Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов

1. 
   Линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).
   
2. 
   Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение).
   
3. 
   Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов.
   

1. 
   Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.-М. : Наука, 1980.-175 с.
   
2. 
   Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. - М. - Наука, 1975. - 239 с.
   
3. 
   Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с.
   
4. 
   Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов. - М. : Высшая математика, 1974. - 415 с.
   

1. Вычислим проекции векторов на оси координат:

2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат:

1) Для определения , при котором векторы перпендикулярны, необходимо использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было рассмотрено в задании 2) мы сможем найти из условия: , для этого найдем проекции векторов и на оси координат, заданных координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора

1. 
   пр;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   орт вектора ;
   
5. 
   ;
   
6. 
   ;
   
7. 
   
   

1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: пр где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: где и длина вектора: итак ,в нашем случае, формула принимает вид: для нахождения необходимо найти проекции векторов на оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответствующего вектора:

на основании формулы, выше написанной, получим :

Итак:

3. Угол между векторами можно найти из определения скалярного произведения: в нашем случае формула принимает вид: находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов:





Итак

4. Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: Направляющие косинусы вектора связаны соотношением мы имеем вектор единичной длины, такой вектор называется ортом для нахождения орта вектора необходимо каждую проекцию вектора на оси координат разделить на его длину орт вектора .

Итак: орт вектора

5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле:

Итак:

6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:

, где

Находим проекции векторов на оси координат:

Итак:

7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:

, где Итак:
Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды:



Вычислить:

1. 
   объем пирамиды;
   
2. 
   длину ребра ;
   
3. 
   площадь грани ;
   

1. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем

параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен:

Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат:

Тогда объем пирамиды равен:

Вычислим объем по указанной формуле:

2. Длина ребра

3. Площадь грани вычисляется по формуле:

1) пр;

2) ;

3) ;

4) орт вектора ;

5) ;

6) ;

7) ;

1) объем пирамиды;

2) длину ребра ;

3) площадь грани ;

Вариант 1

3.1

2.1

4.1

5.1

6.1

Вариант 2

2.2

3.2

4.2

5.2

6.2

2.3

3.3

4.3

5.3

6.3

2.4

3.4

4.4

5.4

6.4

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

Вариант 6

2.6

3.6

4.6

5.6

6.6

2.7

3.7

4.7

5.7

6.7

2.8

3.8

4.8

5.8

6.8

2.9

3.9

4.9

5.9

6.9

2.10

3.10

4.10

5.10

6.10

Вариант 11
1.11

2.11

3.11

4.11

5.11

6.11

2.12

3.12

4.12

5.12

6.12

2.13

3.13

4.13

5.13

6.13

Вариант 14
1.14

2.14

3.14

4.14

5.14

6.14

2.15

3.15

4.15

5..15

6.15

2.16

3.16

4.16

5.16

6.16

2.17

3.17

4.17

5.17

6.17

Вариант 18

2.18

3.18

4.18

5.18

6.18

2.19

3.19

4.19

5.19

6.19

2.20

3.20

4.20

5.20

6.20

2.21

3.21

4.21

5.21

6.21

Вариант 22
1.22

2.22

3.22

4.22

5.22

6.22

2.23

3.23

4.23

5.23

6.23

2.24

3.24

4.24

5.24

6.24

2.25

3.25

4.25

5.25

6.25

Вариант 26

2.26

3.26

4.26

5.26

6.26

2.27

3.27

4.27

5.27

6.27

2.28

3.28

4.28

5.28

6.28

2.29

3.29

4.29

5.29

6.29

Вариант 30
1.30

2.30

3.30

4.30