Единственность и устойчивость решения плоских и пространственных задач интегральной геометрии
Лемма. При условиях теоремы, из системы (2) определяется в виде Доказательство леммы
жүктеу/скачать 477.38 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 5. Единственность решения одной задачи интегральной геометрии в трехмерном пространстве
| Лемма. При условиях теоремы, из системы (2) определяется в виде
Доказательство леммы. Из формулы (2) или, учитывая формулу (3), имеем В силу условия , оператор является сжимающим оператором в пространстве непрерывных функций и поэтому уравнение (5) имеет единственное решение, которое будет пределом последовательных приближений : … … … … … … … или где - сумма ряда Лемма доказана. Пользуясь формулами (3), (4) вычислим якобиан где функция дважды непрерывно дифференцируема по . Таким образом, после замены переменных, вместо уравнения (1), имеем где В силу финитности функции по первым двум аргументам в ограниченной области : где достаточно гладкая функция. К обеим частям последнего уравнения применяем оператор усреднения по кругу радиуса с центром в точке : С помощью полярных координат с центром в точке изучим первое слагаемое функции : где Введем новые переменные тогда Поэтому уравнение (6) запишем в виде где К уравнению (7) применяем оператор Лапласа по переменным : Учитывая, что [21] и вспоминая свойство дельта-функции Дирака, имеем или Исследуем ядро уравнения (8). Если, как хорошо известно, ввести полярные координаты с центром в точке , , (9) то , следовательно, ядро уравнения (8) будет иметь вид Преобразуем первые два одномерных интеграла функции с помощью формулы (9) где Следовательно, или, в силу периодичности подынтегральной функций, имеем При функция является достаточно гладкой функцией, т.к. сходящийся несобственный интеграл второго рода. Для изучения двойного интеграла функций кроме преобразования (9) используем следующее преобразование , , тогда В силу периодичности функции, лежащей под внешним интегралом, получаем Заметим, что , (13) где функции , определяются соответственно формулами (11), (12). Таким образом, задача оценки ядра уравнения (8), записанного в виде (10), сводится к задаче исследования гладкости функции по переменным , так как, как отмечается выше, функция из (13) является достаточно гладкой функцией при . При достаточно малых можно всегда выбрать так, чтобы , . Разбиваем внутренний интеграл в формуле (12): один по отрезку , другой по отрезку , получаем , где В интеграле введем новую переменную , тогда достаточно гладкая функция. Для оценки функции и ее производных порядка сама функцию запишем в следующем виде где функция удовлетворяет условию [1, c. 25]. При вычислении производных от функции мы можем внести символ под знак внутреннего интеграла. В силу достаточной гладкости функции и функция будет достаточно гладкой в интеграле . Далее существенно используем это замечание. Вычисление производной по от внутреннего интеграла функции приводит к появлению ряда слагаемых за счет вычисления производных по верхнему и нижнему пределам и интеграла за счет дифференцирования подынтегральной функции. Первые из слагаемых ограничены, так как функция на нижнем пределе ограничена и не зависит от , а на верхнем пределе совпадает с аналитической функцией Интеграл, возникающий при дифференцировании подынтегрального выражения, имеет вид и в силу неравенства (14) оценивается интегралом Отсюда вытекает следующая оценка которая справедлива в окрестности точки . Вне этой окрестности функция непрерывна и ограничена вместе с производными до второго порядка. По известной лемме Адамара [24] , где гладкость функции на единицу меньше гладкости функции . Учитывая, что на самом деле зависит только от переменных , имеем отсюда На основе формулы (10) и используя неравенства (15), (16), оценим ядро интегрального уравнения второго рода (8) в окрестности Таким образом, показали, что уравнение (8) является интегральным уравнением типа Фредгольма с особенностью вида Учитывая, что при и , а также подбирая , получаем Отсюда т.е. интегральное уравнение (8) является уравнением со слабой особенностью в окрестности точки , а вне этой окрестности интегральное уравнение (8) имеет ограниченное ядро, то есть является интегральными уравнением Фредгольма второго рода. Известно, что интегральное уравнение (8) с ядром такого типа имеет при фиксированных , ( - показатель степени роста функции по ) единственное решение , принадлежащее классу по переменным , если только диаметр области достаточно мал [23]. В силу условий теоремы, по образу Лапласа однозначно восстанавливается оригинал . 5. Единственность решения одной задачи интегральной геометрии в трехмерном пространстве Рассмотрим следующую задачу интегральной геометрии где - семейство конусов , или с вершинами в точках , опирающихся на плоскость . Учитывая, что поверхностный интеграл (1) можно свести к повторному интегралу где - проекция поверхности на плоскость . Вводим полярную систему координат , , тогда имеем Применяем преобразование Фурье к обеим частям уравнения по переменным : Далее, вводя замену переменных , , последнее уравнение преобразуем к виду где – преобразование Фурье функции по переменным . Меняя порядок интегрирования получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода относительно функции : где Замена позволяет получить уравнение Дифференцируя это уравнение по получаем Продифференцировав еще раз по приходим к уравнению Вычислим интеграл [22, формула (3.715)], где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Как известно, , поэтому . Следовательно, уравнение (3) можно записать в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода [23] . Таким образом, доказана жүктеу/скачать 477.38 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|