Параболалық типті айырымдылық схемалары

Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің теңдеуі болып табылады(диффузияя).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады

Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына u(x,t) түрде берілсе

Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары берілген

онда (2.1)-(2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші алғашқы-шектік есебі деп атайды (2.1).

Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік коэфициенті, ал (2.2), (2.3) ϕ₀(t), ϕ_l(t) функцияның көмегімен шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.

Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік мәні берілсе

Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (25.1), (2.5), (2.6), (2.4) есептерді (2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік шарты дейді.Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары берілген.

Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы іздестірілетін функция берілсе

(2.7)

(2.8)

Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (2.1), (2.7), (2.8), (2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды (2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (2.7), (2.8) шекаралық шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t), u(l,t).

Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік шарт мынандай түрде болады

Сол сияқты (2.9) – (2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.

Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі тектері беріледі.

2.1.2.Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері.Параболойдтық типті теңдеуде соңғы әдісте қолдану.Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан, (2.1)-(2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω _hτ

Кеңістіктік қадаммен h=l/N және уакыт бойынша қадаммен τ=T/K (рис 2.1).

Екі қабатты уақытты енгіземіз:

t^k=kτ -дың астындағы, u(x_j,t^k) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі (2.4) (x_j,t⁰)=ψ(x_j)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және t^k+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(x_jj,t^k+1), j=0,1,…,N іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.

2.1(сурет). Соңғы әр түрлі тор

(2.1.)-(2.4) (анықтамасы) есептерінің торлық функциясын j, k бүтін аргументтердің бірмәнділік көрсетулері функциясының мәні.

(2.12) берілген функцияға бірінші белгілі тордың функциясы, ал екіншісі – анықталуға жарайтын торлық функциясын енгіземіз.Оның анықталуы үшін

(2.1.)-(2.4) есептерінде (аппроксимациялаймыз) дифференциалдық операторлардың орнына ауыстырамыз.(«Сандық дифференциалдау» тақырыбын қараймыз),

(2.13)

(2.14)

(2.13) формуланы аламыз. (2.1.)-(2.4)-не (2.13),(2.14) қойсақ,соңғы әр түрлі жүйені аламыз.Мұндай есепке форма

j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту есептемей (2.15) байланысында анықталады. (2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.

Егер (2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,

(2.16)

онда (2.13), (2.16)-ны (2.1)-(2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.

Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын СЛАУ (2.17) үшдиагональды матрицаның шешімін табуға болады.Бұл СЛАУ формасы, жарамды өткізу әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді.

С

2.2.сурет.Жылу өткізгіштіктің теңдеуінің соңғы әр түрлі схеманың белгілі және белгісіз шаблонына арналған.

2.2суретінде (2.15) белгілі және (2.17) белгісіз шаблондары берілген (2.1)-(2.4) есептерін соңғы әр түрлі схемамен аппроксимациялау.

(2.15) белгілі соңғы әр түрлі схемасының жазылған формасы

Үстіңгі уақыттық қабаттың шешімі (САТЖ шешімінсіз) шығарылады торлық функцияның астыңғы уақыттық қабаттың уақыттық шешімінен шығарылады да,шығарылуы белгілі ( k=0 шешімі торлық функциямен формаланып,бастапқы(2.4.) шартпен шығарылады). Бірақ бұл сұлбада заттық жеткіліксіздік бар,сондықтан ол тұрақты шарт болып табылады, оны τ және h торлық мінездемеден аламыз.

Басқа жағынан,белгісіз (2.17) соңғы әртүрлі схемасы осындай формада жазылған.

(2.19)

СЛАУ –ды шығару керек екендігіне алып келеді,бірақ бұл схема абсолютті-тұрақты.

(2.18), (2.19) схемаларды анализдейміз. Сол дұрыс шешімі белгісіз болсын,ол уақыт бойынша өседі,басқаша айтқанда . Сонда,(2.18) белгілі схемамен байланысты шығарылуының әр түрлілігі түсірілген салыстырудың дұрыстылығымен,сондай-ақ меншікті торлық йункцияның мәні келесі уақыттық қабатпен анықталады,яғни шығарылу уақыт бойынша өсетіні байқалады.

(2.19) белгісіз функцияның өсетін шығарылымы,керісінше,шығарылу дұрыстығына қарағанда көтерілген,яғни торлық функцияның үстіңгі уақыттық қабатымен анықталады.

Сурет түсудің шығарылуымен ауысады,яғни қарама-қарсы бейнемен: белгілі соңғы әр түрлі схеманың шығарылуымен көтеріледі,ал белгісіз түседі. ( 2.3 суретті қараңыз).


-нақты шешім

-белгісіз шешім

-белгіді шешім

2.3 сурет. Аппроксимацияның екі жақты әдісі

Бұл анализдің негізінде құрудың нақты белгілі – белгісіз соңғы әр түрлі схемаладың таразыларымен кеңістіктік соңғы әр түрлі операторлармен, сондай-ақ ұсақталған τ және h қадамымен нақты (белгісіз) шығарылуы ″вилканы″ алған,егер белгілі және белгісіз схемалар дифференциалдық есептерді және бұл тұрақты схемаларды аппроксимациялайды,онда сеткалық мінездемеге бағытталу және h нөлге ұмтылуы,белгілі және белгісіз схемаладың шығарылуы әр түрлі жақтан нақты шешімге ұмтылады.

3. 
   
   
   
   жүктеу/скачать 1.26 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: