Iv акселерометры глава IV акселерометры осевой акселерометр прямого преобразования

4.3.3. Частотные характеристики

Частотные характеристики акселерометров могут быть получены на основе анализа передаточных функций (4.148), (4.149) для замкнутых по каналу обратной связи измери­тельных цепей, а также на основе передаточных функций, полученных из уравнений дви­жения чувствительной массы (пластины) акселерометра, в которые необходимо ввести вы­ражения для силы и момента, действующих на пластину со стороны датчика силы. Рас­смотрим обе эти возможности.

Воспользуемся, например, рис.4.29 б и, имея в виду, что функции W_n и W_oc определяют­ся выражениями (4.31) и (4.147), полагая W_ф = К_ф, запишем выражение силы, сформиро­ванной электростатическим датчиком:

где:

Добавим к левой части первого уравнения системы (4.128) величину F_р а к левой части второго уравнения величину F_р (ℓ + a)u, полагая, что имеется «п» упругих элементов под­веса чувствительной массы, получим:

Правило использования знаков в правых частях уравнений тоже, что и в системе (4.128).

Решение системы (4.172) относительно параметра υ(s), аналогично (4.129) имеет вид:

где:

В системах двойных знаков у величин (4.174) верхние знаки и параметр L, соответствуют углу установки γo ⁼ 270°, а нижние знаки и параметр L₂ — углу γo ⁼ 90°.

Из выражения (4.173) следуют передаточные функции чувствительного элемента акселерометра с учетом обратной связи:

где: К^э_пм = К^э_пг для угловой вибрации основания и : К^э_пм = К^э_пах — для линейной вибрации.

Передаточная функция ЧЭ акселерометра по возмущению (ÿ_в + g) в соответствии с

(4.133), (4.134) будет также иметь вид (4.175), где параметры Т = Т_э, ξ = ξ _э вычисляются

по выражениям (4.174), в которых следует положить g = 0, и при этом К^э_пм = К^э_пах = К^э_пм = К^э_паy

Передаточная функция ЧЭ акселерометра по возмущению в виде угла наклона основа­ния вычисляется по выражению (4.136), в которой параметр Т₁ вычисляется в соответствии

с (4.137), параметры Т = Т_э, ξ = ξ _э по выражениям (4.174), а коэффициент передачи

В соответствии с рис. 4.29 б запишем, например, передаточную функцию акселерометра по отношению к линейной вибрации a_x(s):

где

Пример 23.

Рассчитаем параметры передаточной функции (4.175) и построим частотные характе

ристики акселерометра для исходных данных:










Вычислим массу пластины

и ее моменты инерции:

Вычислим коэффициенты:

Выполним вычисления в соответствии с выражениями (4.174) и результаты представим в таблице для двух вариантов установки акселерометра: γ_o = 270° (прямой маятник), γ_o ⁼

90° (обращенный мятник) и двух значений коэффициента: К_э = 1,66 [Н/м] (наличие обрат­ной связи), К_{э =} 0 (отсутствие обратной связи):

Из полученных результатов следует, что для принятых исходных данных электростати­ческая обратная связь незначительно влияет на параметры передаточной функции. Запишем передаточную функцию (4.177) для γ_o ⁼ 270°:

Корни знаменателя передаточной функции: s₁= -8,44; s₂ = -24580,67 и, следователь­но, передаточная функция принимает вид:

Имеем далее:

Частотные характеристики для ограниченного диапазона частот приведены на рис.4.36.

Из полученного результата следует, что в диапазоне частот (0-50 Гц) отсутствует иска­жение измеряемой вибрации по амплитуде, но на верхних частотах, из-за сильного демп­фирования имеется значительное фазовое запаздывание выходного сигнала.*

Очевидно, что выражения (4.149) и (4.177) идентичны. Выполнив преобразования в соответствии с (4.149), получим выражение (4.177). При этом полезно привести формулы, показывающие характер зависимости параметров передаточной функции (4.177) от коэф­фициента .К_э характеризующего обратную связь измерительной цепи:

Где:

Передаточная функция с магнитоэлектрической обратной связью наряду с выражением (4.166), может быть получена на основании уравнений движения (4.172), в которых вместо величины К_э нужно применять величину К_эм, вычисляемую по формуле (4.163). При этом выражения (4.173), (4.174), (4.175), (4.176) справедливы и для акселерометра с магнито-

электрической обратной связью, но при этом нужно полагать

(см. 4.169),

и далее:

Запишем передаточную функцию акселерометра по отношению к линейной вибрации а_х (см. рис. 4.34):

Если в качестве выходной величины акселерометра считать не напряжение, а ток, тогда передаточная функция принимает вид:

Если в качестве возмущений, действующих на акселерометр, рассматривать наклоны основания, то передаточная функция ЧЭ акселерометра вычисляется по выражению (4.136), где параметр Т₁ необходимо вычислять в соответствии с (4.137), параметры Т= Т_эм и ξ, - ξ_эм в соответствии с (4.179), а коэффициент передачи по формуле:

Динамические характеристики акселерометра: нормированную амплитудно-частотную I(ώ)/I(0), фазо-частотную φ(ώ) и функцию переходного процесса h(t) можно представить известной системой соотношений, если в (4.180) и (4.181) положить s = jώ и выполнить соответствующие преобразования:

где: A(w), A(0) - соответственно выходное напряжение или выходной ток акселерометра на произвольной частоте и при постоянном выходном сигнале, например, а_х =9,81м/с ;

К = q, либо К = q/(R_H + R_L )

Наконец отметим, что справедливы и замечания, выраженные в форме равенств (4.178), в которых для рассматриваемого варианта магнитоэлектрической обратной связи следует полагать К_э = К_эм.

Пример 24.

Рассчитаем частотные характеристики акселерометра с магнитоэлектрическим датчи­ком силы в канале обратной связи.

Для маятника (пластины) ЧЭ имеем:

Используем данные, полученные в первом примере п. 4.3.2:

имеем также n=3; k₁₁ = 2,036∙10³ [Н/м]
Вычислим параметры передаточной функции (4.180):

Найдем собственную частоту акселерометра:

Так как ξ>1, передаточная функция (4.180) принимает вид:

где: T_эм1 = 1/s₁ = 8,34∙10^-4 c; где: T_эм2 = 1/s2 = 1,71∙10^-4 c; s₁ = - 1198,98; s₂ = -5838,46 – корни знаменателя передаточной функции (4.180). Имеем далее: 20lg[(0,121)/1] = -18,34

ω₁= 1/T_эм1 = 1198,91 1/с, lgω₁ = 3,08;

ω₂= 1/T_эм2 = 5838,46 1/с, lgω₂ = 3,76;

выполнено построение амплитудной частотной и фазовой частотной характеристик.

Устойчивость акселерометра очевидна, так как амплитудная характеристика располагается ниже оси абсцисс.

------------------

Пример 25.

Рассчитаем нормированные частотные характеристики для акселерометра с исходными

данными из предыдущего примера.

Результаты расчетов приведены в таблице, в которой значения А(ω)/А(0) приведены в безразмерных цифрах, которые переведены также в децибелы, имея в виду, что изменение

в 3 дБ в линейном масштабе соответствует отношению примерно в √2 = 1,41 раза.

По данным таблицы на рис. 4.38 построены частотные характеристики. Очевидно, если амплитудную характеристику на рис. 4.37 «поднять» до оси абсцисс, то получим нормированную характеристику, идентичную характеристике

4.3.4. Ошибки измерения

Если прибор состоит из звеньев, преобразующих входной сигнал х в выходные сигналы звеньев у_ь у₂, .. .у_п, то вследствие погрешностей звеньев Δу₁,Δу₂, .. Δу_п, погрешность прибора:

Где γ: = Δу/y; Δу_i/y_i; β - коэффициент влияния i-ro звена на суммарную погрешность.

Для определения β_i предположим, что все звенья, кроме i - го, не имеют погрешностей и тогда из (4.184) получим:

а так как

соответственно крутизна и приращение крутизны характеристики прибора);- крутизна и приращение крутизны i - го звена),

тоПринимаяполучим:

(4.185)

Для схемы прибора с последовательным соединением звеньев (рис.4.7) имеем

и получими, следовательно, суммарная погрешность равна сумме

погрешностей всех звеньев.

Для схемы прибора с параллельно-встречным соединением звеньев (рис. 4.34) имеем

— соответственно коэффициенты передачи прямой и обратной

цепи), а частные производные:

В соответствии с (4.185) коэффициенты влияния прямойи обратнойцепи:

(4.186)

а общая погрешность согласно (4.184) равны:

(4.187)

гдепогрешности, вносимые прямой и обратной цепью. На рис. 4.39 показана изме

рительная цепь акселерометра, эквивалентная схеме на рис. 4.34 для установившегося ре-

жима, с учетом ошибок прямой 8 и обратной 8_0С цепей, где:



Рис. 4.39. Структурная схема акселерометра

В соответствии с (4.186), (4.187) и рис. 4.39 суммарная погрешность акселерометра определяется равенством:

Пример 26.

Рассчитаем коэффициенты влияния ошибокдля акселерометра с параметрами




(из примера п. 4.3.2):

По формулам (4.186) получим: Из полученного результата следует, что влияние прямой и обратной цепи для заданных параметров примерно одинаково.

Основными причинами, вызывающими погрешность измерений акселерометра явля­ются температура, вибрация и перекрестные ускорения. Изменение температуры окружаю­щей среды приводит к изменению значения диэлектрической проницаемости 8, зазора h и линейных размеров маятника и провода катушек электромагнитного датчика момента. По­ясним последнее утверждение. Имея в виду, что с большой точностью имеют место при­ближенные равенства.(см.4.169) и(см. 4.174) выражение (4.168) для крутизны характеристики акселерометра с выходом по напряжению принимает вид:
(4.188)

Выражение для крутизны характеристики с выходом по току:

(4.189)

Пример 27.

Вычислить погрешность расчета по приближенной формуле (4.189). Исходные данные:

Значение крутизны, вычисленное по точным фор­мулам (см. первый пример п. 4.3.2)Вычислим крутизну характери­стики по формуле (4.189):

Относительная погрешность вычислений 11,54 %.

На основании расчета, выполненного в примере, заключаем, что выражение (4.189)может быть использовано для анализа погрешностей акселерометра. Установим влияние тем­пературы на погрешность измерений акселерометра, полагая В = const и р = const.

Вычислим частные производные по температуре от величин, входящих в q, перейдем к конечным разностям и результаты разделим на исходное выражение (4.189). В итоге полу­чим выражение для относительной температурной погрешности акселерометра:

(4.190)

Отметим, что конструктивными приемами относительная ошибка крутизны от темпе­ратурных расширений монокристаллического маятника может быть скомпенсирована. Это относится и к зазору в случае если маятник и крышки, между которыми он находится, выполнены из одного материала. В случае если крышки изготовлены из другого материала, например из оптического стекла, полной стабилизации зазоров достичь не удается. Таким образом, температурная погрешность акселерометра обусловлена изменением зазоров между пластиной маятника и крышками, длиной провода катушек и, следовательно, изменением нормированного тока. Следовательно, требуется тщательная температурная калибровка акселерометра.

Погрешность акселерометра, обусловленная несимметрией магнитоэлектрической сис­темы датчика момента, рассмотрена в работе [67]. Доля этой составляющей погрешности незначительна.

При действии перекрестного ускорения возникает дополнительная деформация упру­гих элементов подвеса и соответствующие им перемещения маятника. Перемещения вдоль оси у (рис. 4.10) совпадают с направлением оси чувствительности и компенсируются дат­чиком момента, т.е. ошибки не вносят. Перемещения маятника вдоль оси z относительно неподвижных электродов датчика перемещений изменяют эффективную площадь перекры­тия электродов и без принятия конструктивных мер могут привести к случайной ошибке. Вероятность появления указанной ошибки предотвращается увеличением площади элект­родов на крышках.

Заметим, что изложенный материал по погрешностям имеет в основном ознакомитель­ный характер, т.к. эта проблема имеет самостоятельное значение. В частности, вопросы виброустойчивости акселерометров, в том числе с монокристаллическим маятником, рассмотрены в работе [67].