Главные формы и частоты малых колебаний маятника

(4.56)

где: а₁₁ = т, а₁₂ = а₂₁ = та, а₂₂ =J_A=J_c + ma² . Решение системы (4.56) будем искать в форме:

(4.57)

где: A₁, A₂, p, ε — неизвестные постоянные.

Выражения (4.57) дифференцируем дважды по времени t и полученные производные подставим в систему (4.56):

Чтобы полученные равенства удовлетворялись при любых t, необходимо приравнять нулю коэффициенты при sin(pt+ε):

(4.58)

Линейные алгебраические уравнения (4.58) относительно A₁ и A₂ должны иметь реше­ние отличное от нуля. Если бы это было не так, то согласно (4.57) у_r = 0, υ = 0, что соответ­ствует покою, а не движению.

Следовательно, определитель системы (4.58) должен равняться нулю:

(4.59)

Раскрывая определитель, получим:

(4.60)

или

(а₁₁а₂₂ - а₁₂² )p⁴ - (а₁₁к₂₂ + а₂₂к₁₁ - 2а₁₂к₁₂ )р² + (к₁₁к₂₂ - к₁₁²)= 0 . (4.61)

Уравнения (4.59, 4.60, 4.61) эквивалентны между собой и каждое из них называется уравнением частот или вековым уравнением. Оба корня уравнения частот относительно р² вещественны и положительны.*

Р
ешение биквадратного уравнения (4.61) запишем в виде:

где: а = а₁₁а₂₂ -а₁₂² ; b = а₁₁к₂₂ + а₂₂к₁₁ -2а₁₂к₁₂; с = к₁₁к₂₂ -к₁₂²

Каждому положительному значению корня р₁ и р₂ , т. е. каждому из двух значений частот будет соответствовать одно частное решение (4.57) со своими значениями постоянных

А₂ , А₂ , ε .

Ч
астные решения линейно независимы и поэтому общее решение системы уравнений (4.58) будет линейной комбинацией решений (4.57):

М
ежду числами А₁₁ и А₂₁ , A₁₂ и А₂₂ имеется связь, которая определяется уравнениями (4.58). Если в уравнения (4.58) подставить p₁ или р₂, то определитель системы (4.58) обра­тится в нуль. Следовательно, из двух уравнений независимо только одно, причем любое. Выберем, например, первое уравнение и получим из него отношение:


Каждому значению частот р₁ и р₂ соответствуют значения μ₁ и μ ₂:

Т
аким образом: А₂₁ = μ₁А₁₁, А₂₂ = μ ₂А₁₂. Общее решение (4.63) принимает вид:

* Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. Т2. - М.: Наука, 1971. - 460с.

В решении (4.65) значения р_{1 ,}р₂ ,μ₁ , μ ₂ определяются через известные параметры маятника, а значения А₁₁,А₁₂, ε₁ , ε₁₂ — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий движения.

И
з общего решения (4.65) следует, что движение маятника около положения устойчивого равновесия состоит из двух независимых колебаний:

Первое колебание по координатам y_r, и υ происходит с частотой р₁ , а второе — с частотой р₂. Эти колебания называются главными. Коэффициенты μ₁ и μ ₂, определяемые по формулам (4.64), определяют формы колебаний и имеют простой физический смысл, показывая, во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания по одной из коор­динат больше (или меньше) амплитуды другой координаты.

Круговые частоты р₁ и р₂, а также коэффициенты μ₁ и μ ₂ являются основными характеристиками малых колебаний маятника. Все координаты в каждом главном колебании изменяются по гармоническому закону и имеют одинаковые частоты и фазы. Это означает, что координаты одновременно обращаются в нуль и одновременно достают амплитудных зна­чений. Амплитуды в каждом главном колебании находятся в постоянном отношении ц₍, которое не зависит от начальных условий.

Пример 9.

О
пределим собственные частоты и формы колебаний маятника с параметрами по рис.4.12. Имея в виду, что маятник имеет три упругие балки, работающие параллельно, по формуле (4.62) получим:

К
аждой частоте соответствует своя форма колебаний. Помножим в формулах (4.64) коэффициенты жесткости на три и получим:

В соответствии с полученными результатами, для первой (низшей) частоты амплитуда колебаний маятника по углу υ в 7914,4 раз больше амплитуды колебаний у_r точки А крепления маятника с балкой. На второй (высшей) частоте это различие значительно меньше, т.е. более ощутимы колебания по параметру у_r. Кроме того, изменилась фаза угла поворота маятника.

