Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық

~

бөлікке бөлейік және бұл бөліктер h
сәулесінің бойында

a_m  a
^{ a}m1
болатындай етіп,
a₁ , a₂ ,..., a_m , a_m1
нүктелерін

түзеді дейік. a_l
нүктелері арқылы 1 мен b-ны қосатын түзулерге

26-сурет

~

параллель түзулер жүргізіп, олардың k

сәулесімен

қиылысу нүктелерін сәйкес c_l
арқылы белгілейік.

Мектеп курсында қолданылатын жолмен,
c_i ,
^ci1

c

2
кесінділерінің бәрі де бір-бірімен конгруентті екендігіне көз жеткізуге болады, өйткені олардың әрқайсысы қандайда бір ^~

кесіндісіне конгруентті. Мұнда
ⁿ нүктесі b нүктесімен дәлме-

дәл келетіндігін және мынандай қатынастар орындалатындығын

m

m1
ескерейік: c^~  c^~  c^~

Ең алдымен п-нің қандайда бір мәнінде a_m
нүктесі а

нүктесіне дәлме-дәл келді дейік. Онда c_m
нүктесі с нүктесімен

b
дәлме-дәл болады. Сонда мынау шығады:

a^~  ^m ;
₂n
^~ 2ⁿ ^~;
c^~  m  ^~.

b
Бұдан тікелей a^~ ^~ c^~, яғни


a  b  c

болатындығы

b
көрінеді. Енді п-нің ешбір мәнінде жоғарыда айтылған нүктелер дәлме-дәл болмайды дейік. Анықтамалардан

a^~  ^m ;
₂n
^~ 2ⁿ ^~ болатындығы шығады.

m

m

b
Екінші жағынан, ^{c~  m  ~}. Демек, c^~   a^~  ^~.

m1

m1

b

 c

c

 c



c

m
Осылайша c^~   a^~  ^~ болатындығын да көрсетуге

c



c

m
болады. Ал ^{~ ~}
~
m1
болғандықтан, ^{~ ~}
~
m1

немесе a_m  b 
c^~
 a_m1  b
болады.

n шексіз өседі дейік. Сонда кесіндінің өлшеуішінің
анықтамасы бойынша a_m  a және a_m1  a
Ортақ шегі бар айнымалы екі шамның арасындағы c^~ айнымалы шама сол шекке тең, яғни c^~  a  b . Теорема дәлелденді.

1. 
   салдар. Екі кесіндінің (h,k) бұрышының көмегімен жасалатын көбейтіндісі ол бұрышты сайлап алуға байланысты болмайды.
   
2. 
   салдар. Кесінділердің көбейтіндісінің ауыстырым-дылық, терімділік және үйлесімділік қасиеттері болады.
   

^{4-теорема. Егер}  АВС ^~
А^/ В^/С ^/
болса, онда

АВ В¹С¹   А¹В ВС 
болады.

А₁ - ВА сәулесінің ВА₁ = В¹А¹ болатындай нүктесі болсын
(27 – сурет).

Енді
BC₁  BA  BF ,
BC  BA  BF. Бұл қатыстарды АВ-

ге және сәйкес А^| В^|-ге мүшелеп көбейтсек, мынандай болады:
BC  AB  B^|C ^|  BF  AB  AB  A^| B^|  BF ;
BC  A^| B^|  BC  BF  A^| B^|  AB  A^| B^|  BF ;

бұдан
демек,
AB  B^|C ^|  A^| B^|  BC,
AB  B^|C ^|  A^| B^|  BC

немесе алдыңғы теорема

бойынша, дәлелдейтінімізде осы.

3. ВЕЙЛЬ, ГИЛЬБЕРТ ЖӘНЕ ТАҒЫ СОЛ СИЯҚТЫ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕЛЕРІНДЕГІ КЕСІНДІЛЕРДІ

ӨЛШЕУДІҢ ЖАЛҒЫЗДЫҒЫ

^{Сонымен,}  және
l AB сандардың ондық

^{жуықтауларының бірдей uk  және u} k ^{ тізбектері бар,}
|
сондықтан l AB    f  AB. Ал [AB] - кез келген кесінді
болғандықтан, l AB    f  AB, [ AB] L бұл l және f

бейнелеулерінің беттесетінін көрсетеді.
Сөйтіп, егер [PQ] кесінді векторы PQ – орт болатындай болса, онда 1) – 3) аксиомаларды қанағаттандыратын бірден –

бір бейнелеуі бар болады. Бұл бейнелеуде
f  AB 

Біз кесіндінің ұзындығының болатындығын дәлелдедік. Бұдан евклидтік кеңістікте кесінділерді өлшеудің 1) – 3) аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы шығады.
А_п дегеніміз n өлшемді (R өрісі үстіндегі) аффиндік кеңістік, ал V – оның көшірулер кеңістігі болсын. V векторлық кеңістікте оң бисызықтық g форманы берелік. Мұнымен біз А_п аффиндік кеңістікті Е_п евклидтік кеңістікке айналдырамыз.

x V
векторының нормасы:

 gx, x

 A, B 
AB .

 -оң санын алып, бисызықтық g форманың ²
көбейтіндісін мына шарт бойынша анықталық:
² g  x, y ² gx, y, x, y V .
санымен

Егер
  1 болса, онда
² g
векторлық V кеңістіктегі жаңа

оң бисызықтық форма. Бұл форманы g_ арқылы белгілелік:

g_ x, y ²gx, y.
g_ формасына қатысты x векторнының
_ нормасына

сәйкес мынаны табамыз:
x _  

Демек, егер көшірулердің V кеңістігін бисызықтық g_

n
форманың көмегімен евклидтік векторлық кеңістікке айналдырсақ, онда жаңа E ^| евклидтік кеңістікті табамыз, ондағы

n
A, B  E^|
екі нүктенің арақашықтығы мына формула

бойынша анықталады:
 ^| A, B   
яғни
 ^| A, B     A, B

Егер

AB  0

болса және біз

  ¹
AB

деп алсақ, онда

AB _  1
екенін табамыз. Демек, бисызықтық
g_ формаға

қатысты AB векторы орт болады.
Егер, E_n евклидтік кеңістікте кез келген [PQ] кесіндісін алсақ, онда E_n кеңістіктің V көшірулер кеңістігінде, [PQ] кесінді бірлік кесінді болатындай, бисызықтық формасына көшуге

AB    AB ,

CD _
  

Бұдан екі кесіндінің қатынасы сызықтық бірлікті таңдап алуға тәуелсіз екендігі шығады.
[AB] кесіндінің ұзындығын жай AB арқылы белгілеп, былай (сызықтық бірлікті көрсетпей – ақ) жазуға болады:
AB AB
CD ^ CD ^.

Бақылау сұрақтары:

1. 
   Кесінділерді өлшеу.
   
2. 
   Екі кесіндінің қатынасы.
   
3. 
   Вейль және Гильберт аксиомалар жүйесінде кесіндіні өлшеудің жалғыздығы.
   
4. 
   Атанасян және Гильберт аксиомалар жүйесінде кесіндіні өлшеудің жалғыздығы.
   

Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары:

1. 
   Кесіндінің ұзындығы жөнінде ұғым еңгізу үшін қандай аксиомалар (айқын түрде немесе көмекі түрде) қолданылатындығын мектеп геометрия оқулығынан бақылап отырыңыздар.
   
2. 
   Мыналарды тең шамалы үшбұрышқа айналдыры-ңыздар:
   

1. 
   берілген тіктөртбұрышты;