И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задача 8.3.
- Ответ.
- Задача 8.4.
| Ответ. 1) Да; 2) да.
Решение. Рассмотрим два высказывания. А: «Бабуш- ка сегодня печет пирог», Б: «Бабушка сегодня ждет го- стей». Тогда условие означает А ⇔ Б. В предыдущей зада- че получено, что тогда истинно и А ⇒ Б, откуда ясен от- вет в пункте 1. Кроме того, истинно и Б ⇒ А. А значит, и «не А» ⇒ «не Б», что мы и используем для доказательства от противного в пункте 2. Задача 8.3. Равносильны ли высказывания А и Б? Если нет, то следует ли хотя бы одно из них из другого? 1) А: «Некоторые принцессы — красавицы»; Б: «Неко- торые красавицы — принцессы». 2) А: «Все принцессы — красавицы»; Б: «Все красави- цы — принцессы». 3) А: «Число N кратно 11»; Б: «Сумма цифр числа N, стоящих на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах». 4) А: «Число N является квадратом натурального чис- ла»; Б: «У числа N нечетное число делителей». 5) А: «У любой девочки из 6 „А“ больше друзей среди одноклассников, чем у любого мальчика из 6 „А“ среди од- ноклассниц»; Б: «В 6 „А“ мальчиков больше, чем девочек». Ответ. 1) Равносильны; 2) нет; 3) нет, но Б ⇒ А; 4) рав- носильны; 5) нет, но А ⇒ Б. Решение. Пункты 1 и 2 уже обсуждались в задачах 2.3 и 2.11. 77 3) Утверждение А ⇒ Б следует из признака делимо- сти на 11; обратное неверно, например, 803 кратно 11, но суммы цифр на четных и нечетных местах не равны друг другу. 4) Объединим делители числа N в пары так, чтобы произведение двух чисел в паре равнялось N. Ясно, что N = n 2 равносильно существованию числа n, которое яв- ляется парным самому себе, при этом число делителей нечетно. 5) Поставим в соответствие каждому шестиклассни- ку количество его друзей противоположного пола. Сумма этих чисел у всех девочек такая же, как и у всех маль- чиков, и равна количеству дружб между мальчиком и девочкой. Так как все слагаемые для девочек больше, чем для мальчиков, у мальчиков должно быть больше слагаемых. Поэтому А ⇒ Б. Обратное неверно, для дока- зательства достаточно любого контрпримера. Например, в классе одна девочка и два мальчика, и никто из них ни с кем не дружит. Задача 8.4. Чтобы доказать равносильность двух утвер- ждений А и Б, необходимо доказать две теоремы: А ⇒ Б и Б ⇒ А. А какое наименьшее число теорем надо доказать, чтобы убедиться в равносильности: а) трех утверждений; б) десяти утверждений? жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|