Тақырыбы: Сызықтық операторлар группасы Практикалық сабақтың мақсаты

жиыны группа құрайтынын түсіндіріп, меңгерту

1.Қайтарымды сызықтық операторға кері оператордың болуы

2.Кері оператордың бірмәнділік шартын анықтау

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 6.01, № 6.03, № 6.05, № 6.07, № 6.09, № 6.11

[11] 6-тарау, § 6, [12] §3, [8] 13-лекция, § 60-62,

1.Ұқсастық операторына кері операторды табу

2.Кері оператордың скалярын анықтау

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 6.02, № 6.04, № 6.06, № 6.08, № 6.10, № 6.12

[11] 6-тарау, § 6, [12] §3, [8] 13-лекция, § 60-62,

инварианттарын түсіндіріп, қасиеттерін меңгерту

1.Сызықтық оператордың рангсы мен дефектсінің байланысы

2.Сызықтық оператордың рангсы мен дефектсінің оператор берілген

векторлық кеңістіктің өлшемімен байланысын анықтау

№ 6.31, № 6.33, № 6.35, № 6.37, № 6.39, № 6.41

[11] 6-тарау, § 6, [12] §3, [8] 13-лекция, § 60-62,

1.Сызықтық оператордың образы векторлық кеңістік болатынын дәлелдеу

2.Образдың өлшемі сызықтық оператордың дефектсіне теңдігін дәлелдеу

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 6.32, № 6.34, № 6.36, № 6.38, № 6.40, № 6.42

[11] 6-тарау, § 6, [12] §3, [8] 13-лекция, § 60-62,

1. Әртүрлі оператордың характеристикалық теңдеуінің түбірлерін табу

2. Характеристикалық теңдеудің түбірлерінің скалярлар өрісіне тиісті

болатын-болмайтынын анықтау

№ 6.50, № 6.52, № 6.54, № 6.56, № 6.58, № 6.60

[11] 6-тарау, § 6, [12] §3, [8] 13-лекция, § 60-62

1. Ұқсас матрицалардың характеристикалық теңдеулерінің түбірлері

2. Характеристикалық теңдеудің еселі түбірлерін анықтау

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 6.51, № 6.53, № 6.55, № 6.57, № 6.59, № 6.61

[11] 6-тарау, § 6, [12] §3, [8] 13-лекция, § 60-62

векторлары мен меншікті мәндерін табу әдістерін үйрету

1.Сызықтық оператордың меншікті мәндерін анықтауышпен табу

2.Әрбір меншікті мәнге сәйкес келетін меншікті векторларды табу

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 1463, № 1465, № 1467, № 1469, № 1471, № 1473

[10] 4-тарау, §19, [2] 5-тарау, §3, [7] 3-тарау,§11, [5] 7-тарау, §33

1.Сызықтық оператордың меншікті векторларынан тұратын базистегі матрицасын анықтау

2.Сызықтық оператордың каноникалық түрін анықтау

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 1464, № 1466, № 1468, № 1470, № 1472, № 1474

[10] 4-тарау, §19, [2] 5-тарау, §3, [7] 3-тарау,§11, [5] 7-тарау, §33

диагональ түрге келтіру әдістерін үйрету

1. Сызықтық оператордың матрицасын диагональ түрге келтіру

2. Сызықтық оператордың меншікті векторлар базисіндегі матрицасы

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 1476, № 1478, № 1480, № 1482, № 1484, № 1486

[10] 4-тарау, §19, [2] 5-тарау, §3, [7] 3-тарау,§11, [5] 7-тарау, §33

1. Ұқсастық операторының матрицасын диагональ түрге келтіру

2. Проекциялау операторының матрицасын диагональ түрге келтіру

Әдістемелік нұсқаулар: Есептер шығару

№ 1475, № 1477, № 1479, № 1481, № 1483, № 1485

[10] 4-тарау, §19, [2] 5-тарау, §3, [7] 3-тарау,§11, [5] 7-тарау, §33

Бұл жағдайда немесе жазуларының орнына жазуы қолданылады.

Мектеп математикасында қарастырылған сызықтық, дәрежелік, көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық функциялардың бәрі де, жоғарыдағы анықтама мағынасында, функционалдық қатыстар (яғни функциялар) болады.

Анықтама. Егер  функционалдық қатыстың анықталу облысы шығу облысына тең болса, онда оны бейнелеу деп атайды.

Белгілеуі :АВ.

Шығу облысы мен келу облысы тең болған жағдайда жиынды өз-өзіне бейнелеу аламыз, оны жиынды түрлендіру деп те атайды.

Мысалы, y=x³ , y= sinx , y=a^x функциялары бейнелеу болады, ал y=tgx, y=log_ax функциялары бейнелеу емес.

y=x³ – сюръективті, , y=a^x - сюръективті емес.

y=a^x - инъективті, ал , y= sinx - инъективті емес.

