Iv акселерометры глава IV акселерометры осевой акселерометр прямого преобразования



жүктеу 0.9 Mb.
бет3/5
Дата16.06.2016
өлшемі0.9 Mb.
1   2   3   4   5

_____________

Поступая аналогичным образом, можно выполнить оценку влияния линейной вибрации основания на маятник. Предположим, что как и в рассмотренном случаях а угловая вибрация отсутствует Уравнение (4.73) с учетом (4.55) принимает вид:



Предположим, что линейная вибрация описывается функцией(— амплитуда и частота вибрации) и уравнение (4.84) представим следующим образом:





где :

а собственная частота колебаний и относительный коэффициент (D) демпфирования те же, что и в уравнении (4.75).


будем его решение искать в виде:





Подставим (4.87) в (4.86) и получим комплексную амплитуду:

Используя комплексную форму записи уравнения (4.85):






Имея в виду, что равновесная амплитуда определяется выражением:

которая в показательной форме имеет написание (4.79), где амплитуда и фаза определяют­ся выражениями:



коэффициент динамичности определяется по формуле (4.81).



Пример 12.

Вычислим амплитуду колебаний центра масс маятника с параметрами из предыдущего

примера при действии линейной вибрации.


Имеемпо формуле (4.89) для трех упругих «балок» подвеса находим. По формуле (4.81) определим коэффициент динамичности и находим амплитуду колебаний центра масс

Полагая, что частота вынужденных колебаний маятника превышает его вторую главную частоту, оценку поступательных перемещений пластины маятника, как уже отмечалось, можно выполнить по частному решению уравнения (4.74). В предположении, что установка' акселерометра соответствует углуа вибрация основания определяется выражением(— амплитуда и частота вибрации), запишем уравнение (4.74) в виде:


















Аналогично предыдущему, получено следующее выражение для амплитуды:







Пример 13.

Вычислим амплитуду колебаний пластины по координате ут при действии линейной вибрации с амплитудой частотой Параметры маятника:














Находим

По формуле (4.91) получим:




В соответствии с известными результатами теории колебаний, при одновременном воздействии на маятник угловой и линейной вибрации движение маятника будет представлять низкочастотные колебания, на которые «наложены» высокочастотные колебания, или иначе — высокочастотные колебания модулируются низкочастотными. Данное положение иллюстрируется рис. 4.21, на котором приведены результаты интегрирования системы урав­нений (4.54) для параметров маятника по рис. 4.12 с параметрами:






число упругих балок — 3;




угол установки акселерометрапараметры вибрации:














Рис.4.21* Зависимости для маятника, установленного на основании, совершающем низкочастотные угловые и высокочастотные линейные вибрационные колебания




Как следует из рис. ,4.21, линейная вибрация основания привела к появлению составляю­щей на частоте вибрации, которая наложена на низкочастотный процесс угловых колебаний основания. Если измеряются именно угловые колебания основания, то вибрационная состав­ляющая информативного параметраявляется «шумом», который должен быть отфильтро­ван в блоке электроники. Если же измеряемой является линейная вибрация, то помехой явля­ется составляющая, которая в таком случае должна быть устранена в блоке фильтрации.

* На рис.4.21 оцифровка вертикальной оси для графика возмущения дана в градусах, для графика угло­вого перемещения в угловых минутах, для графика линейного перемещения в мкм.


4.2.5. Акселерометр на поступательно перемещающемся основании

В предположении, что основание, на котором установлен акселерометр, перемещается поступательно с постоянным ускорениемполагая в уравнениях (4.54) и выражениях (4.55) получим:



В уравнениях (4.92) знак (-) в скобках в правых частях соответствует углам а знак (+) — угламВ уравнениях (4.93) знак (-) в скобках соответствует углама знак (+) — углам

Принятый выбор знаков соответствует изменению углапод действием силы ти в положительном (против часовой стрелки) направлении.





Из системы (4.94) следуют выражения для угла отклонений маятника при действии вер­тикального ускорения:





При действии горизонтальных ускорений установившиеся углы отклонений маятника, полученные из системы (4.95), определяются выражением:

После затухания собственных колебаний маятника значения установившихся углов могут быть определены из систем:

где верхние знаки в квадратных скобках знаменателя соответствуют углам а нижние — углам


Если известно предельное значение угла поворота маятникаограниченное прочностью упругого подвеса или конструктивными особенностями, то максимальное измеряемое ускорение можно определить по зависимостям, которые следуют из формул (4.96) и (4.97):

где: п — число упругих «балок» подвеса.

В формуле (4.98) знак (+) перед величиной g соответствует углам а знак (-) -- угламВ формуле (4.99) знак (-) соответствует углам

а знак (+) — углам

Пример 14.





Результаты расчетов по формулам (4.98), (4.99) сведены в таблицу:





Рассчитаем максимальные значения ускорений, которые могут быть измерены акселерометром для угловчувствительный элемент которого имеет параметры (рис.4.12):

Очевидно, при изменении направления вектора для случаев модуль выходного сигнала, пропорционального не изменится.


4.2.6. Передаточные функции чувствительного элемента

Получим передаточные функции чувствительного элемента (ЧЭ), имея в виду, что наибольшей чувствительностью к изменению угла у обладает перевернутый маятник, а прямой — несколько меньшей (см. п.4.2.4). Поэтому измерения угловых колебаний (угловой вибрации) основания лучше выполнять при установке маятника, характеризуемой углами

К линейной вибрации маятник чувствителен при любом варианте установки относительно основания, хотя количественная мера чувствительности — разная.

Для случая линейной вибрации положим в уравнениях (4.54), (4.55) а для угловых колебаний — а также . Введем обозначения: и уравнения (4.54) представим в матричной форме для прямого и перевернутого маятников:



В уравнениях (4.98) и выражениях (4.99) верхние знаки соответствуют прямому а нижние — перевернутомумаятникам.

В выражениях (4.100) прямому маятнику соответствуют компоненты, содержащие параметра перевернутому — параметр

Уравнения движения маятника, соответствующие вертикальной вибрации основания имеют вид:



Знак (-) в правых частях уравнений (4.101) соответствует углу а знак (+) — углу установки

Введем обозначение и перепишем систему (4.98) в операторной форме:


Из операторных уравнений (4.102) с учетом (4.103) получим передаточные функции:





Передаточные функции (4.104), (4.105) позволяют определить реакцию ЧЭ на возмущающее воздействие в виде угловых колебаний основания. Передаточные функции, определяющие реакцию ЧЭ на линейные вибрационные возмущенияимеют вид:



Перепишем теперь уравнения (4.101) в операторной форме:










и получим передаточные функции ЧЭ, определяющие его реакцию на вертикальную составляющую линейного вибрационного возмущения совместно с ускорением силы тяжести





















Передаточные функции (4.104), (4.105), (4.107), (4.108), (4.109), (4.110) позволяют определить реакцию ЧЭ на возмущающие воздействия в виде углового и линейного ускорений.

Так как наибольшей чувствительностью по отношению к углу наклона основания обладают прямой и перевернутый маятники, то именно для них и

определим передаточные функции ЧЭ.

Полагая, что функцияв операторной форме имеет записьи, пренебрегая, как и преж­де, членомполагаясистему (4.54) запишем в матричной форме:





В уравнениях (4.112) знак (+) в системе двойных знаков и сомножители, содержащие параметротносятся к прямому маятникуа знак (-) и сомножители с параметрами— к перевернутому маятнику





- перевернутый маятник


Из уравнений (4.112) получим передаточные функции ЧЭ по углудля двух вариантов установки акселерометра:

169






-прямой маятник


- перевернутый маятник




Передаточные функции (4.113), (4.114) позволяют определить реакцию ЧЭ по коорди­натамв ответ на входное воздействие в виде угловых колебаний основания.









Очев'идно, что с помощью структурной схемы (рис. 4.22) и таблиц 4.2, 4.3 могут быть получены передаточные функциидля любой выходной координаты по отношению к любому виду возмущающего (В) воздействия. Для этого необходимо, используя рис. 4.22, записать следующие алгебраические уравнения:



Из уравнений (4.115) и (4.116) получим:



Для линейной вибрациифункция возмущения. Функция «передачи» Ф определяется из первой строки табл. 4.3, передаточные функции— из первой строки, а— из третьей строки табл. 4.2. После их подстановки в выражения (4.118)



и (4.119) получаются передаточные функции (4.107) и (4.108). Для возмущения передаточные функцииопределяются из первой строки, функции— из второй строки табл. 4.2, а функция Ф — из второй строки табл. 4.3. После преобразований выражения (4.118), (4.119) трансформируются в передаточные функции (4.109) и (4.110). Для случая угловой вибрации основанияфункция Ф определяется третьей строкой табл. 4.3, функции— первой строкой, а передаточные функции— третьей строкой табл. 4.2. Для этого случая выражения (4.118) и (4.119) преобразуются к виду (4.104)
и (4.109). Для угловых колебаний основанияфункция Ф определяется четвертой строкой табл. 4.3, а функции— аналогично предыдущему случаю. Выполнив соответ­ствующие преобразования с выражениями (4.118) и (4.119), можно получить передаточные функции (4.113) и (4.114). Из уравнения (4.117) получим передаточную функцию:







Для случаевивыражение (4.120) преобразуется к виду:







Для линейной вибрациив выражении (4.121) Ф - +1 для и Ф = -1 для (табл. 4.3). Для угловой вибрации основания имееми

соответственно для углов .

Если в качестве возмущений рассматривать углы наклона , то передаточная функция (4.121) для(прямой маятник) принимает вид:

Для перевернутого маятника в выражении (4.122) необходимо величину заменить на и «g» на «- g».

Для возмущенияпередаточная функция (4.120) принимает вид:

где знак (-) соответствует углу установки, а знак (+) — углу.

Получим выражения для чувствительностей маятника, которые определяются отношением выходной координаты к входному воздействию (возмущению — «B») в стационарном режиме

Для линейной вибрации основания , положив s = 0 в выражениях (4.107),

(4.108), (4.121), имеем:

где: верхние знаки перед параметром «т» соот-

ветствуют углу установки, а нижние —. Аналогично для возмущения

из выражений (4.109), (4.110) и (4.123) получим:

где: знак (-) перед параметром «т» соответствует углу установки , а знак (+) — углу Чувствительности для случая угловой вибрации основанияв соответствии с выражениями (4.104), (4.105), (4.121) вычисляются по зависимостям:



где параметрсоответствует углу, а параметр— углу установки

Если в качестве возмущения рассматривается угол наклона основаниято из (4.113), (4.114), (4.121) следуют выражения для вычисления чувствительностей:

где верхние знаки соответствуют углу, а нижние — углу


Пример 15.

Вычислим чувствительности маятника к разным возмущениям. Исходные данные:



Приполуим Для угловзначение

Результаты вычислений по формулам (4.124), (4.125), (4.126) и (4.127) представим в таблицах:




Чувствительность маятника по отношению к ускорению





Чувствительность маятника по отношению к угловому ускорению





Чувствительность маятника по отношению к углу наклона




Чувствительность маятника по отношению к ускорению линейной вибрации

Передаточные функции (4.118), (4.119) и все вытекающие из них частные случаи для различных вариантов возмущений могут быть использованы только с применением вычислительной техники. Но они могут быть существенно упрощены имея в виду, что величина


yr на несколько порядков меньше, чем аυ, а демпфирование обусловлено в основном уг­ловым движением маятника в определенном частотном диапазоне. Вместе с тем, имея в виду формы колебаний маятника, можно утверждать, что существуют частотные диапазо­ны, в которых роль поступательного и углового перемещений маятника практически рав­ноценна. Запишем упрощенный вариант уравнений (4.102):







В системе уравнений (4.128), также как и в (4.102) верхние знаки, там где они двойные, а также параметр L1 соответствуют прямому маятнику (γ0 = 270°), а нижние знаки и пара­метр L2 — перевернутому (γ0 = 90°). Запишем решение системы (4.128) относительно пара­метра θ(s):

где :



n — число упругих элементов («балок») маятника.

В соответствии с (4.129) запишем передаточную функцию маятника по отношению к




угловой d2γ(t)/dt2 и линейной d2xb(t)/dt2 вибрациям:


где: Кпм = Кпг или Кпм - Кпа в зависимости от вида вибрации. Очевидно, что коэффици­енты Кпг, Кпа — это чувствительности маятника (см. 4.124 и 4.126).

Пример 16.

Вычислим параметры передаточной функции (4.131) для значений:



m = 0,29·10-3 [кг]; JА = 7,093·10-9[кг·м2| kдθ = 49,93·10-6 [H·м·с]; k11 = 2,036·103 [Н/м]

k22 = 4,398·10-4 [Н·м]; k12 = k21 = -0,819 [H]; g = 9,81[м/с2]; а = 4,281·10-3[м];

l + а ≈ 5·10-3[м]; n = 1;3.

Примем L = 0; тогда L1 = L2 = l+a. Результаты вычислений по формулам (4.130) пред­ставлены в таблице:




Угол установки и число упр. элементов

Параметр

Knax,·10-3 [с2]

Кпг, ·10-6 [с2]

T, ·10-3 [с]

ξ, [безр.]

270°

n = 1

11,016

55,079

7,585

26,787

n = 3

3,956

19,778

4,545

16,052

90°

n = 1

14,035

70,177

8,562

30,236

n = 3

4,287

21,434

4,732

16,711




Сохраняя прежние предположения, из системы (4.101) для случая линейной вибрации d2уb/dt2 + g получим:







где знак (-) соответствует углу γ0 = 0°, а знак (+) — углу γ0 = 180°.

Разрешив систему (4.132) относительно параметра θ(s), получим затем передаточную функцию маятника по отношению к линейной вертикальной вибрации основания с учетом ускорения силы тяжести:












где:

Коэффициент передачи Кпау это чувствительность маятника к возмущению d2уb/dt2 + g. (см. 4.125).



Пример 17.

Вычислим параметры передаточной функции (4.133) для исходных данных из предыду­щего примера. Результаты вычислений приведены в таблице:



Число упругих элементов

Параметр

Knay,·10-3 [с2]

T, ·10-3 [с]

ξ

n = 1

12,344

8,029

28,356

n = 3

4,115

4,636

16,371

Заметим, что так как маятник в данном примере горизонтальный, то модули вычислен­ных параметров одинаковы для обоих углов установки (γ0 = 0°, γ0 = 180°).




Исследование динамики маятника, как измерителя углов наклона основания, может быть выполнено на базе упрощенной системы уравнений, полученных из (4.112):






Как и в (4.112), знак (+) в группе двойных знаков и сомножители с параметром L1 соот­ветствуют углу установки γ0 = 270°, а знак (-) и сомножители с параметром L2 — углу установки маятника γ0 = 90°.

Аналогично предыдущему получим передаточную функцию маятника по отношению к углу наклона основания:






где





(верхние знаки в группе двойных знаков соответствуют углу установки γ0 = 270°, а ниж-ние — γ0 = 90°).

Пример 18.

Вычислим параметры передаточной функции (4.136) для маятника из предыдущего при­мера.

Заметим, что параметры Т, ξ передаточной функции (4.136) совпадают с аналогичными параметрами функций (4.129) и были вычислены ранее. Если L = 0, тогда для обоих углов

установки γ0 (270° и 90°) получим T1 =2,258·10-2 с, что на порядок больше постоянной времени Т. Получим также следующие значения коэффициента передачи (чувствительность маятника):






1   2   3   4   5


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет