Iv акселерометры глава IV акселерометры осевой акселерометр прямого преобразования

Аналогично предыдущему, получено следующее выражение для амплитуды:

Пример 13.

Вычислим амплитуду колебаний пластины по координате у_т при действии линейной вибрации с амплитудой частотой Параметры маятника:

Находим

По формуле (4.91) получим:

♦

В соответствии с известными результатами теории колебаний, при одновременном воздействии на маятник угловой и линейной вибрации движение маятника будет представлять низкочастотные колебания, на которые «наложены» высокочастотные колебания, или иначе — высокочастотные колебания модулируются низкочастотными. Данное положение иллюстрируется рис. 4.21, на котором приведены результаты интегрирования системы урав­нений (4.54) для параметров маятника по рис. 4.12 с параметрами:

число упругих балок — 3;




угол установки акселерометрапараметры вибрации:

Рис.4.21* Зависимости — для маятника, установленного на основании, совершающем низкочастотные угловые и высокочастотные линейные вибрационные колебания




Как следует из рис. ,4.21, линейная вибрация основания привела к появлению составляю­щей на частоте вибрации, которая наложена на низкочастотный процесс угловых колебаний основания. Если измеряются именно угловые колебания основания, то вибрационная состав­ляющая информативного параметраявляется «шумом», который должен быть отфильтро­ван в блоке электроники. Если же измеряемой является линейная вибрация, то помехой явля­ется составляющая, которая в таком случае должна быть устранена в блоке фильтрации.

* На рис.4.21 оцифровка вертикальной оси для графика возмущения дана в градусах, для графика угло­вого перемещения в угловых минутах, для графика линейного перемещения в мкм.

4.2.5. Акселерометр на поступательно перемещающемся основании

В предположении, что основание, на котором установлен акселерометр, перемещается поступательно с постоянным ускорениемполагая в уравнениях (4.54) и выражениях (4.55) получим:

В уравнениях (4.92) знак (-) в скобках в правых частях соответствует углам а знак (+) — угламВ уравнениях (4.93) знак (-) в скобках соответствует углама знак (+) — углам

Принятый выбор знаков соответствует изменению углапод действием силы ти в положительном (против часовой стрелки) направлении.

Из системы (4.94) следуют выражения для угла отклонений маятника при действии вер­тикального ускорения:





При действии горизонтальных ускорений установившиеся углы отклонений маятника, полученные из системы (4.95), определяются выражением:

После затухания собственных колебаний маятника значения установившихся углов могут быть определены из систем:

где верхние знаки в квадратных скобках знаменателя соответствуют углам а нижние — углам

Если известно предельное значение угла поворота маятникаограниченное прочностью упругого подвеса или конструктивными особенностями, то максимальное измеряемое ускорение можно определить по зависимостям, которые следуют из формул (4.96) и (4.97):

где: п — число упругих «балок» подвеса.

В формуле (4.98) знак (+) перед величиной g соответствует углам а знак (-) -- угламВ формуле (4.99) знак (-) соответствует углам

а знак (+) — углам

Пример 14.

Рассчитаем максимальные значения ускорений, которые могут быть измерены акселерометром для угловчувствительный элемент которого имеет параметры (рис.4.12):

Очевидно, при изменении направления вектора для случаев модуль выходного сигнала, пропорционального не изменится.

4.2.6. Передаточные функции чувствительного элемента

Получим передаточные функции чувствительного элемента (ЧЭ), имея в виду, что наибольшей чувствительностью к изменению угла у обладает перевернутый маятник, а прямой — несколько меньшей (см. п.4.2.4). Поэтому измерения угловых колебаний (угловой вибрации) основания лучше выполнять при установке маятника, характеризуемой углами

К линейной вибрации маятник чувствителен при любом варианте установки относительно основания, хотя количественная мера чувствительности — разная.

Для случая линейной вибрации положим в уравнениях (4.54), (4.55) а для угловых колебаний — а также . Введем обозначения: и уравнения (4.54) представим в матричной форме для прямого и перевернутого маятников:

В уравнениях (4.98) и выражениях (4.99) верхние знаки соответствуют прямому а нижние — перевернутомумаятникам.

В выражениях (4.100) прямому маятнику соответствуют компоненты, содержащие параметра перевернутому — параметр

Уравнения движения маятника, соответствующие вертикальной вибрации основания имеют вид:

Знак (-) в правых частях уравнений (4.101) соответствует углу а знак (+) — углу установки

Введем обозначение и перепишем систему (4.98) в операторной форме:

Из операторных уравнений (4.102) с учетом (4.103) получим передаточные функции:

Передаточные функции (4.104), (4.105) позволяют определить реакцию ЧЭ на возмущающее воздействие в виде угловых колебаний основания. Передаточные функции, определяющие реакцию ЧЭ на линейные вибрационные возмущенияимеют вид:

Перепишем теперь уравнения (4.101) в операторной форме:

и получим передаточные функции ЧЭ, определяющие его реакцию на вертикальную составляющую линейного вибрационного возмущения совместно с ускорением силы тяжести

Передаточные функции (4.104), (4.105), (4.107), (4.108), (4.109), (4.110) позволяют определить реакцию ЧЭ на возмущающие воздействия в виде углового и линейного ускорений.

Так как наибольшей чувствительностью по отношению к углу наклона основания обладают прямой и перевернутый маятники, то именно для них и

определим передаточные функции ЧЭ.

Полагая, что функцияв операторной форме имеет записьи, пренебрегая, как и преж­де, членомполагаясистему (4.54) запишем в матричной форме:

В уравнениях (4.112) знак (+) в системе двойных знаков и сомножители, содержащие параметротносятся к прямому маятникуа знак (-) и сомножители с параметрами— к перевернутому маятнику




Из уравнений (4.112) получим передаточные функции ЧЭ по углудля двух вариантов установки акселерометра:

169

-прямой маятник


- перевернутый маятник




Передаточные функции (4.113), (4.114) позволяют определить реакцию ЧЭ по коорди­натамв ответ на входное воздействие в виде угловых колебаний основания.

Очев'идно, что с помощью структурной схемы (рис. 4.22) и таблиц 4.2, 4.3 могут быть получены передаточные функциидля любой выходной координаты по отношению к любому виду возмущающего (В) воздействия. Для этого необходимо, используя рис. 4.22, записать следующие алгебраические уравнения:

Из уравнений (4.115) и (4.116) получим:

Для линейной вибрациифункция возмущения. Функция «передачи» Ф определяется из первой строки табл. 4.3, передаточные функции— из первой строки, а— из третьей строки табл. 4.2. После их подстановки в выражения (4.118)

и (4.119) получаются передаточные функции (4.107) и (4.108). Для возмущения передаточные функцииопределяются из первой строки, функции— из второй строки табл. 4.2, а функция Ф — из второй строки табл. 4.3. После преобразований выражения (4.118), (4.119) трансформируются в передаточные функции (4.109) и (4.110). Для случая угловой вибрации основанияфункция Ф определяется третьей строкой табл. 4.3, функции— первой строкой, а передаточные функции— третьей строкой табл. 4.2. Для этого случая выражения (4.118) и (4.119) преобразуются к виду (4.104)
и (4.109). Для угловых колебаний основанияфункция Ф определяется четвертой строкой табл. 4.3, а функции— аналогично предыдущему случаю. Выполнив соответ­ствующие преобразования с выражениями (4.118) и (4.119), можно получить передаточные функции (4.113) и (4.114). Из уравнения (4.117) получим передаточную функцию:

Для случаевивыражение (4.120) преобразуется к виду:

Для линейной вибрациив выражении (4.121) Ф - +1 для и Ф = -1 для (табл. 4.3). Для угловой вибрации основания имееми

соответственно для углов _.

Если в качестве возмущений рассматривать углы наклона , то передаточная функция (4.121) для(прямой маятник) принимает вид:

Для перевернутого маятника в выражении (4.122) необходимо величину заменить на и «g» на «- g».

Для возмущенияпередаточная функция (4.120) принимает вид:

где знак (-) соответствует углу установки, а знак (+) — углу_.

Получим выражения для чувствительностей маятника, которые определяются отношением выходной координаты к входному воздействию (возмущению — «B») в стационарном режиме

Для линейной вибрации основания , положив s = 0 в выражениях (4.107),

(4.108), (4.121), имеем:

где: верхние знаки перед параметром «т» соот-

ветствуют углу установки, а нижние —. Аналогично для возмущения

из выражений (4.109), (4.110) и (4.123) получим:

где: знак (-) перед параметром «т» соответствует углу установки , а знак (+) — углу Чувствительности для случая угловой вибрации основанияв соответствии с выражениями (4.104), (4.105), (4.121) вычисляются по зависимостям:

где параметрсоответствует углу, а параметр— углу установки

Если в качестве возмущения рассматривается угол наклона основаниято из (4.113), (4.114), (4.121) следуют выражения для вычисления чувствительностей:

где верхние знаки соответствуют углу, а нижние — углу

Пример 15.

Вычислим чувствительности маятника к разным возмущениям. Исходные данные:

Приполуим Для угловзначение

Результаты вычислений по формулам (4.124), (4.125), (4.126) и (4.127) представим в таблицах:

Чувствительность маятника по отношению к ускорению





Чувствительность маятника по отношению к угловому ускорению





Чувствительность маятника по отношению к углу наклона




Чувствительность маятника по отношению к ускорению линейной вибрации

Передаточные функции (4.118), (4.119) и все вытекающие из них частные случаи для различных вариантов возмущений могут быть использованы только с применением вычислительной техники. Но они могут быть существенно упрощены имея в виду, что величина

y_r на несколько порядков меньше, чем аυ, а демпфирование обусловлено в основном уг­ловым движением маятника в определенном частотном диапазоне. Вместе с тем, имея в виду формы колебаний маятника, можно утверждать, что существуют частотные диапазо­ны, в которых роль поступательного и углового перемещений маятника практически рав­ноценна. Запишем упрощенный вариант уравнений (4.102):

В системе уравнений (4.128), также как и в (4.102) верхние знаки, там где они двойные, а также параметр L₁ соответствуют прямому маятнику (γ₀ = 270°), а нижние знаки и пара­метр L₂ — перевернутому (γ₀ = 90°). Запишем решение системы (4.128) относительно пара­метра θ(s):

где :

n — число упругих элементов («балок») маятника.

В соответствии с (4.129) запишем передаточную функцию маятника по отношению к

угловой d²γ(t)/dt² и линейной d²x_b(t)/dt² вибрациям:

где: К_пм = К_пг или К_пм - К_па в зависимости от вида вибрации. Очевидно, что коэффици­енты К_пг, К_па — это чувствительности маятника (см. 4.124 и 4.126).

Пример 16.

Вычислим параметры передаточной функции (4.131) для значений:

m = 0,29·10^-3 [кг]; J_А = 7,093·10-⁹[кг·м²| k_дθ = 49,93·10^-6 [H·м·с]; k₁₁ = 2,036·10³ [Н/м]

k₂₂ = 4,398·10^-4 [Н·м]; k₁₂ = k₂₁ = -0,819 [H]; g = 9,81[м/с²]; а = 4,281·10^-3[м];

l + а ≈ 5·10^-3[м]; n = 1;3.

Примем L = 0; тогда L₁ = L₂ = l+a. Результаты вычислений по формулам (4.130) пред­ставлены в таблице:

Угол установки и число упр. элементов		Параметр
		Knax,·10-3 [с2/м]	Кпг, ·10-6 [с2]	T, ·10-3 [с]	ξ, [безр.]
270°	n = 1	11,016	55,079	7,585	26,787
	n = 3	3,956	19,778	4,545	16,052
90°	n = 1	14,035	70,177	8,562	30,236
	n = 3	4,287	21,434	4,732	16,711

Сохраняя прежние предположения, из системы (4.101) для случая линейной вибрации d²у_b/dt² + g получим:

где знак (-) соответствует углу γ₀ = 0°, а знак (+) — углу γ₀ = 180°.

Разрешив систему (4.132) относительно параметра θ(s), получим затем передаточную функцию маятника по отношению к линейной вертикальной вибрации основания с учетом ускорения силы тяжести:

где:

Коэффициент передачи К_пау — это чувствительность маятника к возмущению d²у_b/dt² + g. (см. 4.125).

Пример 17.

Вычислим параметры передаточной функции (4.133) для исходных данных из предыду­щего примера. Результаты вычислений приведены в таблице:

Число упругих элементов	Параметр
	Knay,·10-3 [с2/м]	T, ·10-3 [с]	ξ
n = 1	12,344	8,029	28,356
n = 3	4,115	4,636	16,371

Заметим, что так как маятник в данном примере горизонтальный, то модули вычислен­ных параметров одинаковы для обоих углов установки (γ₀ = 0°, γ₀ = 180°).

Исследование динамики маятника, как измерителя углов наклона основания, может быть выполнено на базе упрощенной системы уравнений, полученных из (4.112):

Как и в (4.112), знак (+) в группе двойных знаков и сомножители с параметром L₁ соот­ветствуют углу установки γ₀ = 270°, а знак (-) и сомножители с параметром L₂ — углу установки маятника γ₀ = 90°.

Аналогично предыдущему получим передаточную функцию маятника по отношению к углу наклона основания:

(верхние знаки в группе двойных знаков соответствуют углу установки γ₀ = 270°, а ниж-ние — γ₀ = 90°).

Пример 18.

Вычислим параметры передаточной функции (4.136) для маятника из предыдущего при­мера.

Заметим, что параметры Т, ξ передаточной функции (4.136) совпадают с аналогичными параметрами функций (4.129) и были вычислены ранее. Если L = 0, тогда для обоих углов

установки γ₀ (270° и 90°) получим T₁ =2,258·10^-2 с, что на порядок больше постоянной времени Т. Получим также следующие значения коэффициента передачи (чувствительность маятника):

жүктеу/скачать 2.17 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: