Љазаљстан республикасыныў білім жшне ’ылым министрлігі



бет3/5
Дата22.06.2016
өлшемі1.74 Mb.
#153573
1   2   3   4   5

1. Егер жЩне векторлары коллинеар болса, онда олардыЈ сЩйкес координаталары пропорционал болады, яни


2. жЩне векторлары перпендикуляр болуы Їшін



теЈдігі орындалады.

4-дЩріс.

Жазы›ты›та“ы аффиндік жЩне тік б±рышты координаталар жЇйесі. ТЇзудегі, жазы›ты›та“ы жЩне кеЈістіктегі тік б±рышты координаталар жЇйесі. Кесіндіні берілген ›атынаста бйлу



Жазы›ты›та“ы аналитикалы› геометрия
Жазы›ты›та“ы тЇзЇдіЈ теЈдеулері

Анытама. Ах+Ву+С=0 теЈдеу тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі деп аталады. Б±дан . М±нда“ы к= - тЇзудіЈ б±рышты› коэффициенты.

  1. Ба“ыттауыш векторы (тЇзуге параллель), М0(x0,y0) нЇктесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі болады. Б±л теЈдеуді ›орытып шы“ару Їшін берілген тЇзудіЈ бойынан та“ы бір М(х, у) нЇкте аламыз. Сонда векторы векторына коллинеар. Демек, олардыЈ сЩйкес координаталары пропорционал, я“ни .

  2. Нормаль векторына перпендикуляр болып, М0(x0,y0) нЇктесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі A(x-x0)+B(y-y0)=0. Б±л теЈдеуді ›орытып шы“ару Їшін берілген тЇзудіЈ бойынан та“ы бір М(х, у) нЇкте аламыз. Сонда векторы векторына перпендикуляр болады, я“ни олардыЈ скаляр кйбейтіндісі нйлге теЈ. Сонда мына теЈдік A(x-x0)+B(y-y0)=0 шы“ады. Б±л ізделінді тЇзудіЈ теЈдеуі.

  3. Б±рышты› коэффициенті к болып, М0(x0,y0) нЇкте ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі y-y0=k(x-x0). М±ны ›орыту Їшін тЇзудіЈ у=кх+в (1) теЈдеуін алайы›. М0 нЇкте тЇзу бойында жа›анды›тан, оныЈ координаталары (1) теЈдеуді ›ана“аттандырады, я“ни у0 =кх0 +в (2) теЈдігі орындалады. (1) теЈдіктен (2) теЈдікті шегерсек, y-y0=k(x-x0) теЈдігі шы“ады. Б±л б±рышты› коэффициенті к болып, М0(x0,y0) нЇктесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі.

  4. Берілген екі нЇкте М1(x1,y1) жЩне М2(x2,y2) нЇктелері йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі . М±нда тЇзу бойынан кез келген бір М (х, у) нЇкте аламыз. М1 нЇктені М жЩне М2 нЇктелерімен ›осса›, =(х – х1 , у – у1), =(х2 – х1 , у2 – у1), векторлары коллинеар болады. Б±дан ізделінді теЈдеу шы“ады.

Координаталар йстерін А(a,0), B(0,b) нЇктелерінде ›иып йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі (СтуденттердіЈ йз беттерімен ›орытуына беріледі).
Екі тЇзу арасында“ы б±рыш. Параллельдік жЩне перпендикулярлы› шарттары. НЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы
d1 жЩне d2 тЇзулері йздерініЈ сЩйкес жалпы теЈдеулері ар›ылы берілсін дейік:

А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0

Б±рышты› коэффициенттері к1= , к2=

Егер d1  d2, онда к1 = к2.

Егер d1 d2, онда к1 = .

Екі тЇзу арасында“ы б±аыш tg (СтуденттердіЈ йз беттерімен ›орытуына беріледі)..

M(x0,y0) нЇктеден тЇзуге дейінгі ›ашы›ты“ы d= (СтуденттердіЈ йз беттерімен ›орытуына беріледі).

у

  1. М

r1

r2



F1 O F2

F1, F2 – эллипстіЈ фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c.

с – фокустары ар ›ашы›ты“ыныЈ жартысы; 2а - т±ра›ты шама. F1М жЩне F2М ›ашы›ты›тарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (2) теЈдік мына тЇрде жазылады:
r1 + r2 = 2а (21)

Екі нЇктені ара ›ашы›ты“ыныЈ формуласы бойынша:



.

Б±л теЈдеуді тЇрлендіріп, эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуін табайы›:







х 2+2сх+с2+ у2 = 4а2 4а

а теЈдіктіЈ екі жа“ын а - “а бйліп, квадраттайы›:

х2 -2сх+с2+у2 = (а -

х2 -2сх+с2+у2 =

а2х22у22с2= а4 + с2х2,
2- с2) х22у2+ = а2 ( а2 - с2),
а с бол“анды›тан, а2 - с2 0 болады, сонды›тан а2 - с2 в2 (3) деп белгілейміз.
Сонда в2 х2+а2у2+ = а2 в2 шы“ады, осыдан (4), м±нда“ы х пен у -
эллипстіЈ бойында“ы кез келген нЇктелердіЈ координаталары, а – эллипстіЈ Їлкен жарты йсі, в – оныЈ кіші жарты йсі. (4) теЈдеу эллипстіЈ жабайы (канонды›) теЈдеуі деп аталады.

Теорема. ЭллипстіЈ фокустыараашытыы мен жарты йстері мынадайатынас бойынша байланысады:

a2 = b2 + c2.
Дэлелдеу: Егер М нЇкте эллипстіЈ вертикаль осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r1 + r2 = 2 ( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нЇкте эллипстіЈ горизонталь осьпен ›иылысу нЇктесінде болса, онда r1 + r2 = a c + a + c. ЭллипстіЈ
ны›тамасы бойынша r1 + r2 – ›осынды т±ра›ты шама, ендеше жо“арыда“ы екі теЈдікті теЈестіріп, мынадай теЈдік аламыз:
a2 = b2 + c2 .

Анытама. = с/a ›атынас эллипстіЈ эксцентриситеті деп аталады. с < a
бол“анды›тан, < 1 болады.

ЭллипстіЈ тЇрін оныЈ жабайы теЈдеуі бойынша зерттеу.
(4) теЈдеу бойынша эллипстіЈ бірнеше ›асиеттерін аны›тайы›..х=а

х=-а

у

у=в


М

М2

В2

х

А1



А2

О

1). (4) теЈдеудегі х пен у екінші дЩрежелі бол“анды›тан, ол теЈдеуді М(х;у) нЇктесініЈ координаталарымен ›оса М1(х;-у), М2(-х;у), М3(-х;-у) нЇктелерініЈ де координаталары ›ана“аттандырады.



у=-в

М1

М3

В1

Ендеше эллипс координат осьтеріне,

Координата басына ›ара“анда симметриялы .

2) у=0 болса, болады, б±дан х =  а. Сонды›тан эллипс ох осін А1(-а; 0) жЩне А2(а;0) нЇктелерінде ›ияды. Ал х=0 бол“анда шы“ады да, у= в. Демек, эллипс оу осін В1(0;-в), В2(0; в) нЇктелерінде ›ияды. ЭллипстіЈ осьтермен ›иылысу нЇктелері (А1, А2, В1, В2 ) тйбелері деп аталады.

3) (4) теЈдеуден . Б±дан х  а жЩне у в. Б±дан – а  х  а жЩне –в  у  в. Сййтіп, эллипстіЈ нЇктелері жазы›ты›тыЈ ›абыр“алары 2а жЩне 2в болатын тік тйртб±рышпен шектелген бйлігінде жатады.


Теорема. ЭллипстіЈ кез келген М(х, у) нЇктесі Їшін тймендегіатынас орындалады:

r1 = a – x, r2 = a + x.


ДЩлелдеу. Жо“арыда r1 + r2 = 2a болатыны кйрестілген. Сонымен ›атар,геометьриялы› кескіндеме бойынша:

. Осы формулаларда“ы у2 –ты эллипстіЈ канонды› теЈдеуінен тауып алып, алдыЈ“ы формулалар“а ›ойып тЇрлендірсек, тймендегі теЈдік шы“ады:


ДЩл осылайша r2 = a + x.


Анытама. x = a/ ; x= -a/ . теЈдеулерімен аны›талатын екі тЇзу эллипстіЈ директрисалары деп аталады.
Теорема. НЇкте эллипсте жату Їшін оныЈ фокуса дейінгіашытыыныЈ сЩйкес директрисаа дейінгіашытыынаатынасы эксцентриситетке теЈ болуыажетті жЩне жеткілікті.
Мысал. теЈдеуімен берілген эллипстіЈ сол жа› фокусы мен тйменгі тйбесі ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуін ›±р.


  1. ЭллипстіЈ тйменгі тйбесініЈ координаталары: x = 0; y2 = 16; y = -4.

  2. Сол жа› фокусыныЈ координаталары: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

  3. Екі нЇкте ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі:


Мысал. F1(0; 0), F2(1; 1) фокустары мен Їлкен осі 2 –ге теЈ болатын эллипстіЈ теЈдеуін жаз.
ЭллипстіЈ теЈдеуі мынадай: . М±нда а мен b жарты йстерін табу керек. ФокустарыныЈ ара ›ашы›ты“ы:

2c = , сонды›тан a2 – b2 = c2 = Ѕ

Есеп шарты бойынша 2а = 2, сонда а = 1, b =

Сонымен эллипстіЈ теЈдеуі: .



Гипербола жЩне оныЈ ›асиеттері
Анытама. Гипербола деп фокустары деп аталатын нЇктелерден ›ашы›ты›тары айырмасыныЈ модулі сол фокустары ара›ашы›ты“ынан (F1F2 = 2c) кем болатын т±ра›ты 2а санына теЈ болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ геометриялы› орнын айтады, оны былайша белгілейді:

F1М - F2М = 2а (5) .


F1, F2 – гиперболаныЈ фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c.

с – фокустары ара ›ашы›ты“ыныЈ жартысы; 2а - т±ра›ты шама. F1М жЩне F2М ›ашы›ты›тарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (5) теЈдік мына тЇрде жазылады:

r1 – r2= 2a (51)

ГиперболаныЈ бойынан кез келген М(х, у) нЇкте алайы›..

y
M(x, y)

b

r1



r2

x

a



F1 А2(-а;0) А1(а;0) F2

c

Сонда:



















с2 – а2 = b2 деген белгілеме енгіземіз (геометриялы› тЇрдегі б±л шама – кіші жарты ось)




ГиперболаныЈ жабайы (канонды›) теЈдеуін алды›..

Гипербола фокустарын ›осатын кесіндініЈ ортасына (О нЇктеге), жЩне координат осьтеріне ›ара“анда симметриялы.

2а гиперболаныЈ на›ты йсі деп аталады.

2b гиперболаныЈ жорамал йсі деп аталады.

ГиперболаныЈ ›асиеттерін студенттерге йз беттерімен ›арастыру“а тапсырылады.

ГиперболаныЈ екі асимптотасы болады жЩне олар теЈдеулері ар›ылы беріледі.



Анытама. ›атынасы гиперболаныЈ эксцентриситеті деп аталады, м±нда“ы с – фокустары ›ашы›ты“ыныЈ жартысы, а –на›ты жарты йсь.

с2 – а2 = b2 екеніні ескерсек:





Егер а = b, = болса, онда гипербола теЈбЇйірлі (теЈ ›абыралы) деп аталады.


Анытама. ГиперболаныЈ на›ты йсіне перпендикуляр, оныЈ центріне ›ара“анда симметриялы жЩне одан a/ ›ашы›ты›та болатын екі тЇзу гиперболаныЈ директрисалары деп аталады.ОлардыЈ теЈдеулері: .

Теорема. Егер r гиперболаныЈ кез келген М нЇктесіненандай да бір фокусына дейінгіашытыы, ал d осы фокуса сЩйкес директрисаа дейінгіашытыы болса,онда r/d ›атынас эксцентриситетке теЈ т±раты шама.

ДЩлелдеуі. Гиперболаны схемалы› тЇрде кескіндейік:

y

a/e d


M(x, y)
r1

0 a F1 x


OF1 = c. Геометриялы› кескінедемеден мыналарды жазу“а болады:

a/ e + d = x, сонды›тан d = x – a/ e. (x – c)2 + y2 = r2

ГиперболаныЈ канонды› теЈдеуінен: , с учетом b2 = c2 – a2:







Сонда с/a = бол“анды›тан, r = x – a.


Сонымен: .

ГиперболаныЈ сол жа›та“ы тарма“ы Їшін дЩлелдеме осы тЩріздес.


Пример. Тйбелері мен фокустары эллипсініЈ сЩйкес тйбелері мен фокустарында болатын гиперболаныЈ теЈдеуін жаз.

Эллипс Їшін : c2 = a2 – b2.

Гипербола Їшін: c2 = a2 + b2.



ГиперболаныЈ теЈдеуі: .


Мысал. Егер гиперболаныЈ эксцентриситеті 2-ге теЈ, ал фокустары теЈдеуімен берілген эллипстіЈ фокустарымен беттессе, онда гиперболаныЈ теЈдеуін жаз.
Шешу. ЭллипстіЈ фокусты› ара ›ашы›ты“ын табамыз: c2 = 25 – 9 = 16.

Гипербола Їшін: c2 = a2 + b2 = 16, = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.
Сонда - гиперболаныЈ теЈдеуі болады.

Парабола жЩне оныЈ ›асиеттері
Анытама. Парабола деп фокусы деп аталатын нЇктеден ара ›ашы›ты“ы центрі ар›ылы йтпейтін директрисасы деп аталатын берілген тЇзуден бірдей ара ›ашы›ты›та болатын жазы›ты›та“ы нЇктелердіЈ жиынын айтады.

Координат басын фокус пен директрисаныЈ ортасына орналастырамыз.

у

А М(х, у)



О F x
p/2 p/2
р шама (фокустан директриса“а дейінгі ›ашы›ты›) параболаныЈ параметрі деп аталады. ПараболаныЈ жабайы теЈдеуін ›орытып шы“арайы›.

Геометриялы› кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px (*)
x = -p/2 - директрисаныЈ теЈдеуі.
ПараболаныЈ ›асиеттері:


  1. (*) теЈдеудегі у ж±п дЩрежелі бол“анды›тан, парабола Ох йсіне ›ара“анда симметриялы, Ох йсі параболаныЈ симметрия йсі болады.

  2. р0 бол“анды›тан, (*) теЈдеуден х0. Сонды›тан, парабола Оу йсініЈ оЈ жа“ында орналасады.

  3. х  0 бол“анда, у  0. Демек, парабола координат басы ар›ылы йтеді.

  4. х шектеусіз йскен сайын у-тіЈ модулі де шектеусіз йседі. О(0; 0) нЇкте параболаныЈ тйбесі , ’М  г М нЇктесініЈ фокальдырадиусыболады.

y2 = - 2px , х2 = 2pу, х2 = - 2pу (р0 ) теЈдеулері де параболаларды аны›тайды.



Мысал. у2 = 8х параболаныЈ бойынан директриса“а дейінгі ›ашы›ты“ы 4 – ке теЈ болатын нЇктені тап.
Шешу. ПараболаныЈ теЈдеуінен р = 4 табамыз.

r = x + p/2 = 4; Сонда x = 2; y2 = 16; y = 4. Ізделінді нЇктелер: M1(2; 4), M2(2; -4).



КЕўІСТІКТЕГІ АНАЛИТИКАЛЫљ ГЕОМЕТРИЯ

4. КеЈістіктегі жазы›ты›.


  1. Берілген М0(x0, y0, z0) нЇкте ар›ылы йтіп, =(A,B,C) нормаль векторына перепендикуляр жазы›ты›тыЈ теЈдеуі

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

2. Ax+By+Cz+D=0 теЈдеуі, м±нда“ы А, В, С коэффициенттерініЈ кемінде біреу нйлге теЈ емес, жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі деп аталады. М±нда“ы =(A,B,C) нормаль векторы.

