Для самостоятельного решения

Геометрические неравенства

а) меньше удвоенной суммы длин диагоналей;

б) больше суммы длин диагоналей.

Зад7. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы его сторон, выходящих из той же вершины.

Зад8. Построить треугольник наименьшего периметра по данному основанию и опущенной на него высоте.

Зад9. Три дома соединены дорожками. Внутри треугольника, образованного дорожками, построена беседка. От беседки к каждому из домов ведет прямая тропинка. Требуется заасфальтировать либо все дорожки, либо все тропинки. Доказать, что а) на тропинки уйдет меньше асфальта, б) а если их покрывать асфальтом в два слоя, то больше.

Зад10. Дан угол и точка внутри него. Она отражается симметрично относительно сторон угла, и получившиеся точки соединяются отрезком. Докажите, что часть этого отрезка, высекаемая углом, составляет меньше половины его длины.

Зад11. Докажите, что в треугольнике со сторонами a,b,c

а)  угол C – острый;

б)  угол C – тупой.

Для самостоятельного решения

Делимость, остатки – 2

Лемма 1. Пусть a – целое, b – натуральное число. Тогда a можно единственным образом представить в виде a=kb+r, где k и r – целые, 0r<b.

Определение 1. Число k в лемме 1 называется (неполным) частным, а число r – остатком при делении a на b с остатком. Если остаток равен 0, то a делится на b (без остатка) (записывается ).

Упр2. x=100k-16, k – целое. Чему равны частное и остаток при делении x а) на 100; б) на 5?

Упр3. Делимое и делитель увеличили в три раза. Как изменятся неполное частное и остаток?

Упр4. Разность двух чисел делится на b  числа дают одинаковые остатки при делении на b.

Определение. В этом случае будем говорить, что числа равны по модулю b и писать или .

Зад5. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или 1.

Теорема 6 (действия с остатками). Пусть число a₁ дает при делении на b остаток r₁, число a₂ – остаток r₂. Тогда

а) (сложение остатков) Число a₁+a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁+r₂.

б) (вычитание остатков) Число a₁–a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁–r₂.

в) (умножение остатков) Число a₁a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁r₂.

Зад7. Докажите, что натуральное число сравнимо а) со своей суммой цифр по модулю 9; б) со своей знакочередующейся суммой цифр по модулю 11.

Зад8. Докажите, что делится на 24
а) произведение 4 последовательных целых чисел; б) разность квадратов двух простых чисел, больших 3.

Теорема 9 (правило сокращения).

Пусть m и b – взаимно просты. Тогда .

Зад10. Найдите все такие x, что 19x оканчивается на 99.

Для самостоятельного решения

Зад11. В прямоугольном треугольнике все стороны целые. Докажите, что его площадь делится на 6.

Зад12. Можно ли клетчатый квадрат 19991999 разрезать по границам клеток на 10000 прямоугольников с равными диагоналями?

Зад13. Может ли сумма 13 точных квадратов быть точным квадратом?

Зад14. Пусть m не делится на простое число p. Тогда

14-1. Числа m, 2m, 3m, …, (p-1)m дают различные остатки по модулю p.

14-2. Числа (p-1)! и m^p-1(p-1)! дают одинаковые остатки при делении на p.

14-3. (малая теорема Ферма).

жүктеу/скачать 471 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: