8 упражнения (226 страница)

Доказать, что фундаментальная матрица Х(t) действительной приводимой системы

является нормальной тогда и только тогда, когда для суммы характеристических показателей ее решений выполнено равенство Ляпунова

В частности, для системы

где А - действительная постоянная матрица, ее фундаментальная система X (t) нормальна лишь тогда, когда

Нақты қысқартылатын жүйенің іргелі матрицасы X(t) екенін дәлелдеңдер

егер оның шешімдерінің сипаттамалық дәрежелерінің қосындысы Ляпунов теңдігін қанағаттандырса ғана қалыпты болады

Атап айтқанда, жүйе үшін

мұндағы А- нақты тұрақты матрица, оның іргелі жүйесі X (t)

X(t) қалыпты іргелі матрица деп алайық. Онда

Енді сипаттамалық көрсеткіштердің қосындысын қарастырайық:

X(t) қалыптылығын пайдаланып, бұл өрнекті келесі түрде қайта жаза аламыз:

Осы өрнекті -ден t-ге дейінгі уақыт бойынша интегралдаймыз:

Екі жағын 2t-ға бөлеміз:

Х(t) нормалылығына сүйене отырып, соңғы өрнек нөлге тең, бұл Ляпунов теңдігін растайды.

Осы өрнекті -ден t-ге дейінгі уақыт бойынша интегралдаймыз:

Екі жағын 2t-ға бөлеміз:

Ляпунов теңдік шартынан соңғы өрнек нөлге тең екенін білеміз. Бұл

дегенді білдіреді, демек X(t) қалыпты.

жүйесі үшін, мұндағы А нақты тұрақты матрица, іргелі X(t) жүйесі қалыпты болады егер

=SpA