Н. Ж. Джайчибеков физика-математика Ўылымдарыны докторы, профессор
жүктеу/скачать 4.86 Mb.
|
qj q∗ q∗ . (35) t=0 q
j=1
Если q1 = q2 = ... = qn = +∞ , то в силу (9) получим
kfk∞ ≥ f (0) ∞ ∑
γt n Y j=1 νj (t) .
(36) Из соотношения (27) и из условий A ≡ Ap,q,θ,ω1,...,ωn=∞ иp11−q11= ... =p1n−q1n, имеем 1
( ∞ [ 1 1 ]ρ) ρ
+∞ A A˜ = ∑ t=0 a−tν (t) p1− q1 . (37)
Положив в лемме 2 α =p11−q11, в силу (37), которое обеспечивает выполнение (3), можно выбрать последовательность чисел {at}∞t=0, at ≥ 0 так, чтобы ∞
1 1
∑(at)θ<∞и ∑ t=0 t=0
ata−tν (t) p1− q1 = ∞. (38)
До сих пор, на последовательность {γt}из леммы 9 было наложено единственное условие – ее неотрицательность. (
Положим γt = ata−t Qnj=1 νj (t) 1 pj −1 . Тогда в силу первого соотношения из (38) 31     
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 ∞ ∑ t n Y ( 1−1 pj θ
∞ ∑
n tata−t Y (
pj −1
n Y ( 1−1 pj θ
∞ ∑
t=0 aγt j=1 vj(t) = t=0 a j=1
vj(t) j=1
vj(t) = t=0 aθt< ∞, т.е. выполнено (33). Следовательно, как отметили выше, функция f ∈ Bpωθ(Rn) . Осталось показать, что f /∈ Lq(Rn) . Для этого достаточно убедиться в том, что ряды в правых частях (35) и (36) расходятся. Действительно, пусть qj< ∞ хотя бы для одного номера j . Тогда, в силу (35) и второго соотношения (38), получим
∞ n 1−1
∞ n 1 n q∗ kf kq ∑ t=0 γt Y j=1 vj (t) qj = ∑ t=0 −t aat Y j=1
vj (t) pj −1 Y
j=1 1−1 qj vj (t)
=
∞ n 1 1 q∗ ∞ ( 1
1 q∗
= ∑ t=0 −1Y ata j=1 vj (t)
pj −qj = ∑ t=0
ata−tv(t)pj−qj = ∞
Если же qj = ∞ при всех j = 1, ..., n , то q∗= 1. Поэтому, в силу (36) и второго соотношения из (38), имеем kf k∞
∞ ∑
γt n Y j=1 vj (t) =
∞ ∑
ata−t n
j=1 vj (t)
( 1 pj −1
n Y
vj (t) =
∞ ∑
ata−t n
j=1 1 vj (t)pj= ∞. Тем самым, из соотношений (35) и (36) следует, что f /∈ Lq(Rn) . Теорема доказана. Замечание. При p = p1 = ... = pn, q = q1 = ... = qn утверждение теоремы 2.4 совпадает с теоремой 1 из [1]. При несовпадающих pj или несовпадающих qj утверждение теоремы 2.4 является новым. Перейдем к следствиям доказанной теоремы. Задача: при каких неулучшаемых соотношениях между числами n (n = 1, 2, ...) , 0 < θ ≤ ∞, r1 > 0, ..., rn > 0, 1 ≤ p1 < q1 ≤ ∞, . . . , 1 ≤ pn < qn ≤ ∞
Br1 ,..., rn n)⊂ Lq1,...,qn(Rn)?
В случае1 1 p1,..., pn,θ(R 1 1
p1−q1=... =pn −qn ответ на поставленный вопрос дает Следствие. Пусть n (n = 1, 2, ...) , 0 < θ ≤ ∞, r1> 0, ..., rn> 0, 1 ≤ p1< q1≤ ∞, . . . , 1 ≤ pn< qn≤ ∞ и
1 1 1 1 p1−q1=... =pn −qn. Тогда
1) если min j=1,...,n qj= q∗<+∞ , то 1
1 1
0 < θ < +∞, 1 >1 r1+ ... +rn p1−q1, 0 < θ ≤ q∗,1 =r11+ ... +r1np11 −q11. 32   
К.М. Сулейменов 2) если q1 = ... = qn = ∞ , то p1 = ... = p1 = p и Br1 ,..., rn(Rn) ⊂ C (Rn) ⇔
−1 −1
p,θ 0 < θ ≤ 1,1 nn r1+ ... + 1 rn
p. p ,...,p n
В частности (см. [8] и [9]), Bp,θ(R ) ⊂ C (Rn) ⇔ 0 < θ ≤ 1 . 3) Если 1 < q1 ≤ ... ≤ qν < qν+1 = ... = qn = ∞ , то
⇔ 0 < θ < +∞,1 r1+ ... + 1 rn −1 >1 pν+1,
0 < θ ≤ q1,r11+ ... +r1n ЛИТЕРАТУРА −1 =1 pν+1. 1. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского - Бесова с модулями непрерывности общего вида // Труды МИАН СССР, 1984, 170, С.86-104. 2. Коляда В.И. О вложении некоторых классов функций многих переменных // Сибирск. мат. ж. 1973,14, №4, С.766-790. 3. В.И. Коляда. Перестановки функций и теоремы вложения// УМН, 1989, 44, №5 (269), С.61-95. 4. Унинский А.П. Неравенства в смешанной норме для тригонометрических полиномов и целых функций конечной степени// Материалы Всесоюзного симпозиума по теоремам вложения. Баку, 1966. 5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: Наука, 1975. 6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977. 7. Гольдман М.Л. Метод покрытий для описания общих пространств типа Бесова// Труды МИАН СССР, 1980, 156, С.47-80. 8. H. Triebel. The structure of functions, Birkhдuser, Basel, 2001. 9. D.D. Haroske. Envelopes and Sharp Embeddings of function Spaces. Chapman & Hall/CRC Research Notes in Matematics, Vol. 437. Chapman & Hall/CRC, Boca Ration, Fl, 2007. К.М. Сілейменов Аралас нормалы Bωp,θ(Rn) Никольский – Бесов типтi анизотропты кеiстiктi енгiзiлу туралы Жґмыста аралас нормалы Bp,θω(Rn) Никольский – Бесов типтi анизотропты кеiстiктi енгiзiлу мәселесi зерттелген. Bp,θω(Rn) ⊂ Lq(Rn) енгiзiлуiнi ©ажеттi және жеткiлiктi шарттары аны©талЎан және шартты ©ажеттiлiгi ©осымша шарт ар©ылы дәлелденген. K.M. Suleimenov On the embedding of anisotropic spaces of Nikolskii - Besov Bωp,θ(Rn) in a mixed norm. In this work we study the embedding of anisotropic spaces of Nikolskii - Besov Bp,θω(Rn) in a mixed norm.
Necessary and sufficient conditions for the embedding Bω n)⊂ Lq(Rn) , and the necessity condition is proved under p,θ(R additional constraints. 33 Поступила в редакцию 10.10.2011 Рекомендована к печати 17.10.2011 
ИНФОРМАТИКА А.Н. Майманова (Шы??ырлау ауданыны? халы?ты? ?леуетi В данной работе предложены математческие модели течений суспензий в дисперсных системах. Эти математческие модели учитывают характеристики суспензии. В результате получены аналитические формулы для определения относительной вязкости суспензии. На основании анализа ряда химических производств, в которых реагирующие среды представляют собой суспензии, можно предложить следующую обобщенную технологическую схему (рисунок 1). Для проведения реакционно-диффузионного технологического процесса в химическом реакторе 1 проводится предварительное разделение суспензии на перфорированной поверхности в аппарате 2 для разделения суспензии. Суспензия подается в аппарат для разделения суспензии из смесителя для приготовления суспензии 3. В смеситель поступает твердая дисперсия, которая готовится в диспергаторе 4 и жидкие реагенты из емкости 5. После диспергатора также возможно разделение суспензии на перфорированной поверхности до ее поступления в реакционный аппарат. Осадки и шламы в виде густой суспензии образуются как после аппарата для разделения суспензии, так и в самом реакторе, если химическая реакция сопровождается образованием твердой фазы. Эти осадки и шламы поступают в узлы выгрузки и затем выводятся из системы шнеками 6. Таким образом, можно выделить следующие этапы обработки суспензий в подобных химико-технологических схемах: - предварительная подготовка суспензии для достижения необходимого фракционного состава с помощью аппарата для разделения суспензий; - осуществление основного производственного процесса в реакторе; - выгрузка и транспортировка осадка или шлама. Образовавшиеся в реакторе продукты также могут представлять собой суспензии, которые нуждаются в последующей обработке для достижения заданного качества. Эта обработка может заключаться в доведении дисперсного состава до заданной степени с помощью управляемой коагуляции и стабилизации суспензии. Этот процесс происходит в специальных технологических системах. При этом возможно добавление специальных реагентов в суспензионную смесь и последующая обработка в реакционно-диффузионных аппаратах и осадителях. В той или в иной мере описанная схема применима ко многим химико-технологическим производствам в фармации, водоподготовке, производстве кислот (в частности, экстракционной фосфорной кислоты), производстве полимеров, нефтехимии и т.д. Далее в работе излагаются результаты наших исследований реологии низко концентрированных и густых суспензий и методики расчета основных узлов описанной обобщенной схемы. Экспериментальные исследования и опыт эксплуатации промышленного оборудования показывают, что закономерности течения вязких суспензий и осадков, образующихся в химических аппаратах, существенно отличаются от закономерностей течения многих сред с известными реологическими характеристиками. Причем, особенности течения суспензий и осадков выражаются как в специальном виде уравнений движения, так и в специфической
Б.Ч. Балабеков постановке граничных условий [1, 2]. В настоящей работе предложены новые подходы к математическому описанию течения суспензий и осадков, учитывающие экспериментально обнаруженные характеристики течения таких систем. Рисунок 1 - Обобщенная схема суспензионных реакционно-диффузионных процессов В соответствии с этим, уравнения движения жидкого слоя в приближении Нуссельта [1] можно записать в следующем виде: ∂( µs ∂U + ρsg cos γ = 0 (1) ∂y ∂y
где U - продольная компонента скорости пленки жидкости, m/s ; g - ускорение свободного падения, m/s2; γ - угол наклона опорной поверхности. Эффективная вязкость суспензии с учетом влияния частиц твердой фазы, взвешенных в жидкости, определяется из соотношения [2]:
µs= µlµr где µl- вязкость чистой жидкости, P a · s ; µr- относительная вязкость суспензии, (2)
зависящая от содержания твердой фазы в суспензии. Эффективная плотность суспензии c учетом запыленности: ρs= ρl(1 − ϕ) + ρdϕ (3)
где ϕ - объемное содержание твердой фазы в текущей пленке; ρl- плотность конденсата, kg/m3; ρd - плотность твердой фазы, kg/m3. Относительную вязкость суспензии µr в работе [2] предлагается рассчитывать по формуле: 35    
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 µr = ( 1 − ϕ ϕm −α (4) где ϕm- максимально возможное объемное содержание твердой фазы в конденсате, при которой его можно еще рассматривать как жидкость; α - эмпирический показатель. Известно [3, 4], что для широкого класса жидкостей с гидрофильными включениями мелкодисперсной твердой фазы в широком диапазоне изменения режимных параметров справедливы оценки: ϕm≈ 0.68, α ≈ 1.82 В то же время, как видно из формулы (4), при ϕ −→ ϕm , эффективная вязкость, (5)
рассчитанная по формуле (4), стремится к бесконечности. Это обстоятельство противоречит данным экспериментальных исследований [1]. Действительно суспензию с максимальным содержанием твердой фазы можно отнести к плотным осадкам, которые обладают текучестью. Поэтому мы предлагаем несколько иную модель, устраняющую отмеченное противоречие. Во-первых, для малых значений параметра ϕ модель должна быть согласованной с формулой (4). Во-вторых, для ϕ −→ ϕm должно реализовываться асимптотическое поведение µr −→ µm , где µm - некоторое предельное значение относительной вязкости. Введем параметр ϕ β = ϕm− ϕ (6)
В соответствии с нашими предположениями функция µr(β) должна удовлетворять условиям: dµr dβ (0) = α
(7) lim µr= µm β→∞ µr(0) = 1 Наиболее простое выражение для искомой функции имеет вид: αµm (8)
(9)
µr = µm−1 β + 1 α µm−1 β + 1 (10) Более простое выражение для искомой функции можно записать в следующем виде: αµmβ µr = αβ + µm
+ 1 (11)
Как легко убедиться непосредственной проверкой обе эти функции удовлетворяют приведенным выше условиям. На рисунках 2 и 3 показаны некоторые результаты расчетов по формулам (4), (10) и (11) для различных значений предельной относительной вязкости. Из графиков видно, в диапазоне концентраций твердой фазы в суспензии менее 0.2 разница расчетных значений относительной вязкости по формулам (4) и (10), (11) не превышает 18% при µm ≥ 20 . Однако, в диапазоне концентраций от 0.2 до 0.5 расчетные значения уже отличаются более чем на 50% даже для µm = 1000 .
  
Б.Ч. Балабеков Рисунок 2 - Зависимость относительной вязкости суспензии от концентрации твердой фазы по формуле (10). Расчет по формуле (10): 1 - µm= 2 , 2 - µm= 20 , 3 - µm= 100 , 4 - µm= 1000 ; 5 - расчет по формуле (4) Рисунок 3 - Зависимость относительной вязкости суспензии от концентрации твердой фазы по формуле (11). Расчет по формуле (11): 1 - µm = 2 , 2 - µm = 20 , 3 - µm = 100 , 4 - µm = 1000 ; 5 - расчет по формуле (4) жүктеу/скачать 4.86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
