Iv акселерометры глава IV акселерометры осевой акселерометр прямого преобразования



жүктеу 0.9 Mb.
бет2/5
Дата16.06.2016
өлшемі0.9 Mb.
1   2   3   4   5

4.2.2. Главные формы и частоты малых колебаний маятника

Малые колебания маятника, обусловленные двумя его степенями свободы, без учета демпфирования и внешних сил, в соответствии с (4.54), описываются системой уравнений:






(4.56)

где: а11 = т, а12 = а21 = та, а22 =JA=Jc + ma2 . Решение системы (4.56) будем искать в форме:




(4.57)

где: A1, A2, p, ε — неизвестные постоянные.

Выражения (4.57) дифференцируем дважды по времени t и полученные производные подставим в систему (4.56):









Чтобы полученные равенства удовлетворялись при любых t, необходимо приравнять нулю коэффициенты при sin(pt+ε):




(4.58)

Линейные алгебраические уравнения (4.58) относительно A1 и A2 должны иметь реше­ние отличное от нуля. Если бы это было не так, то согласно (4.57) уr = 0, υ = 0, что соответ­ствует покою, а не движению.

Следовательно, определитель системы (4.58) должен равняться нулю:






(4.59)

Раскрывая определитель, получим:




(4.60)

или


11а22 - а122 )p4 - 11к22 + а22к11 - 2а12к122 + 11к22 - к112)= 0 . (4.61)

Уравнения (4.59, 4.60, 4.61) эквивалентны между собой и каждое из них называется уравнением частот или вековым уравнением. Оба корня уравнения частот относительно р2 вещественны и положительны.*

Р
ешение биквадратного уравнения (4.61) запишем в виде:

где: а = а11а22 -а122 ; b = а11к22 + а22к11 -12к12; с = к11к22 -к122

Каждому положительному значению корня р1 и р2 , т. е. каждому из двух значений частот будет соответствовать одно частное решение (4.57) со своими значениями постоянных

А2 , А2 , ε .

Ч
астные решения линейно независимы и поэтому общее решение системы уравнений (4.58) будет линейной комбинацией решений (4.57):

М
ежду числами А11 и А21 , A12 и А22 имеется связь, которая определяется уравнениями (4.58). Если в уравнения (4.58) подставить p1 или р2, то определитель системы (4.58) обра­тится в нуль. Следовательно, из двух уравнений независимо только одно, причем любое. Выберем, например, первое уравнение и получим из него отношение:


Каждому значению частот р1 и р2 соответствуют значения μ1 и μ 2:

Т
аким образом: А21 = μ1А11, А22 = μ 2А12. Общее решение (4.63) принимает вид:



* Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. Т2. - М.: Наука, 1971. - 460с.




В решении (4.65) значения р1 ,р21 , μ 2 определяются через известные параметры маятника, а значения А1112, ε1 , ε12произвольные постоянные, определяемые из начальных условий движения.

И
з общего решения (4.65) следует, что движение маятника около положения устойчивого равновесия состоит из двух независимых колебаний:



Первое колебание по координатам yr, и υ происходит с частотой р1 , а второе — с частотой р2. Эти колебания называются главными. Коэффициенты μ1 и μ 2, определяемые по формулам (4.64), определяют формы колебаний и имеют простой физический смысл, показывая, во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания по одной из коор­динат больше (или меньше) амплитуды другой координаты.

Круговые частоты р1 и р2, а также коэффициенты μ1 и μ 2 являются основными характеристиками малых колебаний маятника. Все координаты в каждом главном колебании изменяются по гармоническому закону и имеют одинаковые частоты и фазы. Это означает, что координаты одновременно обращаются в нуль и одновременно достают амплитудных зна­чений. Амплитуды в каждом главном колебании находятся в постоянном отношении ц(, которое не зависит от начальных условий.



Пример 9.

О
пределим собственные частоты и формы колебаний маятника с параметрами по рис.4.12. Имея в виду, что маятник имеет три упругие балки, работающие параллельно, по формуле (4.62) получим:



К
аждой частоте соответствует своя форма колебаний. Помножим в формулах (4.64) коэффициенты жесткости на три и получим:












В соответствии с полученными результатами, для первой (низшей) частоты амплитуда колебаний маятника по углу υ в 7914,4 раз больше амплитуды колебаний уr точки А крепления маятника с балкой. На второй (высшей) частоте это различие значительно меньше, т.е. более ощутимы колебания по параметру уr. Кроме того, изменилась фаза угла поворота маятника.

