Лекция Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету. Жоспары
-теорема. Егер теңдеудің екі жағын да бірдей тақ көрсеткішті дәрежеге шығарсақ, онда пайда болған теңдеу берілген теңдеумен мәндес болады. 3-теорема
жүктеу/скачать 0.69 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 6-теорема.
| 2-теорема. Егер теңдеудің екі жағын да бірдей тақ көрсеткішті дәрежеге шығарсақ, онда пайда болған теңдеу берілген теңдеумен мәндес болады.
3-теорема. (мұндағы а >0, a ) теңдеуі f(x) = g(x) теңдеуімен мәндес. Бұл теоремаларды қолданғанда бөгде түбір пайда болмайды, түбірлердің жоғалып кетуі де мүмкін емес. Ал мына төмендегі теоремалар белгілі бір шарттар орындалғанда ғана жұмыс істейді, яғни оларды қолдану кезінде ұқыптылықты қажет етеді. 4-теорема. Егер f(x) = g(x) теңдеуінің екі жағын да бірдей, берілген теңдеудің анықталу облысының барлық жерінде мағынасы бар, осы облыстың ешбір жерінде нөлге айналмайтын h(х) өрнегіне көбейтсе, онда берілген теңдеуге мәндес f(x)h(х) = g(x)h(х) теңдеуі пайда болады. Бұл теоремамен жұмыс істегенде теңдіктің екі жағына да көбейтілетін h(х) өрнегінің: 1) берілген теңдеудің анықталу облысында мағынасы болуы; 2) берілген теңдеудің анықталу облысында нөлге айналмайтын болуы ескерілуі керек. 4-теоремадан ешқандай шартты талап етпейтін төмендегі салдар шығады: егер теңдіктің екі жағын да нөлден өзгеше с санына көбейтсе немесе бөлсе берілген теңдеуге мәндес теңдеу шығады. 5-теорема. Егер f(x)=g(x) теңдеуінің анықталу облысында теңдіктің екі жағы да теріс емес болса, онда теңдіктің екі жағын да бірдей жұп дәрежеге шығарғаннан кейін пайда болған теңдеуі берілген теңдеуге мәндес. f(x) = g(x) теңдеуінің екі жағын да жұп дәрежеге шығару үшін, теңдеудің анықталу облысында f(x) , g(x) шарттар орындалуы қажет. 6-теорема. және болса, онда болғанда теңдеуі f(x) = g(x) теңдеуімен мәндес. Бұл теорема бойынша ( ) теңдеуінен f(x) = g(x) теңдеуіне өту үшін теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыру керек. Егер теңдеуді шешу үдерісінде 4,5,6-теоремаларының шартындағы шектеулердің бірінің орындалуын тексерместен, қорытындысын ғана пайдалансақ салдар-теорема аламыз. Оған негізгі себеп, берілген теңдеудің анықталу облысының кеңейіп кетуінде. Егер теңдеуді шешудің белгілі бір кезеңінде теңдеудің екі жағын да қандайда бір өрнекке көбейтсек (әрине ол өрнек теңдеудің анықталу облысында мағынасы бар болуы керек), немесе теңдіктің екі жағын да жұп дәрежеге шығарсақ, немесе логарифмдік теңдеулерді шығару барысында теңдіктің екі жағындағы бірдей негіздегі логарифм таңбасын «тастап кетіп» жазатын болсақ, онда табылған барлық түбірлерді міндетті тексеру керек. Басқаша: теңдеуді түрлендіру үдерісінің белгілі бір кезеңінде теңдеудің анықталу облысының кеңеюі орын алса, онда міндетті түрде барлық табылған түбірлерді тексеруге тура келеді. Енді мектеп математика курсы деңгейінде қандай түрлендірулер жасаған кезде теңдеудің анықталу облысының кеңейіп кетуі мүмкін деген орынды сұрақ туады. Теңдеудің анықталу облысының кеңейіп кету жағдайлары үшеу: 1. «Бөлшектің бөлімінен құтқару кезінде». Теңдеудің құрамындағы бөлшектің бөлімінде g(x) өрнегі болса, теңдеудің екі жағын да g(x) 0 өрнегіне көбейтіп немесе бөлшекті қысқарту арқылы бөлшек бөлімсіз жазылады. Мұны еркін сөйлеу кезінде «бөлшекті бөлімінен құтқару» деп айта береді. Теңдеуде бөлім болмағаннан кейін шектеу де жоқ деген сөз. Демек теңдеудің анықталу облысы кеңейді. 2. Логарифмді «тастап кету» кезінде. Бірдей негіздегі логарифмдердің теңдігінен логарифм таңбасының астындағы өрнектердің теңдігіне көшу теңдеудің анықталу облысын кеңейтеді. Себебі логарифм таңбасы астындағы өрнектердің оң болатындығы ескерілмей отыр. 3. n жұп болғандағы = f(x) формуласын пайдалану кезінде. Шындығында да, егер мысалы, өрнегінің анықталу облысы f(x) 0 теңсіздігімен беріледі. Егер өрнегін f(x) өрнегімен алмастырылса, f(x) еркін қарастырылады да f(x) 0 шектелуі алынып тасталады, яғни анықталу облыс кеңейеді. Теңдеудің түбілерін тексеру екі жолмен жүргізіледі: барлық түбірлерді берілген теңдеуге қойып тексергенде, теңдеуді қанағаттандыратындар (дұрыс санды теңдікке айналдыратындар) теңдеудің түбірлері, ал қанағаттандырмайтындары бөгде түбірлер болады. табылған түбірлердің берілген теңдеудің анықталу облысына тиістілігі тексеріледі. Түбір анықталу облысында жататын болса, ол берілген теңдеудің түбірі, ал жатпаса бөгде түбір болғаны. Теңдеудің түбірлерін анықталу облысы бойынша тексеру тәсілі бір теңдеуден екінші теңдеуге өту кезіндегі анықталу облысының кеңейіп кетуінен басқа мәндес емес түрлендірулер болмаған жағдайда ғана тиімді. Бұл логарифмдік теңдеулерді шешу кезінде орынды. Ал, иррационал теңдеулерді шешу кезінде мәселе күрделілеу: теңдеудің табылған түбірлері анықталу облысына тиісті болғанымен де, олардың ішінде бөгде түбірлер болуы мүмкін. Мұндай жағдай теңдіктің екі жағын жұп дәрежеге шығаруға байланысты болады. Енді теңдеудің түбірлері жоғалып кететін жағдайларға тоқталайық. Мектеп математика курсы деңгейінде теңдеудің түбірінің жоғалып кетуі негізінен екі себепке байланысты: 1) теңдіктің екі жағын да бірдей h(x) өрнегіне бөлу кезінде (h(x) 0 екендігі анық белгілі болған жағдайдан басқа); 2) бір теңдеуден екінші теңдеуге өту кезінде теңдеудің анықталу облысының таралып кетуі. Бірінші жағдайдағы кемшіліктерімен күресу қиын емес: өрнектің нөлге тең емес екендігі алдын ала белгілі болмаса, теңдеудің екі жағында бірдей ол өрнекке бөліп жіберуге тыйым салынады. Оқушыны теңдеуін , деп шешуге үйрету керек. Екінші жағдай күрделі. Мұнда теңдеуді шешу үдерісінде формулаларды дұрыс қолданбауға байланысты түбірлердің жоғалып кетуі орын алады: жүктеу/скачать 0.69 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|