Формы колебаний маятника показаны на рис.4.13.

Рис.4.13. Формы колебаний маятника: а — первая; б — вторая

Таким образом, монокристаллический маятник с двумя степенями свободы имеет две главные формы колебаний относительно положения устойчивого равновесия, кото­рые характеризуются разными отношениями угловой амплитуды колебаний маятника к амплитуде линейных колебаний точки его крепления с упругими элементами (балками) подвеса.

В соответствии с уравнениями (4.54) и методикой, изложенной выше, получим уравнения частот маятника для четырех вариантов установки корпуса акселерометра.

Д
ля углов γo = 0° и γo ⁼ 180° установки корпуса относительно неподвижного основания уравнения частот имеет вид:

Д
ля углов γo = 90° и γo = 270° установки корпуса относительно неподвижного основания уравнение частот имеет вид:

В уравнении (4.70) знак (-) перед членами, содержащими величину «g», соответствует углу γo = 90°, а знак (+) — углу установки γo = 270°.

Уравнение частот (4.70) при отсутствии демпфирования преобразуется к виду:

р
ешение которого соответствует (4.62), в котором:

Заметим, что в выражении для коэффициента b член m²gl на несколько порядков меньше остальных, и его можно не учитывать при расчетах.

Пример 10.

Р
ассчитаем частоты собственных недемпфированных колебаний маятника по рис.4.12 с параметрами: т = 0,29*10^-3 [кг]; J_c = 1,775*10^-9 [кг*м²];

Коэффициенты по зависимостям (4.69) имеют значения:

а = 0,514*10^-12[кг²м²]; b = 16,601 *10^-6 [кг²*м²/с²]; с = 0,224[кг²м²/с⁴];

с = (0,224 + 0,031)

Коэффициенты а и b по зависимостям (4.72) имеют те же значения, а коэффициент

[кг²м²/с⁴] .Результаты расчетов по формуле (4.62) приведены в таблице:

Рис. 4.15. Первые главные формы колебаний маятника при линейной вибрации оснований: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации, (указаны в окнах)

Puc.4.16. Вторые главные формы колебаний маятника при линейной вибрации оснований: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации, (указаны в окнах)

а)

б)


Рис.4.17. Вторые главные формы колебаний маятника при линейной вибрации оснований: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации, (указаны в окнах)

На рис. 4.18-4.20 приведены результаты численного интегрирования уравнений (4.54) для установки акселерометра, соответствующей углу γ₀ = 270° при отсутствии угловой виб­рации (γ = 0). На маятник действует только горизонтальная вибрация (x_b ≠ 0), амплитуда вибрации 5∙10^-6 м на всем диапазоне частот. Коэффициенты демпфирования рассчитаны по формулам (4.8) и (4.52), с учетом, что площадь, участвующая в демпфировании составляет 50% от общей площади:

На рис. 4.18-4.20 в нижней части толстой линией показаны линейные перемещения т. А (см. рис.4.12) у_r = f(t) и тонкой линией линейные перемещения крайней точки пластины у_υ = а_тυ.

В верхней части рис. 4.18-4.20 светлым фоном показана площадь «ометаемая» пластиной маятника, темным фоном — показана площадь «ометаемая» пластиной маятника пос­ле затухания собственных колебаний.

Из полученных результатов следует:

Вынужденные колебания пластины происходят вокруг некоторой точки — центра коле­баний. До частоты 413 Гц центр колебаний располагается со стороны упругого подвеса и на этих частотах крайние точки маятника движутся в одной фазе.

В диапазоне часто 413 Гц-1917 Гц центр колебаний расположен на пластине и на этих частотах крайние точки маятника движутся в противофазе.

На частотах выше 1917 Гц центр колебаний уходит за пластину, а крайние точки маят­ника движутся в одной фазе.

а)










Рис.4.18. Первые главные формы колебаний маятника: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации

а)







Рис.4.19. Вторые главные формы колебаний маятника: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации

(4.73)

(4.74)

где функции F и F_γ0 вычисляются по зависимостям (4.55) с учетом того, что для уравнения

(4.74) в зависимостях для F_γ0 нужно положить υ = 0.