Формы колебаний маятника показаны на рис.4.13.









Рис.4.13. Формы колебаний маятника: а первая; б вторая

Таким образом, монокристаллический маятник с двумя степенями свободы имеет две главные формы колебаний относительно положения устойчивого равновесия, кото­рые характеризуются разными отношениями угловой амплитуды колебаний маятника к амплитуде линейных колебаний точки его крепления с упругими элементами (балками) подвеса.

В соответствии с уравнениями (4.54) и методикой, изложенной выше, получим уравнения частот маятника для четырех вариантов установки корпуса акселерометра.

Д
ля углов γo = 0° и γo = 180° установки корпуса относительно неподвижного основания уравнения частот имеет вид:





У
равнение (4.68) имеет решение вида (4.62), в котором:

Д
ля углов γo = 90° и γo = 270° установки корпуса относительно неподвижного основания уравнение частот имеет вид:

В уравнении (4.70) знак (-) перед членами, содержащими величину «g», соответствует углу γo = 90°, а знак (+) — углу установки γo = 270°.

Уравнение частот (4.70) при отсутствии демпфирования преобразуется к виду:






р
ешение которого соответствует (4.62), в котором:

Заметим, что в выражении для коэффициента b член m2gl на несколько порядков меньше остальных, и его можно не учитывать при расчетах.



Пример 10.

Р
ассчитаем частоты собственных недемпфированных колебаний маятника по рис.4.12 с параметрами: т = 0,29*10-3 [кг]; Jc = 1,775*10-9 [кг*м2];



Коэффициенты по зависимостям (4.69) имеют значения:

а = 0,514*10-12[кг2м2]; b = 16,601 *10-6 [кг222]; с = 0,224[кг2м24];


с = (0,224 + 0,031)


Коэффициенты а и b по зависимостям (4.72) имеют те же значения, а коэффициент

[кг2м24] .Результаты расчетов по формуле (4.62) приведены в таблице:






Частота

Кол-во упр. балок

Угол установки корпуса акселерометра

γo = 0°; γo =180°

γo = 90°

γo = 270°

P1

1

116,81[1/с] (18,6 Гц)

112,56 [1/с] (17,92 Гц)

124,87 [1/с] (19,88 Гц)

3

202,32 [1/с] (32,22 Гц)

194,96 [1/с] (31,04 Гц)

216,28 [1/с] (34,44 Гц)

Р2

1

5687,0 [1/с] (905,57 Гц)

5687,52 [1/с] (905,65 Гц)

5687,26 [1/с] (905,62 Гц)

3

9850,17 [1/с] (1568,49 Гц)

9851,07 [1/с] (1568,64 Гц)

9850,62 [1/с] (1568,57 Гц)

Из полученных результатов следует, что первая (низшая) частота собственных колебаний маятника зависит от его ориентации относительно основания. При этом наибольшее значение частоты соответствует углу γo = 270° («прямой» маятник), а наименьшее значе­ние — углу γo = 90° («перевернутый» маятник).

4.2.3. Численное интегрирование уравнений движения маятника акселе­рометра



На рис. 4.14-4.17 приведены результаты численного интегрированная уравнений (4.54) для установки акселерометра, соответствующей углу γo = 270° при условиях: кду = кдυ = 0,

γ = 0, хb0. Параметры вибрации выбраны такими, чтобы упругий подвес сохранял меха­ническую целостность. На всех рисунках в нижней части показаны линейные перемещения т. А (см. рис.4.12) yr = f(t) (тонкая линия) и крайней точки пластины уυ = атυ (тол­стая линия), а в верхней — площадь «ометаемая» пластиной маятника, на фоне которой — три мгновенные положения пластины, построенные по двум точкам уr и уυ. Оцифровка

соответствующих точек совпадает с оцифровкой положения пластины. Из полученных результатов следует:


  • на частотах вибрации основания, близких к первой главной частоте, колебания пластины имеют характерную форму биений;

  • на частотах вибрации основания больших первой главной частоты (100 Гц, 200 Гц, 500 Гц и т.д.) пластина совершает высокочастотные колебания с частотой вибрации осно­вания, которые модулированы с частотой первого главного колебания;

  • модуляция вынужденных колебаний пластины маятника с частотой первого главного колебания сохраняется и для частот вибрации основания больших второй главной частоты (рис. 4.16, 4.17);

  • время, в течение которого средняя линия колебаний пластины находится по одну сторону от среднего положения пластины равно половине периода первого главного' колебания;

  • узловые точки колебаний (точки пересечения мгновенного положения пластины с линией ее начального положения) не остаются постоянными по длине пластины (рис.4.16 а);

—при частотах вибрации основания 2000 Гц и больше возникают столь большие перегрузки и линейные перемещения точки соединения упругой балки с пластиной (т. А), кото­рые могут привести к разрушению упругой балки.










Рис. 4.15. Первые главные формы колебаний маятника при линейной вибрации оснований: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации, (указаны в окнах)






Puc.4.16. Вторые главные формы колебаний маятника при линейной вибрации оснований: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации, (указаны в окнах)

а)



б)


Рис.4.17. Вторые главные формы колебаний маятника при линейной вибрации оснований: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации, (указаны в окнах)

На рис. 4.18-4.20 приведены результаты численного интегрирования уравнений (4.54) для установки акселерометра, соответствующей углу γ0 = 270° при отсутствии угловой виб­рации (γ = 0). На маятник действует только горизонтальная вибрация (xb0), амплитуда вибрации 5∙10-6 м на всем диапазоне частот. Коэффициенты демпфирования рассчитаны по формулам (4.8) и (4.52), с учетом, что площадь, участвующая в демпфировании составляет 50% от общей площади:



На рис. 4.18-4.20 в нижней части толстой линией показаны линейные перемещения т. А (см. рис.4.12) уr = f(t) и тонкой линией линейные перемещения крайней точки пластины уυ = атυ.

В верхней части рис. 4.18-4.20 светлым фоном показана площадь «ометаемая» пластиной маятника, темным фоном — показана площадь «ометаемая» пластиной маятника пос­ле затухания собственных колебаний.

Из полученных результатов следует:

Вынужденные колебания пластины происходят вокруг некоторой точки — центра коле­баний. До частоты 413 Гц центр колебаний располагается со стороны упругого подвеса и на этих частотах крайние точки маятника движутся в одной фазе.

В диапазоне часто 413 Гц-1917 Гц центр колебаний расположен на пластине и на этих частотах крайние точки маятника движутся в противофазе.

На частотах выше 1917 Гц центр колебаний уходит за пластину, а крайние точки маят­ника движутся в одной фазе.






а)










Рис.4.18. Первые главные формы колебаний маятника: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации





б)

Окончание рис.4.18





а)







Рис.4.19. Вторые главные формы колебаний маятника: варианты а) и б) отличаются параметрами вибрации





б)













Окончание рис.4.19

Рис.4.20. Вторая главная форма колебаний маятника

4.2.4. Акселерометр на колеблющемся основании

Из полученных выше результатов следует, что при низкочастотных колебаниях основания, меньших и соизмеримых с первой главной частотой, основной формой колебаний является первая главная форма по координате υ. При высокочастотных колебаниях осно­вания, превышающих вторую главную частоту, движение пластины маятника можно рас­сматривать как поступательное по координате yr,т.е. перемещающейся параллельно самой себе. Следовательно, при указанных условиях возможно выполнение приближенного ана­лиза динамики маятника на основе уравнений, полученных из системы (4.54) без учета перекрестных связей между координатами υ и yr:





(4.73)




(4.74)

где функции F и Fγ0 вычисляются по зависимостям (4.55) с учетом того, что для уравнения

(4.74) в зависимостях для Fγ0 нужно положить υ = 0.

В зависимости от варианта установки акселерометра относительно основания в соответствии с выражениями (4.55) реакция маятника будет различной в ответ на угловую и линейную вибрацию. Вопрос о предпочтительном варианте установки акселерометра для измерения параметров угловой и линейной вибрации основания можно решить на основе анализа системы:

которую разрешим относительно информативного параметра υ для различных вариантов сил F и Fγ0 (4.55).




где знак (+) в числителе соответствует углу γ0 = 0°, а знак (-) — углу γ0 = 180°.

Для угловой вибрации основания (γ 0, хb = уb = 0) получены выражения:



где верхние знаки (+) или (-) соответствуют углу γ0 = 90°, а нижние — углу 270°.

Из полученных результатов следует, что только при углах γ0 = 90° и γ0 = 270° маятник наиболее чувствителен к углу γ наклона основания.


Для измерения низкочастотных изменений углов γ более предпочтительным является угол установки γ0 = 90° (перевернутый маятник), т.к. при этом будет наибольшим статичес­кое отклонение угла υ.

Для линейной вибрации основания (хв ≠ 0, ув ≠ 0; γ = 0) получены выражения:









где знак (+) в числителе соответствует углу γ0 = 0°, а знак (-) — углу γ0 = 180°.







где верхние знаки (+) или (-) соответствуют углу γ0 = 90°, а нижние — углу γ0 = 270°.

Из полученных результатов следует, что при измерении вертикальной вибрации углы установки акселерометра γ0 = 0° и γ0 = 180° равнозначны. При измерении горизонтальной вибрации (γ0 = 90° и γ0 = 270°) наибольшие значения углов υ будут соответствовать «пере­вернутому» маятнику (γ0 = 90°).

Предположим, что маятник подвержен угловым колебаниям основания, изменяющимся

по закону γ = γmsinωt т, ω— соответственно амплитуда и частота колебаний основа­ния). Воспользуемся зависимостями (4.55) (γ0 = 270°) и запишем уравнение (4.73) в виде:












Будем полагать, что и уравнение колебаний маятника представим в форме:




(4.75)






где:

— собственная частота колебаний маятника;


— относительный коэффициент демпфирования;



В уравнении (4.75) для частот ω < ω0 коэффициент N = 1. В самом деле, для ω = ω0 име­ем



N = 1 - (mа2γ2т )/(2JA). Для параметров маятника, например по рис. 4.12: т = 0,29∙10-3 кг,

а = 4,28∙10-3м, JA= 7,093∙10-9 кг∙м2 и для γm= (8˚/57,3˚) рад, получим N= 1 -7,29∙10-3 ≈1.

Полагая в уравнении (4.57) N = 1 и – sinωt = cost + 90), перепишем его в виде:





(4.76)

Уравнение (4.76) при принятых допущениях приближенно описывает первую главную форму колебаний маятника, установленного на основании, совершающем угловые колеба­ния (угловую вибрацию). Так как собственное движение маятника при наличии демпфиро­вания быстро затухает, найдем вынужденное движение маятника, описываемое частным решением уравнения (4.76). Для отыскания частного решения используем метод записи

уравнения (4.76) в комплексной форме. Введем в рассмотрение комплексную величину υ*,

действительная часть которой совпадает с выражением для смещения Re υ* = υ.

Зависимость возмущающего момента от времени также представим в комплексной форме:









так что M(t) = Re M*(t) = M0 cos(ωt + 90). Действительная часть решения уравнения:




(4.77)

будет совпадать с решением уравнения (4.76), т.к. коэффициенты уравнения являются дей­ствительными величинами.

Искомое решение уравнения (4.77) запишем в виде:



(4.78)


После подстановки величин υ*, ,  в уравнение (4.77), получим:






Комплексная амплитуда в показательной форме имеет вид:








Подставим (4.79) в (4.78):





Таким образом, действительное перемещение:

откуда определяется комплексная амплитуда:

Следовательно, величиныв формуле (4.79) представляют собой соответственно амплитуду колебаний маятника и запаздывание по фазе его перемещений по отношению к возмущающему моменту. Комплексная амплитуда (4.79) одновременно характеризует как действительную амплитуду, так и фазу колебаний.

Отношение величины А (4.80) к, так называемой, равновесной амплитуде

которая в рассматриваемом случае представляет собой статическую деформацию упругого подвеса пластины маятника под действием максимального момента при наклоне основания не угол называется коэффициентом динамичности:



Фазовый сдвиг колебаний маятника относительно колебаний основания в функции от отношения частот (безразмерной «частоты»):



Амплитуда колебаний маятника в функции от безразмерной частоты определяется вы­ражением:




Пример 11.

Вычислим амплитуды колебаний центра масс маятника и его фазовое запаздывание для значений при частотах угловых колебаний основания



и амплитуде

Параметры маятника:



количество упругих «балок» — 3. Получим:

Статическая амплитуда:

Результаты вычислений по формулам (4.82), (4.83) приведены в таблице:

Из полученных результатов следует, что маятник при не успевает отслеживать колебания основания и амплитуды его колебаний меньше статической амплитуды Приинерционные силы, действующие на маятник, вследствие колебаний основания, приводят к резкому возрастанию амплитуды его колебаний


1   2   3   4   5


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет