Столбцов. Если
жүктеу/скачать 174.12 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Сложение линейных операторов
- Умножение линейных операторов
- Умножение линейного оператора на число
| Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения
A(x1+x2)=Ax1+Ax2. A(λx)=λAx. Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R. Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение
где A - m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:
Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x. Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда
является разложением x в по базису . Применим оператор A к базисным векторам :
где aij − координаты полученного вектора в базисе . Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем
Сделаем следующее обозначение:
Тогда равенство (5) примет следующий вид:
Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты yi, i=1,2,...,m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2,...n с коэффициентами aij i=1,2,...,m; j=1,2,...,n. Построим матрицу A с элементами aij:
Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:
Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и . 3.5. Действия над линейными операторами Сложение линейных операторовПусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B - mxn − матрицы соответствующие этим операторам. Определение. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством
где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R. Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором. Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:
Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2,...m, j=1,2,...n, т.е.
Умножение линейных операторовПусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T. Определение. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором. Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C
можно записать в виде матричных равенств
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
Учитывая произвольность х, получим
Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB. Умножение линейного оператора на числоПусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K. Определение. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:
Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства
можно записать в виде матричных равенств
где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
Учитывая произвольность х, получим
Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ. 3.6. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора Пусть дано линейное пространство и действующий в нем линейный оператор ; в этом случае оператор переводит в себя, то есть . Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора , если оператор переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число называется собственным значением или собственным числом оператора , соответствующим собственному вектору . Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов. 1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора , отвечающих одному и тому же собственному числу , является собственным вектором с тем же собственным числом. 2. Собственные векторы оператора с попарно различными собственными числами линейно независимы. 3. Если собственные числа , то собственному числу соответствует не более линейно независимых собственных векторов. Итак, если имеется линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам , то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства Теорема. Матрица линейного оператора в базисе имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса – собственные векторы оператора . Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов. Пусть дан вектор , где – координаты вектора относительно базиса и – собственный вектор линейного оператора , соответствующий собственному числу , то есть . Это соотношение можно записать в матричной форме . (*) Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания , причем , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда . Таким образом, для того, чтобы было собственным числом оператора необходимо и достаточно, чтобы . Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений: (1) Где – матрица линейного оператора. Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю . Получили уравнение для нахождения собственных чисел. Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть – характеристическим многочленом матрицы (оператора) . Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду. Пусть – вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы. жүктеу/скачать 174.12 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|