша назва – опорний конспект, оскільки він містить думки, на які необхідно зважати під час вивчення предмету [1; 5].

Усі висловлювання семантичного конспекту пронумеровані. Кожне висловлювання має номер, що складається з двох частин, розділених крапкою. Перша частина – це номер розділу, до якого належить висловлювання, друга частина – його номер у цьому розділі. Крім того, деякі номери стоять також після висловлювань. Це номери інших висловлювань, від яких подане залежить, якими воно визначається, з яких виходить. Зв’язки між висловлюваннями можуть бути дуже простими, наприклад, посилання на терміни, які вживаються в поданому висловлюванні, і складнішими, більш глибокими, наприклад, зв’язок причини та наслідків. Ці зв’язки задають структуру предметних знань, визначають розвиток навчального предмету, формальну логічну схему міркувань, і студенти повинні самостійно наповнити її конкретним змістом.

Наведемо фрагмент семантичного конспекту.

4. Скалярний добуток векторів.

4.1. Скалярний добуток двох векторів – це число, що дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів (1.8, 1.10).

4.2. Скалярний добуток векторів і позначається (4.1).

4.3. Скалярний добуток векторів і, координати яких дорівнюють і, обчислюється за формулою: (4.1,4.2, 1.8).

4.4. Геометрична властивість скалярного добутку двох векторів: скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між векторами (1.6, 1.14, 4.1).

4.5. Геометрична властивість скалярного добутку векторів і, кут між якими дорівнює, у символічному вигляді, де і – модулі векторів (1. 15, 4.4).

4.6. Ознака перпендикулярності двох векторів: для того, щоб два вектора і були перпендикулярними, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю (1.7, 4.1).

4.7. Ознака перпендикулярності векторів і у символічному вигляді (4.6).

4.8. Ознака перпендикулярності векторів і, координати яких дорівнюють і, у символічному вигляді (4.6, 1.8).

Усі компоненти предметної моделі студента пов’язані між собою і можуть бути використані для організації діяльнісного навчання математики в технічному університеті.