Анықтама. Егер бейнелеу әрі инъективті, әрі сюръективті болса, онда оны биективті бейнелеу деп атайды.

Мысалы, y=x , y=x³ функциялары жиынын R өз-өзіне биективті бейнелеулер.

Мұндай ауыстырулар саны n! Болады.

Бейнелеу, ауыстыру ұғымдары БҚ- тың жеке жағдайлары болғандықтан, оларға БҚ- тарға қолданылатын инверсиялау, композициялау амалдарын қолдануға болады.

Сұрақтар:

1) y=log_ax функциясы бейнелеу болу үшін шығу, келу облыстары қандай жиындар болуы керек?

2) y=a^x функциясы биективті бейнелеу болу үшін шығу, келу облыстары қандай жиындар болуы керек?

3) Әрбір адамға оның бойының ұзындығын (сантиметр есебімен) сәйкестікке қоялық. Осы БҚ функционалдық қатыс, бейнелеу бола ма? Болса, бейнелеудің қай түрі?
Анықтама. Құр емес А жиынының декарттық n дәрежесін Аⁿ сол А жиынына бейнелеуді «А жиынында берілген n-ар алгебралық операция (амал)» деп атайды.

Натурал n саны операцияның «ар» лығы немесе орын саны, немесе рангсы деп аталады.

Егер n1 болса, операция унар деп, n2 болса, – бинар деп, n3 болса, - тернар деп аталады.

Егер n0 болса, операцияны нуляр дейді. Жиында нуляр операция берілді деген сөз сол жиынның бір элементі ерекшеленіп көрсетілді деген сөз.

Унар операцияға толықтыру амалы, терістеу амалы мысал бола алады.

Алгебрада көпшілік жағдайларда бинар алгебралық операциялар (БАО) қарастырылады . БАО үшін анықтама былайша жазылады:

(––БАО А-да ) (: А²А)

Анықтамасынан, жиында берілген БАО сол жиында тернар қатыс екені шығады. Ал керісінші , жиында берілгентернар қатыс БАО болу үшін ол екі шартты қанағаттандыруы керек: орындалатыны және бірмәнділігі.

Әдетте БАО- ларды , , ,  , ,  т.с.с. символдарымен белгілейді.

Мектен белгілі, Натурал сандарды қосу, көбейту, дәрежелеу; нақты сандарды қосу, азайту, көбейту, бөлу (нөлден өзге санға); пікірлерді конъюкциялау, дизъюнкциялау, импликациялау, биимпликациялау, ; жиындарды қималау, біріктіру, азайту; квадрат матрицияларды қосу, көбейту амалдары БАО- ның мысалдары.

БАО-лардың коммутативті, ассоциативті, дистрибутивті, қайтарымды деген түрлері болады.

Сұрақтар:

1) БҚ-ты инверсиялау амалы қандай операцияға жатады?

2) БҚ-тарды композициялау амалы қандай операцияға жатады?

3) {0, 1} жиынында қандай ережемен БАО анықтауға болады?

Әдебиеттер:

[8], [9], [10], [14], [18], [29].

Математикада «алгебра» сөзін әртүрлі мағналарда қолданады: ол оқылатын пәннің атауы ретінде қолданылады және математикалық объект (нәрсе, ұғым) ретінде қолданылады.

Егер  шекті жиын болса, онда оның элементтерін ₁, ₂, ..., _n деп белгілеп, алгебраны А, ₁, ₂, ..., _n  деп жазады.

Мысалы, Z, ,  және N, ,  алгебралары біртипті  2, 2  . Сондай-ақ, мына төмендегі алгебраларда біртипті:

1)  N,  , 1  және  Z, , 0  - типі  2, 0 ;

2)  M_n(R), ,  , E   Q, ,  , 1  - типі  2, 2, 0 ;

3)  P,   және  В (АА)  - типі  1 ;

4)  P, , ,   және  В ( I ), ‾ , ,   - типі  1, 2, 2 ;

5)  R⁺ ,  , 1  және  R, +, 0 - типі  2, 0 ;

6)  R , 0 , 1  және  В (АА), Δ, АА - типі  0, 0 ;

7)  P,   және  В (АА), ◦  - типі  2 ;

Анықтама. Егер біртипті екі алгебраның біреуінің ізін екіншісінің ізіне бейнелейтін және барлық бас операцияларды сақтайтын бейнелеу болса, онда ол алгебраларды гомоморфты деп, ал бейнелеудің өзін гомоморфизм деп атайды. Егер осы гомоморфизм биективті болса, онда оны изоморфизм деп атайды, ал алгебралар изоморфты деп аталады.

Алгебраның өз-өзіне гомоморфизмі эндоморфизм деп, ал өз-өзіне изоморфизмі автоморфизм деп аталады.

Сұрақтар:

1) Алгебралардың эпиморфизмі деген не?

2) Алгебралардың мономорфизмі деген не?

3) Жоғарда келтірілген біртипті алгебралар тізімінен гомоморфты, изоморфты алгебраларды анықтаңыз.

Әдебиеттер:

[9], [10], [14], [18].

1. 
   Сызықтық оператордың матрицасы
   
2. 
   Кері матрицаның формуласы.
   
3. 
   Матрицаның рангсы туралы теорема.
   
4. 
   Логикалық амалдар.
   
5. 
   Де Морган заңдары.
   
6. 
   СТЖ-ң үйлесімділік шарты.
   
7. 
   Жиындарға қолданылатын амалдардың қасиеттері.
   
8. 
   Эйлер-Венн диаграммасы.
   
9. 
   Теоремалардың түрлері.
   
10. 
    Предикаттың шындық облысы.
    
11. 
    БҚ-ң қасиеттері.
    
12. 
    БҚ-ға амалдар қолдану, қасиеттері.
    
13. 
    Біртипті алгебралар, алгебраның сигнатурасы.
    
14. 
    Алгебраның морфизмдері.
    
15. 
    Ішкі алгебраның критерийі.
    
16. 
    Группа теңдеулерінің шешулері.
    
17. 
    Сақинадағы таңба ережесі.
    
18. 
    Сақинадағы нолдің бөлгіштері
    
19. 
    Өрістің характеристикасы.
    
20. 
    Сызықтық оператордың жай спекторы
    

- білімді бағалау схемасы

- білімді бағалау саясаты

- тесттік тапсырмалар

- өзін-өзі тексеру сұрақтары

- емтихан сұрақтары

№	Бағалау критериясы	Бағалау түрі
		%	барлығы
1	Үй тапсырмасы (ОЖСӨЖ)	100	15
	Дәріске қатысу	100	15
2	Жеке жұмыс	100	2
3	Бақылау жұмысы	100	2
6	Зертханалық сабақта белсенділік	100	-
7	Коллоквиум	100	1
	Аралық бақылау (Р1, Р2)	100	Барлық бағалардың орташа мәні
	Ағымдағы бақылау	(Р1+Р2)/2
	Емтиханға жіберілу рейтингісі	Аралық бақылау *0,6
	Қортынды бақылау (емтихан)	100*0,4
	барлығы	Емтиханға жіберілу рейтингісі + Қортынды бақылау

Студенттердің білімі келесі кесте бойынша бағаланады:

Барлық семестр уақытында 2 рубеждік бақылау (7-ші – 15 – ші жұмада). Студенттердің үлгерімі бақылау уақытында максимальді көрсеткіш 60% құрайды. Семестр аяғында сабақ пәні бойынша емтихан өтеді. Максимальді көрсеткіш 40% құрайды. Екеуін қосқанда 100% құрайды. Емтихан тест түрінде, курсты теориялық және практикалық материалды қамтитын 30 сұрақтан тұруы керек.

1. 
   = теңдігі қай уақытта мүмкін?
   
2. 
   Оператор қай уақытта сызықтық деп аталады?
   
3. 
   aRb және bRa жазуларының мағынасы бірдей ме?
   
4. 
   Екі сызықтық оператордың қосындысының, көбейтіндісінің, скалярға көбейтіндісінің матрицалары қалай табылады?
   
5. 
   Вектор мен оның образының координаталарының байланысын қандай формулалармен жазуға болады?
   
6. 
   БҚ-тың антирефлексивтілігі мен транзитивтілігі нені береді?
   
7. 
   Сызықтық оператордың әртүрлі базистегі матрицаларының байланысы қалай аталады?
   
8. 
   Ұқсас матрицалардың анықтауыштары қандай болады?
   
9. 
   {1,2,3} жиынында эквиваленттік қатынасын қалай анықтауға болады?
   
10. 
    {1,2,3} жиынының әртүрлі неше фактор- жиыны болады?
    
11. 
    {1,2,3,4} жиынының әртүрлі неше фактор- жиыны болады?
    
12. 
    <2<3<4<5<6<7> жиынында максималь, минималь элементтер бар ма? Қайсылары?
    
13. 
    <…-2<-1<0<1<2<...> жиынында максималь, минималь элементтер бар ма? Қайсылары?
    
14. 
    <{2,3,4,5,6}, «бөлінгіштік»> жиынында максималь, минималь элементтер бар ма? Қайсылары?
    
15. 
    <{0,1,2,3,4,5,6}, «бөлінгіштік»> жиынында максималь, минималь элементтер бар ма? Қайсылары?
    
16. 
    Реттелген жиынының С={8,25,12,20,13,15} ішкі жиынының дәл жоғарғы, дәл төменгі шекаралары қай элементтер?
    
17. 
    Реттелген жиынының В={4,5,12} ішкі жиынының дәл жоғарғы, дәл төменгі шекаралары қай элементтер?
    
18. 
    1) функциясы бейнелеу бола ма?
    
19. 
    2) y=cosx функциясы инъективті бола ма?
    
20. 
    y=2^x функциясы сюръективті бола ма?
    
21. 
    5 элементтен жасалған ауыстырулар саны нешеу?
    
22. 
    Алгебраның типі деп нені айтады?
    6) Алгебраның сигнатурасы деген не?
    
23. 
    Біртипті алгебралар деп қандай алгебраларды айтады?
    
24. 
    Бейнелеу операцияны сақтайды деген не?
    
25. 
    Бейнелеу аддитивті деген не?
    
26. 
    Бейнелеу мультипликативті деген не?
    
27. 
    Алгебраның гомоморфизмі деп нені айтады?
    
28. 
    Алгебраның мономорфизмі деп нені айтады?
    
29. 
    Алгебраның эпиморфизмі деп нені айтады?
    
30. 
    Алгебраның изоморфизмі деп нені айтады?
    
31. 
    Алгебраның өз-өзіне эндоморфизмі деп нені айтады?
    
32. 
    Алгебраның өз-өзіне автоморфизмі деп нені айтады?
    
33. 
    Ішкі алгебра деп нені айтады?
    
34. 
    Ішкі алгебраның критерийі қалай тұжырымдалады?
    
35. 
    [a] мен [b] кластары беттесуі мүмкін бе? Қай уақытта?
    
36. 
    <…-2<-1<0<1<2> жиынында ең үлкен, ең кіші элементтер бар ма? Қай элементтер?
    
37. 
    <…-2<-1<0<1<2<...> жиынында ең үлкен, ең кіші элементтер бар ма? Қай элементтер?
    
38. 
    <{2,3,4,5,6}, «бөлінгіштік»> жиынында ең үлкен, ең кіші элементтер бар ма? Қайсылары?
    
39. 
    <{0,1,2,3,4,5,6}, «бөлінгіштік»> жиынында ең үлкен, ең кіші элементтер бар ма? Қайсылары?
    
40. 
    Реттелген жиынының К={17,9,28,19,11} ішкі жиынының дәл жоғарғы, дәл төменгі шекаралары қай элементтер?
    
41. 
    Реттелген жиынының В={10,20,40} ішкі жиынының дәл жоғарғы, дәл төменгі шекаралары қай элементтер?
    
42. 
    y=lgx функциясы бейнелеу бола ма?
    
43. 
    y=x² функциясы инъективті бола ма?
    
44. 
    y= sinx функциясы сюръективті бола ма?
    
45. 
    {1,2,3,4} жиынын өз-өзіне бейнелейтін неше биективті бейнелеу болады? Олар қалай аталады?
    
46. 
    Группаның қандай қасиеттері бар?
    
47. 
    Элементтің еселігі деген не?
    
48. 
    Элементтің дәрежесі деген не?
    
49. 
    Ішкі группаның критерийі қалай тұжырымдалады?
    
50. 
    Ассоциативтік қасиеті қалай жалпыланады?
    
51. 
    Қосудың қысқарту заңы қалай жазылады?
    
52. 
    Группаның автоморфизмі деп нені айтады?
    
53. 
    Сақинаның қандай қасиеттері бар?
    
54. 
    Таңба ережесі қалай жазылады?
    
55. 
    Нөлдің бөлгіштері деп нені айтады?
    
56. 
    Тұтастық облысы деп нені айтады?
    
57. 
    Ішкі сақинаның критерийі қалай тұжырымдалады?
    
58. 
    Сақинаның эпиморфизмі деп нені айтады?
    
59. 
    Өрістің қандай қасиеттері бар?
    
60. 
    Характеристикалық көпмүшелік деп нені айтады?
    
61. 
    Сызықтық оператордың меншікті векторы деп нені айтады?
    
62. 
    Сызықтық оператордың меншікті мәні деп нені айтады?
    
63. 
    Меншікті векторлар мен меншікті мәндердің қандай қасиеті бар?
    
64. 
    Сызықтық оператордың спектрі деп нені айтады?
    
65. 
    Сызықтық оператордың жай спектрі деп нені айтады?
    

Курсты бағалау бүкіл семестрді қамтиды, сондықтан студент барлық сабақ түрлеріне белсенді түрде қатысуы керек. Максимальды балды студент қойған сұраққа нақты, дұрыс жауап берсе, жұмыстарын мұқия, толық орындаған жағдайда ғана алады.

Руководство к решению задач по математическому анализу, www.storedbooks.com. 209 кабинет.