1. Модель атома Бора
жүктеу/скачать 2.17 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Примеры решения задач
- Задачи для самостоятельного решения
- 2. Волны де Бройля
|
1. Модель атома Бора В соответствии с постулатами Бора, электрон в атоме водорода может двигаться лишь по круговым орбитам, для которых момент импульса  удовлетворяет условию , где me – масса электрона; r – радиус орбиты; v – линейная скорость движения электрона; ћ = h/2π = 1,0546·10–34 Дж·с ;n = 1, 2, 3,… – целое число.
Радиус орбиты с номером n равен , (1.1)
где Z e– заряд ядра атома; e – заряд электрона. При этом энергия электрона зависит от n: . (1.2)
При переходе электрона с орбиты n1 на орбиту n2 (n1>n2) излучается фотон, частота которого определяется обобщенной формулой Бальмера . (1.3)
Здесь , (1.4)
где Движущийся электрон на атомной орбите эквивалентен элементарному току, обладающему магнитным моментом pm, пропорциональным орбитальному моменту импульса:
При попадпнии атома во внешнее магнитное поле В, электрон начинает прецессировать вокруг направления магнитного поля с частотой , (1.6)
которая называется ларморовой частотой. Примеры решения задач 1. Определите для атома водорода а) радиус первой боровской орбиты, б) скорость движения электрона по этой орбите и в) частоту вращения электрона. Решение. Кулоновская сила, действующая на электрон в атоме водорода, является центростремительной . С другой стороны в соответствии с постулатом Бора . Решая совместно эти два уравнения и подставляя для атома водорода значения Z = 1 и n = 1, найдем радиус первой орбиты и скорость: и . Частота вращения определяется из соотношения f1 = v1/(2πr1). Подставляя численные значения, получим r1 = 52,8 пм, v1 = 2,19106 м/с и f1 = 6,61015 Гц.
2. Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй. Решение. В соответствии с формулой Бальмера (1.3), при переходе электрона с уровня n1 на уровень n2 испускается фотон частотой . Энергия такого фотона равна . Подставляя n2 = 2 и n1 = 3, получаем Е = 1,89 эВ.
3. Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода. Решение. Магнитный орбитальный момент электрона, движущегося по круговой орбите с линейной скоростью v (рис.1.1), равен pm = IS, где S = πr2 – площадь поверхности орбиты электрона, I = e/T – эквивалентный ток, создаваемый движением электрона. Здесь Т – период обращения электрона по орбите, равный T = 2πr/v. Подставляя эти выражения, имеем pm = evr/2. Используя постулат Бора mevr = nћ, получаем . Для n = 3 магнитный момент равен pm = 2,810–23 Ам2.
Рис.1.1
4. Энергия ионизации атома водорода Ei = 13,6 эВ. Определите первый потенциал возбуждения этого атома φ1. Решение. Энергия ионизации соответствует переходу электрона из основного состояния n = 1 в состояние с n = ∞: Ei = eφi = hR. Возбуждение соответствует переходу невозбужденного атома n = 1 в состояние n = 2: . Отсюда первый потенциал возбуждения φ1 = 10,2 В.
5. Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном состоянии, фотоном с энергией Е = 17,7 эВ. Определите скорость электрона v за пределами атома. Решение. Энергия фотона уходит на ионизацию атома и сообщение вырванному электрону кинетической энергии E = Ei + mev2/2. Отсюда . Подставляя Ei = 13,6 эВ, получим v = 1,2106 м/с.
Задачи для самостоятельного решения 1. На какой из боровских орбит (первой или второй) электрон в соответствии с законами классической электродинамики (I ~ ω2, где I – интенсивность излучаемого света, ω – угловая скорость движения по орбите) излучал бы сильнее? Во сколько раз? 2. Определите изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона длиной волны 1,0210–7 м. 3. Определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по второй орбите атома водорода. 4. Вычислить частоту ларморовой прецессии электронных оболочек атомов: а) в магнитном поле Земли В = 510–5 Тл. 5. Определите изменение орбитального магнитного момента электрона при переходе его с третьей боровской орбиты на первую. 6. Найти для иона He+ радиус и скорость электрона на первой боровской орбите. 7. Определите длину волны, соответствующую переходу электрона в атоме водорода с шестой орбиты на вторую. К какой серии относится эта спектральная линия? 8. Вычислить частоту ларморовой прецессии электронных оболочек атомов в магнитном поле В = 50 Тл. 9. Каково расстояние между частицами системы в основном состоянии и соответствующая энергия связи, если ядром системы служит протон, а вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, что и электрон, но массу в 207 раз большую? 10. Какие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн 94,5 до 130 нм? 11. У какого водородоподобного иона разность длин волн между основными линиями серий Бальмера и Лаймана равна 59,3 нм? 12. Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию He+, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 121,4 нм и 30,35 нм. 13. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода? 14. Линии каких длин волн возникнут при переходах атома водорода из состояния n=3? 15. Потенциал ионизации водородного атома равен 13,6 эВ. Исходя из этого, определить, сколько линий серии Бальмера попадает в видимую часть спектра. 16. В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 9 раз меньше, чем у атомарного водорода. Определите элемент, которому принадлежит данный спектр. 17. Какую скорость приобретает первоначально покоившийся атом водорода при испускании фотона, соответствующего основной линии серии Бальмера? 18. Определите, какая энергия требуется для полного отрыва электрона от однократно ионизированного атома гелия, если электрон находится в основном состоянии. 19. Фотон с энергией 15 эВ выбивает электрон из атома водорода, находящегося в основном состоянии. С какой скоростью движется электрон вдали от ядра? 20. Определить для иона He+ потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны основной линии серии Лаймана. 21. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон со второй боровской орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром. 22. Первый потенциал возбуждения атома водорода φ1 = 10,2 эВ. При какой температуре Т средняя кинетическая энергия атомов водорода равна энергии возбуждения? 23. Определить электрона на 2-й круговой боровской орбите иона He+. 24. Определите, какая энергия требуется для полного отрыва электрона от однократно ионизированного атома гелия, если электрон находится в состоянии с n = 3. 25. Определите частоту света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона на уровень n = 2, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.
|