Ряды. Дифференциальные уравнения
Фундаментальная система решений линейного
жүктеу/скачать 2.54 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Фундаментальная система решений линейногооднородного уравнения
Определение: Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Из доказанных выше теорем следует: Теорема: Решения  уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронского  отличен от 0 хотя бы в одной точке  .
Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система его решений. Доказательство: Пусть 
Тогда определитель Вронского запишется так: 
Система функций L(y) = 0 линейно независима, поэтому она образует фундаментальную систему решений:
Теорема доказана. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 
Частные случаи: n = 2:
 :
Пример: 
Поэтому определитель Вронского запишется так: 
Общее решение: 
– фундаментальная система решений 
Общее решение: В общем виде:  Решение надо искать в виде 
Утверждение: Если следующие m функций (решения уравнения L(x))  – линейно независимы, т.к.
 ;
Следовательно, функции L(y) = 0. Общее решение имеет вид: 
Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка L(y)= Предположим, что найдена ф.с.р. соответствующего однородного уравнения (L(y)=q(x)=0): Пространство решений неоднородного уравнения уже не является линейным пространством. Теорема *: Пусть  - решение уравнения  (1). Тогда любое другое решение этого уравнения  имеет вид
 , где  - решение уравнения  , т.е. однородного.
Любое решение Y однородного уравнения представляется в виде линейной комбинации ф.р. Y=y–y0 = Оно почти всегда находится, если известна ф.с.р. соответствующего однородного уравнения.
Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений  соответствующего однородного уравнения (2). Тогда, любое решение  этого уравнения имеет вид:  . Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение  уравнения (1). По теореме *, любое решение  этого уравнения имеет вид:  (3). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение  . Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде  (4), где - фундаментальная система решений уравнения (2).
Тогда:
  (домножаем и складываем уравнения.)
Пусть выражения в квадратных скобках равны нулю, кроме последней скобки, равной q. Тогда при сложении в первом столбце( и в последующих) получится ноль, но в последнем будет q(x).   Но это равенство выполняется только в случае выполнения принятой нами системы условий, т.е. если найдены функции Сk (x), удовлетворяющие этой системе условий(*), то функция y0 есть частное решение неоднородного уравнения.
Получили, таким образом, обычную систему (*) линейных уравнений, которая имеет единственное решение, если не равен нулю определитель системы, т.е. определитель Вронского. Для того, чтобы отыскать  ≠0 Решения системы (*) можно найти по формулам Крамера.
 интегрируем и находим искомые C1,…,Cn.
 
  
 Вычтем одно уравнение из другого:   
 
 –частное решение неоднородного уравнения
 –общее решение неоднородного уравнения.
Представим неоднородное уравнение в виде:  , (1)
где P(x) и Q(x) - многочлены, причем Частное решение уравнения (1) можно искать в виде:
В данном случае  ; 
Подставляем выражения для   
Решение исходного уравнения: 
Рассмотрим систему  , где   - произвольные постоянные
Решение представляет собой систему  , где A – матрица из коэффициентов  системы.
Введем невырожденную матрицу B замены   
 , где 
Пусть ?1, ?2 – собственные значения матрицы A. Тогда можно найти такую матрицу B, что Матрица A1 запишется в виде Тогда:
 =>  =>  ;
 , где  и  - собственные векторы матрицы A.
 
Пример:  
Собственные числа матрицы A: 
 Нетрудно найти, что 
 
Общее решение системы уравнений: 
Пример 2: Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.  (1) 
  , матрица  примет вид  .
 , другое решение нужно искать в виде:
 (1’) , где a,b,c,d – неопределенные коэффициенты.
Найдем их, продифференцировав уравнения системы (1’) и подставив выражения для  
Разделив на  , отсюда  (система вырожденная).
Положим  .
Проверим систему на линейную зависимость. 
Таким образом, общий вид решения: 
В случае кратных корней одно решение находится сразу, второе – методом неопределенных коэффициентов. Пример3: Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющих комплексно-сопряженные корни.  
 
 
 
Общее решение: 
Рассмотрим еще один пример, который иллюстрирует решение системы трех линейных дифференциальных уравнений. Даны две последовательные химические реакции Обозначим x,y,z концентрации веществ A,B и C соответственно. Система уравнений примет вид:  
  собственный вектор  .
  собственный вектор  находится из системы  .
  собственный вектор  .
Константы С1,С2 и С3 определяются из начальных концентраций веществ A,B и C. жүктеу/скачать 2.54 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
решений 
Тогда
Доказательство: Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных 
:
– есть фундаментальная система решений дифференциального уравнения 
(1)
, т.е. y = y0 +
следует воспользоваться системой (*), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных 
с определителем 
. 
.
, где R(x) и S(x) – многочлены степени m, k –кратность корня 
уравнения 
и частное решение ищется в виде:
и 
в исходное уравнение:
, где 
– собственные значения характеристического многочлена матрицы A (собственные числа):
в уравнение (1)
оба уравнения, получим систему, связывающую неизвестные коэффициенты:
.
и 
. Скорость каждой из реакций пропорциональна концентрации реагирующего вещества. Константы