Глава 2. ОЦЕНКИ УСЛОВНОЙ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Об устойчивости решения плоской задачи интегральной геометрии с весовыми функциями, зависящими от разности аргументов
Исследуем устойчивость решения задачи интегральной геометрии, постановка которой была изложена в 2. Фиксируя вещественный параметр λ и применяя метод последовательных приближений к полученному интегральному уравнению Вольтерра второго рода
имеем
где
,
.
Предполагая, что функции , , , , , , , , непрерывны и ограничены, убедимся в справедливости оценки
, (1)
Используя оценку (1) в качестве мажоранты ядра, можно показать, что резольвента (следовательно, и решение), отвечающая мажоранте, стремится к бесконечности при . Этот факт говорит о том, что к решению семейства интегральных уравнений (5) [ 2] нельзя применить обратное преобразование Фурье по , так как
Пусть
Теорема. Если , то решения данной задачи интегральной геометрии справедлива оценка устойчивости:
где
Доказательство. При доказательстве используем лемму А.Х.Амирова [18], которую здесь приводим.
Лемма. Пусть для неотрицательных функций ,
Тогда для функции
справедива оценка
Так как , в силу леммы, с помощью теоремы Планшереля и формулы (2), находим
А теперь, используя неравенство Коши-Буняковского, имеем
Извлекая квадратный корень с обеих сторон последнего неравенства, приходим к оценке (3).
2. Оценка условной устойчивости для задачи интегральной геометрии с семейством ветвей парабол
Исследуем устойчивость следующей задачи интегральной геометрии, где по известным интегралам
от функции по семейству кривых :
, ,
требуется определить саму функцию . Предположим, что функция финитна в области
и дважды непрерывно дифференцируема.
Достарыңызбен бөлісу: |
