Разложение суммы квадратов в однофакторном да
жүктеу/скачать 2.64 Mb.
|
| 13. Метод Бокса-Уилсона.
На основе малой серии опытов строится линейное описание поверхности отклика в окрестности начальной точки. В центре этой локальной области определяется значение градиента, после чего начинаются опыты в направлении градиента. Бокс и Уилсон предложили использовать дробные факторные планы для поиска линейной модели. Метод состоит из последовательности циклов, каждый из которых содержит два шага. 1. Построение линейной модели в окрестности некоторой начальной точки с использованием подходящего факторного плана. Окрестность начальной точки, определяемая интервалами варьирования переменных, должна быть не слишком малой, чтобы можно было выявить линейные эффекты на фоне случайных возмущений, и не настолько большой, чтобы обеспечить адекватность линейного приближения. Соотношение между интервалами варьирования по отдельным переменным должно быть таким, чтобы величины коэффициентов регрессии в случае их значимости имели бы одинаковый порядок. В случае адекватности линейной модели коэффициенты регрессии совпадают с компонентами градиента, т.е. , где i, j,…,k – направляющие векторы осей координат. Обычно переходят к нормированному градиенту делением его компонент на норму либо просто на . Компоненты нормированного градиента обозначим . 2. Пошаговое увеличение величины целевой функции (движение в направлении градиента). Координаты точки наблюдения на -м шаге при движении в направлении градиента определяются по формуле: , где ≥1 – параметр, позволяющий управлять величиной шага, а следовательно, скоростью движения. Чем ближе исследователь подходит к стационарной области, тем меньше . Движение в направлении градиента продолжается до тех пор, пока возрастают значения выходной переменной. В противном случае вновь реализуют факторный план, находят новое линейное приближение и цикл повторяется снова. Если же модель оказывается неадекватной, то это означает, что исследователь либо достиг стационарной области, либо необходимо линейную модель дополнить взаимодействиями. В стационарной области метод Бокса−Уилсона неработоспособен, здесь необходимо переходить к квадратичным моделям. Геометрическая интерпретация метода приведена на рис.4. Здесь поверхность отклика задается линиями уровня. x2 x1 Рис. 4. Схема метода Бокса–Уилсона Рассмотрим в качестве примера использование метода Бокса−Уилсона для поиска максимума функции . (6.11) Допустимая область изменения переменных: 0х120, 0х210, 1х315. Начальная точка поиска х0= =(3,2,4). Линейное приближение будем строить в окрестности начальной точки, задаваемой условиями: , i=1,2,3. Значения i желательно подбирать такими, чтобы приращения функции по каждому из аргументов были сопоставимы, то есть . Примем 1=1, 2=2, 3=3. В соответствии с (6.1) стандартизованная переменная , если , и при . Линейная модель требует для своей оценки не менее четырех экспериментов. Воспользуемся ДФЭ 23-1 с ГС: (табл. 16). Таблица 16
В последнем столбце табл.16 содержатся значения функции (6.11) для исходных переменных, то есть 40,8=у(4,4,7) и так далее. МНК-оценки коэффициентов линейной модели составят: ; ; . Отнормируем полученные компоненты градиента, поделив их на максимальное значение : b1=3,4/4,3=0,79, b2=1, b3=0,91. Движение в направлении градиента представлено в табл.17. Таблица 17
Движение в направлении градиента после четвертого шага невозможно из-за ограничения на х3. Теперь следует определить градиент в точке x0+3bii. Поскольку темп роста функции замедлился на последних шагах, область линейного описания следует сузить, уменьшив значения i. жүктеу/скачать 2.64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||