3. ЖазытытыЈ нормаль теЈдеуі. Ax+By+Cz+D=0 теЈдеуін нормалан“ан теЈдеуіне келтіру Їшін, оны нормалаушы кйбейткішіне кйбейту ›ажет. Егер D 0 , болса, онда б±л кйбейткіштіЈ таЈбасы D- ніЈ таЈбасына ›арама – ›арсы алынады. Ал егерде D=0 болса, онда - ныЈ таЈбасы ретінде екі таЈбаныЈ кез келгеніЈ алу“а болады, я“ни Ax+By+Cz=0 теЈдеудіЈ сол жа“ын векторыныЈ ±зынды“ына бйлеміз.

М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2), М3(x3 ,y3 ,z3) Їш нЇктеден йтетіЈ жазы›ты›тыЈ теЈдеуі аны›тауыш ар›ылы табылады


Кеістіктегі аналитикалы› геометрия
КеЈістікте тЇзудіЈ теЈдеуі
Жазы›ты›та“ы тЩрізді кеЈістікте де кез келген сызы› координаталары ›андай да бір таЈдалып алын“ан координат системасында F(x, y, z) = 0 (1) теЈдеуін ›ана“аттандыратын нЇктелер жиыны ретінде аны›талады.

(1) теЈдеу кеЈістіктегі сызы›тыЈ теЈдеуі болады.

Сонымен ›атар кеЈістікте сызы› бас›аша да аны›талуы мЇмкін. Оны Щр›асысы ›андай да бір теЈдеумен берілген екі беттіЈ ›иылысу сызы“ы деп ›арау“а болады.

Айталы› F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – L сызы“ы бойынша ›иылысатын беттердіЈ теЈдеулері болсын.

Сонда теЈдеулер жЇйесін кеЈістіктегі сызытыЈ теЈдеуі деп атайды.

КеЈістікте нЇкте мен ба“ыттаушы векторы ар›ылы берілген тЇзудіЈ теЈдеуі


Кез келген тЇзу мен о“ан параллель (m, n, p) векторын алайы›.. векторы тЇзудіЈ баыттаушы векторы деп аталады.

ТЇзу бойынан кез келген М0(x0, y0, z0) жЩне M(x, y, z) нЇктелерін аламыз..

z
M1

M0



0 y

x
Б±л нЇктелердіЈ радиус- векторларын и ар›ылы белгілейік, сонда - = .



и векторлары коллинеар бол“анды›тан, = t ›атынасы орындалады, м±нда“ы t – кез келген параметр.

= t теЈдіктен мынау шы“ады: - = t . Б±дан = + t (2) .

Б±л теЈдеуді тЇзудіЈ кез келген нЇктесініЈ координаталары ›ана“аттандыратынды›тан, (2) теЈдеу тЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі болады.


Б±л векторлы› теЈдеу координаталы› формада былайша жазылады:

Б±л жЇйені тЇрлендіріп t параметрге теЈестіру ар›ылы кеЈістіктегі тЇзудіЈ канонды› (жабайы) теЈдеуін аламыз:



.

ТЇзудіЈ параметрлік теЈдеуі канонды› теЈдеуден шы“ады. Айталы› бізге тЇзудіЈ канонды› теЈдеуі берілсін. (1). Осыны t параметрге теЈестіреміз. Сонда:



=t , б±дан , немесе
Анытама. ТЇзудіЈ баыттаушы косинустары деп векторыныЈ ба“ыттаушы косинустарын айтады жЩне олар тймендегі формулалар бойынша аны›талады:

; .

Б±дан мынаны аламыз: m : n : p = cos : cos : cos.

m, n, p сандары тЇзудіЈ б±рыштыкоэффициенттері деп аталады. - нйлдік емес вектор бол“анды›тан, m, n и p бір уа›ытта нйлге теЈ бола алмайды, алайда б±л сандардыЈ біреу не екуі нйлге теЈ болуы мЇмкін. Б±л жа“дайда тЇзудіЈ теЈдеуінен сЩйкес алымдарын нйлге теЈестіруге тура келеді.

КеЈістікте екі нЇкте арылы йтетін т±зудіЈ теЈдеуі


Егер кеЈістіктегі тЇзудіЈ бойынан M1(x1, y1, z1) жЩне M2(x2, y2, z2) екі нЇкте берілсе, онда олар тЇзудЈ жо“арыда“ы теЈдеуін ›ана“аттандыруы кере, я“ни:

.

Сонымен ›атар М1 нЇкте Їшін мынаны жазамыз:



.

Осы теЈдеулерді біріктіп шешу ар›ылы мынаны аламыз:


.
Б±л екі нЇкте ар›ылы берілген тЇзудіЈ теЈдеуі.

КеЈістіктегі тЇзудіЈ жалпы теЈдеуі

ТЇзуді екі жазы›ты›тыЈтыЈ ›иылысу ар›ылы былай аны›талады: . Б±лардыЈ нормаль ваекторларыныЈ координаталары былайша аны›талады: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2);

ТЇзудіЈ ба“ыттауыш векторы , векторларына перпендикуляр. Сонда = x .
Жазы›ты› векторлы› формада тймендегі теЈдеу ар›ылы берілуі мЇмкін:

+ D = 0, где

- жазы›ты›тыЈ нормалі; -Жазы›ты›тыЈ кез келген нЇктесініЈ радиус - векторы.

Айталы› кеЈістікте екі жазы›ты› берілсін: + D1 = 0 и + D2 = 0,нормаль векторлардыЈ координаталары:: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).


ТЇзудіЈ жалпы теЈдеуі параметрлік тЇрде беріледі:


ТЇзудіЈ координаталы› формада“ы жалпы теЈдеуі:

Б±л практика жЇзінде есеп теЈдеуі жалпы тЇрде берілген тЇзулердіЈ теЈдеулерін канонды› тЇрге келтіру болып табылады.

Ол Їшін тЇзудіЈ кез келген нЇктесін жЩне m, n, p сандарын табады.


Б±л ±шін тЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы берілген жазы›ты›тардыЈ нормаль векторлардыЈ векторлы› кйбейтіндісі ар›ылы аны›талады.


Мысалы. ТЇзудіЈ канонды› теЈдеуін тап.
ТЇзудіЈ кез келген нЇктесін табу Їшін х = 0 деп аламыз, содан кейін осы мЩнді берілген теЈдеулер жЇйесіне ›оямыз.

, т.е. А(0, 2, 1).
ТЇзудіЈ ба“ыттаушы векторыныЈ компоненттерін табамыз:

Сонда тЇзудіЈ канонды› теЈдеуі:





Мысал.

ТЇзудіЈ теЈдеуін канонды› (жабайы) тЇрге кеклтір.

Жо“арыда“ы екі жазы›ты›тыЈ ›иылысуы ар›ылы берілген т±зудіЈ кез келген нЇктесін табу Їшін z = 0 деп аламыз.Сонда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Сонымен: A(-1; 3; 0).

ТЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы: .
Сонымен:
Жазы›ты›тар арасында“ы б±рыш

1

 0


КеЈістіктегі екі жазы›ты› арасында“ы  б±рыш осы жазы›ты›тардыЈ нормаль векторларыныЈ арасында“ы 1 б±рышпен мынадай ›атынаста болады:  = 1 или  = 1800 - 1, я“ни cos = cos1.


1 б±рышын аны›тайы›. Жазы›ты›тар тймендегі теЈдеулер ар›ылы берілсін:

, м±нда“ы

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Нормаль векторлардыЈ арасында“ы б±рышты скаляр кйбейтіндіден табамыз:

.

Сонымен жазы›ты›тар арасында“ы б±рыш тймендегі формула бойынша аны›талады:



КосинустыЈ таЈбасын таЈдау жазы›ты›тар арасында“ы ›андай б±рышты (сЇйір немесе онымен іргелес до“ал б±рышты) табатынымыз“а байланысты.


  1. Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет