однородного уравнения
Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Из доказанных выше теорем следует:
Теорема: Решения
уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского
отличен от 0 хотя бы в одной точке
.
Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система его решений.
Доказательство: Пусть
Тогда определитель Вронского запишется так:
Система функций
решений дифференциального уравнения
L(y) = 0 линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему решений:
Теорема: Пусть y(x) – любое решение дифференциального уравнения L(y) = 0 и
Тогда
Доказательство: Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных
:
Теорема доказана.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Частные случаи:
n = 2:
:
Пример:
Поэтому определитель Вронского запишется так:
Общее решение:
– фундаментальная система решений
Общее решение:
В общем виде:
Решение надо искать в виде
Утверждение: Если следующие m функций (решения уравнения L(x))
– линейно независимы, т.к.
;
Следовательно, функции
– есть фундаментальная система решений дифференциального уравнения
L(y) = 0.
Общее решение имеет вид:
Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка
L(y)=
(1)
Предположим, что найдена ф.с.р. соответствующего однородного уравнения (L(y)=q(x)=0):
Пространство решений неоднородного уравнения уже не является линейным пространством.
Теорема *: Пусть
- решение уравнения
(1). Тогда любое другое решение этого уравнения
имеет вид
, где
- решение уравнения
, т.е. однородного.
Любое решение Y однородного уравнения представляется в виде линейной комбинации ф.р.
Y=y–y0 =
, т.е. y = y0 +
(общее решение неоднородного уравнения).
Нахождение частного решения неоднородного уравнения.
Оно почти всегда находится, если известна ф.с.р. соответствующего однородного уравнения.
-
Метод вариации постоянных
Вернемся к неоднородному уравнению
(1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений
соответствующего однородного уравнения
(2). Тогда, любое решение
этого уравнения имеет вид:
. Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение
уравнения (1). По теореме *, любое решение
этого уравнения имеет вид:
(3). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение
. Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
(4), где
- фундаментальная система решений уравнения (2).
Тогда:
![](127270_html_m6c149fe2.gif)
(домножаем и складываем уравнения.)
Пусть выражения в квадратных скобках равны нулю, кроме последней скобки, равной q. Тогда при сложении в первом столбце( и в последующих) получится ноль, но в последнем будет q(x).
![](127270_html_7edd6e45.gif)
Но это равенство выполняется только в случае выполнения принятой нами системы условий, т.е. если найдены функции Сk (x), удовлетворяющие этой системе условий(*), то функция y0 есть частное решение неоднородного уравнения.
Получили, таким образом, обычную систему (*) линейных уравнений, которая имеет единственное решение, если не равен нулю определитель системы, т.е. определитель Вронского. Для того, чтобы отыскать
следует воспользоваться системой (*), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных
с определителем
.
≠0 Решения системы (*) можно найти по формулам Крамера.
интегрируем и находим искомые C1,…,Cn.
-
Пример:
![](127270_html_204e8473.gif)
Вычтем одно уравнение из другого: ![](127270_html_m351a607b.gif)
![](127270_html_7829f772.gif)
–частное решение неоднородного уравнения
–общее решение неоднородного уравнения.
Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Представим неоднородное уравнение в виде:
, (1)
где P(x) и Q(x) - многочлены, причем
.
Частное решение уравнения (1) можно искать в виде:
, где R(x) и S(x) – многочлены степени m, k –кратность корня
уравнения
Пример:
В данном случае
и частное решение ищется в виде:
;
Подставляем выражения для
и
в исходное уравнение:
Решение исходного уравнения:
Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему
, где
- произвольные постоянные
Решение представляет собой систему ![](127270_html_5a93ad7b.gif)
, где A – матрица из коэффициентов
системы.
Введем невырожденную матрицу B замены ![](127270_html_4805fc37.gif)
![](127270_html_5f88dced.gif)
, где
Пусть ?1, ?2 – собственные значения матрицы A. Тогда можно найти такую матрицу B, что
Матрица A1 запишется в виде
, где
– собственные значения характеристического многочлена матрицы A (собственные числа):
Тогда:
=>
=>
;
, где
и
- собственные векторы матрицы A.
Пример:
Собственные числа матрицы A:
Нетрудно найти, что
Общее решение системы уравнений:
Пример 2: Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.
(1)
, матрица
примет вид
.
, другое решение нужно искать в виде:
(1’) , где a,b,c,d – неопределенные коэффициенты.
Найдем их, продифференцировав уравнения системы (1’) и подставив выражения для
в уравнение (1)
Разделив на
оба уравнения, получим систему, связывающую неизвестные коэффициенты:
, отсюда
(система вырожденная).
Положим
.
.
Проверим систему на линейную зависимость.
Таким образом, общий вид решения:
В случае кратных корней одно решение находится сразу, второе – методом неопределенных коэффициентов.
Пример3: Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющих комплексно-сопряженные корни.
Общее решение:
Рассмотрим еще один пример, который иллюстрирует решение системы трех линейных дифференциальных уравнений.
Даны две последовательные химические реакции
и
. Скорость каждой из реакций пропорциональна концентрации реагирующего вещества. Константы скорости реакций равны a и b.
Обозначим x,y,z концентрации веществ A,B и C соответственно.
Система уравнений примет вид:
собственный вектор
.
собственный вектор
находится из системы
.
собственный вектор
.
Константы С1,С2 и С3 определяются из начальных концентраций веществ A,B и C.
Достарыңызбен бөлісу: