Лекции рассматриваются следующие вопросы: Кинематика точки. Введение в кинематику
Определение ускорения при координатном способе задания движения
жүктеу/скачать 130.16 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки
| Определение ускорения при координатном способе задания движения
Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем: , , Или
, , , т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул ; , , , где , , - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями. Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси , имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.5). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными (естественными) осями), направлены следующим образом: ось - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось - по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль , лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль - бинормалью. Рисунок 5 Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости ; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю ( ). Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость , a в момент приходит в положение М1 и имеет скорость . Тогда по определению . Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси и , проведенные в точке М . Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим: , . Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М1 оси параллельные и обозначим угол между направлением вектора и касательной через . Этот угол между касательными к кривой в точках М и М1 называется углом смежности. Напомним, что предел отношения угла смежности к длине дуги определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны в точке М. Таким образом, . Проекции векторов и на оси будут равны: , где и - численные величины скорости точки в моменты и . Следовательно, . Заметим что при точка М1 неограниченно приближается к М и одновременно . Тогда, учитывая, что в пределе , получим для выражение . Правую часть выражения преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на . Тогда будем иметь , так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при равны: Окончательно получаем: . Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю ( ). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинематики точки. жүктеу/скачать 130.16 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|