В зависимости от варианта установки акселерометра относительно основания в соответствии с выражениями (4.55) реакция маятника будет различной в ответ на угловую и линейную вибрацию. Вопрос о предпочтительном варианте установки акселерометра для измерения параметров угловой и линейной вибрации основания можно решить на основе анализа системы:

которую разрешим относительно информативного параметра υ для различных вариантов сил F и F_γ0 (4.55).

где знак (+) в числителе соответствует углу γ₀ ⁼ 0°, а знак (-) — углу γ₀ = 180°.

Для угловой вибрации основания (γ ≠ 0, х_b = у_b = 0) получены выражения:

где верхние знаки (+) или (-) соответствуют углу γ₀ = 90°, а нижние — углу 270°.

Из полученных результатов следует, что только при углах γ₀ = 90° и γ₀ = 270° маятник наиболее чувствителен к углу γ наклона основания.

где знак (+) в числителе соответствует углу γ₀ ⁼ 0°, а знак (-) — углу γ₀ = 180°.

где верхние знаки (+) или (-) соответствуют углу γ₀ = 90°, а нижние — углу γ₀ = 270°.

Из полученных результатов следует, что при измерении вертикальной вибрации углы установки акселерометра γ₀ = 0° и γ₀ = 180° равнозначны. При измерении горизонтальной вибрации (γ₀ = 90° и γ₀ = 270°) наибольшие значения углов υ будут соответствовать «пере­вернутому» маятнику (γ₀ = 90°).

Предположим, что маятник подвержен угловым колебаниям основания, изменяющимся

по закону γ = γ_msinωt (γ_т, ω— соответственно амплитуда и частота колебаний основа­ния). Воспользуемся зависимостями (4.55) (γ₀ = 270°) и запишем уравнение (4.73) в виде:

Будем полагать, что_ и уравнение колебаний маятника представим в форме:

(4.75)

(4.76)

Уравнение (4.76) при принятых допущениях приближенно описывает первую главную форму колебаний маятника, установленного на основании, совершающем угловые колеба­ния (угловую вибрацию). Так как собственное движение маятника при наличии демпфиро­вания быстро затухает, найдем вынужденное движение маятника, описываемое частным решением уравнения (4.76). Для отыскания частного решения используем метод записи

уравнения (4.76) в комплексной форме. Введем в рассмотрение комплексную величину υ_*,

действительная часть которой совпадает с выражением для смещения Re υ_* = υ.

Зависимость возмущающего момента от времени также представим в комплексной форме:

так что M(t) = Re M_*(t) = M₀ cos(ωt + 90). Действительная часть решения уравнения:

(4.77)

будет совпадать с решением уравнения (4.76), т.к. коэффициенты уравнения являются дей­ствительными величинами.

Искомое решение уравнения (4.77) запишем в виде:

(4.78)

После подстановки величин υ_*, _, _ в уравнение (4.77), получим:






Комплексная амплитуда в показательной форме имеет вид:








Подставим (4.79) в (4.78):





Таким образом, действительное перемещение:

откуда определяется комплексная амплитуда:

Следовательно, величиныв формуле (4.79) представляют собой соответственно амплитуду колебаний маятника и запаздывание по фазе его перемещений по отношению к возмущающему моменту. Комплексная амплитуда (4.79) одновременно характеризует как действительную амплитуду, так и фазу колебаний.

Отношение величины А (4.80) к, так называемой, равновесной амплитуде

которая в рассматриваемом случае представляет собой статическую деформацию упругого подвеса пластины маятника под действием максимального момента при наклоне основания не угол называется коэффициентом динамичности:

Фазовый сдвиг колебаний маятника относительно колебаний основания в функции от отношения частот (безразмерной «частоты»):

Амплитуда колебаний маятника в функции от безразмерной частоты определяется вы­ражением:

Пример 11.

Вычислим амплитуды колебаний центра масс маятника и его фазовое запаздывание для значений при частотах угловых колебаний основания

и амплитуде

Параметры маятника:

количество упругих «балок» — 3. Получим:

Статическая амплитуда:

Результаты вычислений по формулам (4.82), (4.83) приведены в таблице:

Из полученных результатов следует, что маятник при не успевает отслеживать колебания основания и амплитуды его колебаний меньше статической амплитуды Приинерционные силы, действующие на маятник, вследствие колебаний основания, приводят к резкому возрастанию амплитуды его колебаний